مدول یانگ — آشنایی با تاریخچه، کاربرد و محاسبات

«مدول یانگ» (Young's Modulus)، معیاری برای توصیف صلبیت مواد جامد است. این معیار، جز خواص مکانیکی مواد جامدی محسوب می‌شود که دارای رفتار الاستیک خطی هستند. مقدار مدول یانگ با توجه به نوع ماده مورد بررسی، تا حدودی به دما نیز بستگی دارد. این مدول، رابطه بین تنش (نیرو بر واحد سطح) و کرنش (تغییر شکل نسبی) یک ماده را نشان می‌دهد. در این مقاله، به تعریف مدول یانگ و توضیح کاربردهای وسیع آن در محاسبات مهندسی خواهیم پرداخت. در انتهای مقاله نیز فهرستی از مقادیر تخمینی این مدول برای مواد پرکاربرد در حوزه‌های مهندسی را برای شما ارائه خواهیم کرد.

تاریخچه توسعه مدول یانگ

مدول یانگ با عنوان «مدول الاستیک» (Elastic Modulus) نیز شناخته می‌شود و عنوان آن از نام دانشمند بریتانیایی قرن 19 ام میلادی، «توماس یانگ» (Thomas Young) گرفته شده است. با این وجود، مفهوم این مدول در سال 1727 توسط «لئونارد اویلر» (Leonhard Euler) توسعه یافت.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

اولین آزمایش‌هایی که از شکل امروزی مفهوم مدول یانگ استفاده کرده‌اند، به 25 سال قبل از تحقیقات یانگ در این زمینه بازمی‌گردند. این آزماش‌ها، در سال 1782 توسط «جوردانو ریکاتی» (Giordano Riccati) صورت گرفتند. واژه «مُدول» (Modulus)، از واژه یونانی «مُدوس» (Modus) به معنای معیار اقتباس شده است.

تغییر شکل الاستیک

مواد جامد، در اثر بارگذاری تغییر شکل می‌دهند. در صورتی که شکل ماده پس از باربرداری به حالت اول بازگردد، به تغییرات صورت گرفته، تغییر شکل الاستیک گفته می‌شود. در محدوده‌ای که نسبت بین بارگذاری و تغییر شکل ثابت باقی می‌ماند، منحنی تنش-کرنش خطی است. ایجاد تغییر شکل در مواد سخت نسبت به مواد نرم، نیروی بیشتری نیاز دارد. علاوه بر این، برای تغییر شکل یک ماده کاملاً صلب، یک نیروی بی‌نهایت مورد نیاز خواهد بود و در واقع، مدول یانگ این ماده به سمت بی‌نهایت میل خواهد کرد. اگرچه چنین ماده‌ای در واقعیت وجود ندارد اما می‌توان ماده‌ای با مدول یانگ بسیار بالا را صلب در نظر گرفت.

مقایسه مفهوم صلبیت با دیگر تعاریف مشابه

«صلبیت» (Stiffness)، به صورت میزان مقاومت جسم در برابر شکل‌پذیری تعریف می‌شود. ساده‌ترین مثال برای درک مفهوم صلبیت، میزان مقاومت یک فنر در هنگام فشردگی یا کشش است. این مفهوم معمولاً با برخی از مفاهیم رایج دیگر اشتباه گرفته می‌شود. برای اجتناب از چنین اشتباهی، تعاریف هر یک از این موارد را به طور مختصر ارائه می‌کنیم:

فیلم آموزش مقاومت مصالح – جامع و با مفاهیم کلیدی

کلیک کنید

• «مقاومت» (Strength): میزان نیرویی که یک ماده می‌تواند تحمل کند، بدون آنکه تغییر شکل دائمی در آن رخ دهد.
• «سفتی یا سختی هندسی» (Geometric Stiffness): یکی از خصوصیات خارجی ماده است که به هندسه آن بستگی دارد. به عنوان مثال، سختی یک تیر I شکل در برابر خمش از سختی یک میله با جنس مشابه (جرم در طول و صلبیت یکسان)، بسیار بیشتر است.
• «سختی» (Hardness): مقاومت نسبی سطوح مواد در برابر نفوذ اجسام سخت‌تر را نشان می‌دهد.
• «چقرمگی» (Toughness): بیانگر مقدار انرژی قابل جذب ماده، پیش از ایجاد شکستگی است.

تعریف فنی مدول یانگ

مقدار تنش در امتداد یک محور مشخص نسبت به مقدار کرنش در امتداد همان محور، به عنوان تعریف فنی مدول یانگ شناخته می‌شود. بر اساس این تعریف، تنش باید در محدوده‌ای قرار داشته باشد که از قانون هوک پیروی می‌کند.

