لایه مرزی حرارتی – از صفر تا صد

در مطالب پیشین وبلاگ فرادرس، مفهوم انتقال حرارت جابجایی معرفی گردید. همانطور که در این مطلب بیان شد، زمانی که جریان سیال از روی جسمی عبور می‌کند، انتقال حرارت جابجایی و انتقال جرم بین این جسم و سیال به وقوع می‌پیوندد. بر این اساس درک مفهوم لایه مرزی سرعت و لایه مرزی حرارتی کمک بسیار زیادی به فهم دقیق این نوع از انتقال حرارت می‌کند. بنابراین در این مطلب، مفاهیم مربوط به لایه مرزی سرعت و لایه مرزی حرارتی به خوبی توصیف شده‌اند و رابطه میان آن‌ها و همچنین رابطه ضریب انتقال حرارت جابجایی نیز معرفی شده است.

لایه مرزی سرعت

برای بیان مفهوم لایه مرزی سرعت، جریان سیال اطراف یک صفحه تخت را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید.

همانطور که نشان داده شده است، زمانی که ذرات سیال با سطح در تماس قرار می‌گیرند، سرعت آن‌ها نسبت به سرعت آزاد سیال، کاهش می‌یابد و در بسیاری از شرایط، سرعت این ذرات را در سطح دیواره می‌توان برابر با صفر در نظر گرفت. این موضوع را تحت عنوان شرط عدم لغزش در مکانیک سیالات معرفی می‌کنند. بنابراین همانطور که بیان شد در مکانیک سیالات و مسائل دینامیک سیالات محاسباتی، این شرط به عنوان یکی از شرط‌های مرزی برای حل عددی معادلات پیوستگی و ناویر استوکس در نظر گرفته می‌شود.

نکته مهمی که باید به آن توجه کرد این است که ذرات سیال موجود در سطح، حرکت باقی ذرات سیال را تحت تاثیر خود قرار می‌دهند. بنابراین حرکت ذرات سیال در نزدیکی دیواره تا فاصله $${ y = \delta }$$ تحت تاثیر دیواره خواهد بود و بعد از این فاصله، می‌توان از اثرات دیواره صرف نظر کرد. در واقع می‌توان بیان کرد که اثرات دیواره، توسط تنش‌های برشی و ویسکوزیته از ذرات نزدیک دیواره تا فاصله  $${ y = \delta }$$ اعمال می‌شود.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، با افزایش فاصله از دیواره، مولفه‌ی x سرعت یعنی u، بیشتر می‌شود تا به سرعت $${ u _ \infty }$$ برسد. توجه کنید که علامت $${ \infty }$$، جریان آزاد را در بیرون از لایه مرزی نشان می‌دهد. این موضوع به خوبی در شکل بالا نشان داده شده است.

لایه مرزی را علاوه بر صفحه تخت، در جریان داخلی و جریان روی ایرفویل نیز می‌توان مشاهده کرد. در واقع هر زمان که جریان سیال با یک سطح در تماس باشد، لایه مرزی شکل می‌گیرد. شکل زیر لایه مرزی و جریان توسعه یافته هنگام جریان یافتن سیال درون لوله را به تصویر کشیده است.

در شکل زیر لایه مرزی روی یک ایرفویل نشان داده شده است. تحلیل و بررسی لایه مرزی ایرفویل، یکی از مسائل بسیار مهم و کاربردی در مکانیک سیالات در نظر گرفته می‌شود.

در روابط و مطالب مربوط به لایه مرزی سرعت، پارامتر $${ \delta }$$ به عنوان ضخامت لایه مرزی سرعت شناخته شده است. این پارامتر مقداری از پارامتر y در نظر گرفته می‌شود که در آن، سرعت برابر با $${ u = 0.99 \ u _ \infty }$$ است. بنابراین به صورت کلی می‌توان جریان سیال را به دو ناحیه مجزا تقسیم کرد. ناحیه اول، ناحیه نازکی است که گرادیان‌های سرعت و تنش‌های برشی در آن قابل توجه هستند که به این ناحیه لایه مرزی گفته می‌شود. ناحیه دوم نیز ناحیه‌ای در بیرون از لایه مرزی است که گرادیان سرعت و تنش برشی در آن ناچیز است و در محاسبات نیز این گرادیان سرعت و تنش برشی نادیده گرفته می‌شود.

نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که با فاصله گرفتن از «لبه حمله» (Leading Edge)، اثرات ویسکوزیته نفوذ بیشتری در داخل جریان خواهند داشت. بنابراین با افزایش پارامتر $${ x }$$، ضخامت لایه مرزی $${ \delta }$$ افزایش خواهد یافت. این موضوع در شکل‌های بالا نیز به خوبی نشان داده شده است. توجه کنید که لایه مرزی ذکر شده کاملا به سرعت سیال بستگی دارد، بنابراین به این لایه مرزی، لایه مرزی سرعت می‌گویند. توجه کنید که لایه مرزی سرعت را به صورت خلاصه، با نام لایه مرزی نیز معرفی می‌کنند.