واحد مدول یانگ

از آنجایی که مدول یانگ، نسبت تنش (هم واحد با فشار) به کرنش (بدون واحد) است، واحد آن با واحد فشار یکسان خواهد بود. به این ترتیب، مدول یانگ در سیستم SI، با واحد پاسکال (Pa)، نیوتن بر متر مربع (N/m²) یا کیلوگرم بر متر در مجذور ثانیه (kg.m^-1.s^-2) نمایش داده می‌شود. به علاوه، معمولاً واحدهای عملی مگا پاسکال (MPa) یا گیگا پاسکال (GPa) برای این مدول مورد استفاده قرار می‌گیرند. در سیستم واحدهای اندازه‌گیری آمریکایی، مدول یانگ با واحد پوند بر اینچ مربع (psi) یا هزار پوند بر اینچ مربع (ksi) نمایش داده می‌شود.

کاربرد مدول یانگ

مدول یانگ برای محاسبه تغییرات ابعاد یک میله (الاستیک همسانگرد) تحت بارگذاری کششی یا فشاری به کار گرفته می‌شود. به عنوان مثال، با استفاده از این مدول می‌توان میزان کشش یا تراکم نمونه را پیش‌بینی کرد. مدول یانگ در اکثر موارد به طور مستقیم برای تنش‌های تک‌محوری (وجود تنش کششی یا فشاری در یک راستا و عدم وجود تنش در راستاهای دیگر) مورد استفاده قرار می‌گیرد. یکی دیگر از کاربردهای مدول یانگ، پیش‌بینی تغییر شکل تیرهای معین (استاتیکی) در هنگام اعمال نیرو بین تکیه‌گاه‌های تیر است.

برای انجام محاسبات الاستیکی در شرایط دیگر، معمولاً خواص الاستیکی بیشتری از قبیل مدول برشی، مدول حجمی یا نسبت پواسون مورد نیاز است. با داشتن تنها دو مورد از این خواص می‌توان رفتار الاستیسیته در یک ماده همسانگرد را به طور کامل توصیف کرد.

مقایسه مدول یانگ در مواد خطی و غیر خطی

مدول یانگ، فاکتور تناسب در قانون هوک را نشان می‌دهد و دو پارامتر تنش و کرنش را به یکدیگر مرتبط می‌کند. باید توجه داشته باشید که قانون هوک تنها در شرایط الاستیک و خطی بودن رفتار ماده معتبر است. تمام مواد واقعی بر اثر اعمال کشش یا نیروی بسیار زیاد، در نهایت با شکست مواجه خواهند شد. با این وجود، در صورتی که تنش و کرنش به اندازه کافی کوچک باشد، مواد جامد رفتاری تقریباً مطابق با قانون هوک را از خود به نمایش می‌گذارند. اگر محدوده اعتبار قانون هوک برای یک ماده در مقایسه با تنش مورد انتظار به اندازه کافی بزرگ باشد، رفتار ماده مورد نظر خطی در نظر گرفته می‌شود. در غیر این صورت (قرارگیری مقدار تنش مورد انتظار خارج از محدوده خطی)، رفتار ماده مورد نظر غیر خطی به حساب می‌آید.

فولاد، فیبر کربن و شیشه، به عنوان مواد خطی در نظر گرفته می‌شوند؛ در حالی که مواد دیگری نظیر لاستیک و خاک غیر خطی به حساب می‌آیند. اگرچه، این تقسیم‌بندی‌ها به صورت قطعی نیستند. در صورتی که تنش یا کرنش اعمال شده به یک ماده غیر خطی بسیار کوچک باشد، واکنش آن خطی خواهد بود اما اگر تنش و کرنش اعمال شده به یک ماده خطی بسیار بزرگ باشد، تئوری خطی قادر به تعریف رفتار آن ماده نخواهد بود. به عنوان مثال، از آنجایی که تئوری خطی بر اصل برگشت پذیری (برگشتن تغییرات به حالت اول) دلالت می‌کند، استفاده از آن برای توصیف نحوه شکست یک پل فولادی تحت بارگذاری‌های بالا، کار عاقلانه‌ای به نظر نمی‌رسد. فولاد در اکثر موارد یک ماده خطی به حساب می‌آید اما در چنین شکست‌های فاجعه باری نمی‌توان آن را خطی در نظر گرفت.

در مکانیک جامدات، شیب منحنی تنش-کرنش در هر نقطه، با عنوان «مدول مماسی» (Tangent Modulus) شناخته می‌شود. این مدول برای توصیف رفتار ماده پس از ناحیه الاستیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. با انجام آزمایش‌های کششی بر روی یک نمونه و تعیین منحنی تنش-کرنش می‌توان مدول مماسی را از طریق اندازه‌گیری شیب منحنی به دست آورد.