لایه مرزی سرعت زمانی شکل می‌گیرد که جریان سیال از روی یک سطح عبور می‌کند. این لایه مرزی، اهمیت زیادی در مسائل مختلف مکانیک سیالات مانند دینامیک سیالات محاسباتی دارد و پارامتر مهم در این پدیده، تنش برشی سطح است که میزان اصکاک ناشی از سطح را معین می‌کند. همانطور که اشاره شد پارامتر مهم در مکانیک سیالات و لایه مرزی، اصطکاک و ضریب اصطکاک است و برای جریان‌های خارجی، از رابطه زیر می‌توان ضریب اصطکاک را به خوبی مورد محاسبه قرار داد.

$${ \large C _ f = { { \tau _ s } \over { \rho u ^ 2 _ \infty / 2} } }$$

این عبارت، یک پارامتر بی‌بعد کلیدی است که درگ اصطکاکی سطح را می‌توان با استفاده از آن مورد محاسبه قرار داد. نکته مهم دیگر این است که اگر سیال ما به صورت نیوتنی باشد، تنش برشی سطح را می‌توان با محاسبه گرادیان سرعت در سطح و مطابق با رابطه زیر به دست آورد.

$${ \large \tau _ s = \mu { { \partial u } \over { \partial y } } | _ { y = 0 } }$$

پارامتر $${ \mu }$$ ویسکوزیته دینامیکی نامیده می‌شود و در مطلب «ویسکوزیته (Viscosity) — به زبان ساده» به صورت دقیق به بررسی این پارامتر پرداخته شده است. همچنین توجه کنید که بررسی دقیق سیالات غیرنیوتنی و تفاوت آن‌ها با سیالات نیوتنی در مطلب «سیال غیر نیوتنی (Non Newtonian Fluid) — از صفر تا صد» انجام شده است.

نکته دیگری که در مبحث لایه مرزی سرعت باید به آن توجه کرد این است که گرادیان سرعت در سطح، به فاصله x از لبه حمله (لبه حمله به ورودی صفحه، ایرفویل یا هر سطح دیگر گفته می‌شود و مکانی است که جریان سیال اولین بار با آن برخورد می‌کند) بستگی دارد. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که تنش برشی سطح و ضریب اصطکاک به پارامتر x وابسته هستند. برای بررسی بیشتر مفهوم لایه مرزی سرعت، پیشنهاد می‌شود که رشد لایه مرزی روی ایرفویل، صفحه تخت را مورد مطالعه قرار دهید. همچنین پیشنهاد جدی ما این است که با مطالعه مطلب «جریان توسعه یافته — به زبان ساده» رشد لایه مرزی در جریان‌های داخلی مانند لوله را مطالعه کنید. این مطالب، از جمله مباحث بسیار کاربردی و مهم در علم مکانیک سیالات هستند.

لایه مرزی حرارتی

همانطور که در قسمت قبل نشان داده شد، زمانی که جریان سیال از روی سطح عبور می‌کند، لایه مرزی سرعت شروع به شکل گرفتن و رشد کردن می‌کند. به صورت مشابه می‌توان بیان کرد که لایه مرزی حرارتی زمانی شکل می‌گیرد که دمای جریان سیال عبوری از روی سطح با دمای خود سطح متفاوت باشند.

فیلم آموزش انتقال حرارت ۱ – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

اگر فرض کنیم که سطح، به صورت هم‌دما است، لایه مرزی حرارتی اطراف آن را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

همانطور که مشاهده می‌شود، در لبه حمله صفحه نشان داده شده، پروفیل دما به صورت یکنواخت است و رابطه آن را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

$${ \large T ( y ) = { T _ \infty } }$$

ذرات سیالی که در تماس با سطح قرار می‌گیرند، با سطح به حالت تعادل حرارتی در می‌آیند و دمای آن‌ها برابر با دمای سطح صفحه می‌شود. در این حالت، این ذرات موجود در سطح با ذرات مجاور خود تبادل انرژی انجام می‌دهند و گرادیان دما در عرض سیال رشد پیدا می‌کند. ناحیه‌ای از سیال که گرادیان‌های دمایی ذکر شده در آن حضور دارند، لایه مرزی حرارتی نامیده می‌شود.

ضخامت لایه مرزی حرارتی با نماد $${ \delta _ t }$$ نشان داده می‌شود و مقداری از y را تعیین می‌کند که در آن شرط زیر ارضا شده باشد.

$${ \large { { T _ s - T } \over { T _ s - T _ \infty } } = 0.99 }$$

نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که با فاصله گرفتن از «لبه حمله» (Leading Edge)، تاثیر انتقال حرارت به مقدار بیشتری در داخل جریان آزاد نفوذ می‌کند و در نتیجه لایه مرزی حرارتی رشد می‌کند.

یکی از موارد بسیار مهم محاسبه ضریب انتقال حرارت جابجایی در طول صفحه و مکان x است. بنابراین ابتدا با توجه به روابط و توضیحات بیان شده، می‌توان فلاکس حرارتی محلی را با استفاده از قانون فوریه در y = 0 به شکل زیر محاسبه کرد.

$${ \large q ^ { \prime \prime } _ s = - k _ f { { \partial T } \over { \partial y } } |_ { y = 0 } }$$

زیروند s در رابطه بالا نشان می‌دهد که مقدار فلاکس حرارتی روی صفحه مد نظر ما است. توجه کنید که عبارت بالا، بیان درستی است و دلیل این موضوع این است که در سطح، هیچ حرکتی در سیال مشاهده نمی‌شود و تنها با استفاده از انتقال حرارت جابجایی، انتقال حرارت رخ می‌دهد. همچنین خنک‌کاری سطح را می‌توان با استفاده از قانون نیوتن به شکل زیر بیان کرد.

$${ \large q ^ { \prime \prime } _ s = h ( T _ s - T _ \infty ) }$$

با ترکیب این دو رابطه، رابطه زیر برای محاسبه ضریب انتقال حرارت جابجایی سیال به دست می‌آید.

$${ \large h = { - k _ f { { \partial T } \over { \partial y } } |_ { y = 0 } \over { T _ s - T _ \infty } } }$$

بنابراین می‌توان بیان کرد که شرایط موجود در لایه مرزی، تاثیر زیادی روی پارامتر گرادیان دما یعنی $${ { \partial T } \over { \partial y } } |_ { y = 0 }$$ دارد و این شرایط، نرخ انتقال حرارت در عرض لایه مرزی را تحت تاثیر خود قرار می‌دهد.

در بسیاری از شرایط $${ ( T _ s - T _ \infty ) }$$ ثابت و مستقل از پارامتر x در نظر گرفته می‌شود، این در حالی است که ضخامت لایه مرزی حرارتی یعنی $${ \delta _ t }$$ با افزایش x، افزایش می‌یابد. بر این اساس و با توجه به شرایط ذکر شده، گرادیان دما در لایه مرزی باید با افزایش x، کاهش پیدا کند. بنابراین پارامتر $${ { \partial T } \over { \partial y } } |_ { y = 0 }$$، با افزایش x، کاهش می‌یابد و در نتیجه می‌توان بیان کرد که دو پارامتر $${ q ^ { \prime \prime } _ s }$$ و $${ h }$$ نیز با افزایش x، کاهش می‌یابند. این موضوع در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.

در شکل بالا، $${ h ( x ) }$$ ضریب انتقال حرارت جابه‌جایی و $${ \delta ( x ) }$$ ضخامت لایه مرزی را نشان می‌دهد. همانطور که مشاهده می‌شود، با افزایش فاصله x، ضخامت لایه مرزی سرعت به صورت منظم افزایش می‌یابد. همچنین زمانی که رژیم سیال (لایه‌ای یا آشفته بودن جریان) تغییر نمی‌کند، ضریب انتقال حرارت جابجایی با افزایش فاصله x، کاهش می‌یابد ولی زمانی که رژیم سیال از حالت «لایه‌ای» (Laminar) به حالت «آشفته» (Turbulent) منتقل می‌شود، به صورت کلی ضریب انتقال حرارت جابجایی آن نیز افزایش می‌یابد.

بنابراین همانطور که به صورت جامع در این مطلب بیان شد، با عبور سیال از روی یک سطح جامد، لایه مرزی سرعت در نزدیکی سطح شکل می‌گیرد و در صورتی که دمای سیال و سطح متفاوت باشند، لایه مرزی حرارتی نیز تشکیل می‌شود که این دو نوع لایه مرزی کاربرد زیادی در انتقال حرارت جابجایی و محاسبات مختلف موجود در علم مکانیک سیالات و دینامیک سیالات محاسباتی دارند. برای مثال در نرم‌افزارهای مختلف تجاری مانند فلوینت، با حل کردن معادله انرژی می‌توان انتقال حرارت و تغییرات دما را در یک سیال مورد محاسبه قرار داد.

در صورتی که قصد یادگیری بیشتر در زمینه‌ مکانیک سیالات را دارید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شود:

• سیال غیر نیوتنی (Non Newtonian Fluid) — از صفر تا صد
• جریان توسعه یافته (Fully Developed Flow) — به زبان ساده
• تحلیل ابعادی (Dimensional Analysis) در مکانیک سیالات — به زبان ساده
• توربوماشین (Turbomachinery) — به زبان ساده
• پیوستگی و بقای جرم در سیالات — از صفر تا صد
• معادلات ناویر استوکس (Navier Stokes) — از صفر تا صد

^^