مقایسه مدول یانگ در مواد همسانگرد و نا همسانگرد

مدول یانگ در جهات مختلف یک ماده همیشه یکسان نیست. اکثر فلزات و سرامیک‌ها (به همراه بسیاری از مواد دیگر) همسانگرد هستند و خواص مکانیکی آن‌ها در تمام جهات یکسان است. با این وجود، ناخالصی‌های موجود در فلزات و سرامیک‌ها یا تغییر ساختار ذرات فلزات (توسط فرآیندهای مکانیکی) می‌تواند موجب ناهمسانگردی این مواد و تغییر مدول یانگ آن‌ها در جهات مختلف شود. علاوه بر این موارد، ناهمسانگردی در بسیاری از کامپوزیت‌ها نیز قابل مشاهده است. به عنوان مثال، هنگام اعمال نیرو در جهت موازی با الیافِ فیبر کربن (در امتداد ذرات)، مدول یانگ بسیار بیشتر (ماده بسیار سخت‌تر) از جهات دیگر خواهد بود. چوب و بتن مسلح نیز دارای خاصیت مشابهی هستند. مهندسان از این پدیده برای ساخت سازه‌های مخصوص بهره می‌برند.

محاسبات مدول یانگ

در این بخش به بررسی محاسبات مربوط به مدول یانگ می‌پردازیم.

فیلم آموزش مقاومت مصالح 1 و 2 – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مدول یانگ (E)، از تقسیم تنش کششی (σ_ε) بر کرنش کششی مهندسی (ε) در بخش الاستیک (خطی) منحنی تنش-کرنش به دست می‌آید:

$${\displaystyle E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon)}{\varepsilon}}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\Delta L}}}$$

E: مدول یانگ (مدول الاستیک)؛ F: نیروی اعمال شده بر جسم تحت کشش؛ A: مساحت سطح مقطع واقعی (مساحت سطح مقطع در راستای عمود بر نیروی اعمال شده)؛ ΔL: مقدار تغییرات طول جسم (اگر جسم تحت کشش باشد، علامت تغییرات مثبت و اگر تحت فشار باشد، علامت تغییرات منفی خواهد بود)؛ L₀: طول اولیه جسم

نیروی اعمال شده بر جسم تحت کشش یا فشار

از مدول یانگ می‌توان برای محاسبه نیروی اعمال شده در یک کرنش مشخص استفاده کرد:

$${\displaystyle F={\frac {EA\Delta L}{L_{0}}}}$$

F: نیروی اعمال شده بر جسم در هنگام کشیدگی یا فشردگی به اندازه ΔL

قانون هوک برای یک سیم کشیده شده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$${\displaystyle F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx\,}$$

که در هنگام رسیدن سیم به حد اشباع خواهیم داشت:

$${\displaystyle k\equiv {\begin{matrix}{\frac {EA}{L_{0}}}\end{matrix}}\,} \ و \ {\ x\equiv \Delta L}$$

توجه: رفتار الاستیک فنرهای لول ناشی از خاصیت مدول برشی آن‌ها است (نه مدول یانگ).

انرژی پتانسیل الاستیک

انرژی پتانسیل الاستیک ذخیره شده در مواد الاستیک با انتگرال‌گیری از قانون هوک قابل محاسبه است:

$$U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}$$

با توجه به قانون هوک (برای یک سیم کشیده شده)، متغیرهای انتگرال بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int {\Delta L}\,d\Delta L={\frac {EA{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$$

به این ترتیب، چگالی انرژی پتانسیل الاستیک (انرژی در واحد حجم) به صورت زیر خواهد بود:

$${\displaystyle {\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}}$$

با توجه به تعریف کرنش، داریم:

$$\varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}$$

بنابراین، شکل ساده شده انرژی پتانسیل الاستیک برای مواد الاستیک خطی از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$u_{e}(\varepsilon)=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}$$

توجه کنید که مفهوم انرژی پتانسیل و روابط آن در دو مطلب «انرژی پتانسیل» و «قضیه کار و انرژی» به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است.

رابطه بین ثابت‌های الاستیک

در مواد الاستیک خطی همسانگرد، رابطه ساده‌ای بین ثابت‌های الاستیک (مدول یانگ، مدول برشی، مدول حجمی و نسبت پواسون) وجود دارد که باعث می‌شود با دانستن تنها دو مورد از این ثابت‌ها، بقیه موارد قابل محاسبه باشند. این رابطه عبارت است از:

$$E =2G(1+\nu) = 3K(1-2\nu)$$

مقادیر تخمینی مدول یانگ برای برخی از مواد

مقداری مدول یانگ، با توجه به ترکیب مواد و روش آزمایش بر روی آن‌ها تغییر می‌کند. نرخ تغییر شکل، بخصوص در پلیمرها، تأثیر زیادی بر روی داده‌های جمع‌آوری شده دارد. مقادیر موجود در جدول زیر بیشتر برای مقایسه نسبی مدول یانگ بین مواد مختلف ارئه شده است:

چنانچه مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.

• مجموعه آموزش های مهندسی عمران
• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
• مدول برشی چیست؟
• مدول حجمی چیست؟
• مجموعه مقالات آشنایی با مفاهیم مقاومت مصالح و خواص مکانیکی مواد

^^