فرادرسمعیارهای اندازه گیری تنش — تنش کوشی، تنش کیرشهف، تنش اسمی و …
تنش یکی از مفاهیم اساسی و مهم در علوم مهندسی است و روش‌های متعددی برای تعریف و اندازه‌گیری تنش وجود دارد. یکی از متداول‌ترین معیارهای تعیین تنش، «تانسور تنش کوشی» (Cauchy Stress Tensor) است که اغلب با عناوینی نظیر «تانسور تنش» (Stress Tensor) یا «تنش واقعی» (True Stress) شناخته می‌شود. در این مقاله، پرکاربردترین معیارهای تنش در مکانیک محیط‌های پیوسته (بخصوص در حوزه محاسباتی) را برای شما معرفی خواهیم کرد. این معیارها عبارت‌اند از:
- تنش کوشی (σ)
- تنش کیرشهف (τ)
- تنش اسمی (N)
- تنش مرتبه اول پیولا-کیرشهف (P)
- تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف (S)
- تنش بیو (T)
معیارهای تنش
برای شروع بهتر است به سراغ بررسی کمیت‌های مورد نیاز برای تعریف معیارهای تنش برویم. تصویر زیر را در نظر بگیرید.
این تصویر، کمیت‌های مورد نیاز برای تعریف معیارهای تنش را نمایش می‌دهد.
Ω0: پیکربندی مرجع (شکل اولیه)؛ dΓ0: المان سطح در پیکربندی مرجع؛ N≡n0: بردار نرمال المان سطح در پیکربندی مرجع؛ df0: بردار نیرو در پیکربندی مرجع؛ t0: بردار کشش اعمال شده بر روی dΓ0
Ω: پیکربندی تغییر یافته (شکل نهایی)؛ dΓ: المان سطح در پیکربندی تغییر یافته؛ n: بردار نرمال المان سطح در پیکربندی تغییر یافته؛ df: بردار نیرو در پیکربندی تغییر یافته؛ t: بردار کشش اعمال شده بر روی dΓ
توجه داشته باشید که سطوح مورد بررسی می‌توانند یا به صورت مقاطع فرضی درون جسم یا سطوح واقعی باشند. تانسور گرادیان تغییر شکل با F و دترمینان آن با J نمایش داده می‌شود.
تنش کوشی
تنش کوشی یا تنش واقعی، معیاری برای نمایش نیروی اعمال شده بر یک المان سطح در پیکربندی تغییر یافته است. این تانسور به صورت متقارن بوده و توسط رابطه زیر تعریف می‌شود:
$$d{\mathbf {f}}={\mathbf {t}}~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\mathbf {n}}~d\Gamma$$
یا
$${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} } {\mathbf {t}}={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\mathbf {n}}$$
تنش کیرشهف
کمیت τ = J σ، به عنوان «تانسور تنش کیرشهف» (Kirchhoff Stress Tensor) شناخته می‌شود و کاربرد وسیعی در الگوریتم‌های عددی مورد استفاده برای شکل‌پذیری فلزات (تغییر شکل پلاستیک با حجم ثابت) دارد. نام دیگر این کمیت، «تانسور وزنی تنش کوشی» است.
تنش اسمی و تنش مرتبه اول پیولا-کیرشهف
تنش اسمی (N = PT) ترانهاده «تنش مرتبه اول پیولا-کیرشهف» (First Piola-Kirchhoff Stress) است. تنش مرتبه اول پیولا-کیرشهف (P)، با عناوینی نظیر «تنش PK1» یا «تنش مهندسی» نیز شناخته می‌شود.
تنش اسمی به صورت زیر به دست می‌آید:
$${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$$
یا
$${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$$
این تنش به صورت نامتقارن بوده و همانند گرادیان تغییر شکل، یک تانسور دو نقطه‌ای است. عدم تقارن این تانسور از اختصاص یک شاخص به پیکربندی مرجع و یک شاخص به پیکربندی تغییر یافته نشات می‌گیرد.
تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف
اگر موقعیت مکانی df را به پیکربندی مرجع انتقال دهیم (عملیات پول بَک)، خواهیم داشت:
$${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$$
یا
$$d{\mathbf {f}}_{0}={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\mathbf {t}}_{0}~d\Gamma _{0}$$
به این ترتیب، «تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف» (Second Piola-Kirchhoff Stress) به صورت زیر تعریف خواهد شد:
$$d{\mathbf {f}}_{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\mathbf {t}}_{0}~d\Gamma _{0}$$
در نتیجه داریم:
$${\boldsymbol {S}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\mathbf {t}}_{0}$$
تنش بیو
«تنش بیو» (Biot Stress)، مزدوج انرژیِ تانسور کشش راست (U) یا تانسور کشش ماده است. این تنش، به عنوان بخش متقارن تانسور PT.R تعریف می‌شود. R، تانسور دوران را نشان می‌دهد که از تجزیه قطبی گرادیان تغییر شکل به دست می‌آید. از این‌رو، تانسور تنش بیو به صورت زیر خواهد بود:
$${\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})$$
تنش بیو با عنوان «تنش جائومن» (Jaumann Stress) نیز شناخته می‌شود. کمیت T، دارای مفهوم فیزیکی نیست. با ان وجود، تنش نامتقارن بیو به صورت زیر تعریف خواهد شد:
$${\boldsymbol {R}}^{T}~d{\mathbf {f}}=({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}$$
رابطه بین معیارهای تنش
در ادامه به رابطه‌های بین معیارهای تنش پرداخته شده است.
رابطه بین تنش کوشی و تنش اسمی
با توجه به «رابطه نانسون» (Nanson’s Relation) برای رابطه بین پیکربندی مرجع و تغییر یافته داریم:
$${\mathbf {n}}~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{{-T}}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}$$
اکنون می‌توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بنویسیم:
$${\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\mathbf {n}}~d\Gamma =d{\mathbf {f}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}$$
به این ترتیب داریم:
$${\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{{-T}}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}$$
یا می‌توان نوشت:
$${\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{{-T}}$$
به صورت دیگر خواهیم داشت:
$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{و}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}} {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$$
در معادلات زیر، شاخص‌های پارامترهای روابط بالا را علامت‌گذاری کرده‌ایم:
$$N_{{Ij}}=J~F_{{Ik}}^{{-1}}~\sigma _{{kj}}\qquad {\text{و}}\qquad P _ {{iJ}}=J~\sigma_{{ki}}~F_{{Jk}}^{{-1}}$$
بنابراین
$${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}}$$
توجه داشته باشید که به دلیل نامتقارن بودن F، دو کمیت N و P نیز متقارن نخواهند بود.
رابطه بین تنش اسمی و تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف
معادلات زیر را در نظر بگیرید:
$${\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}~d\Gamma _{0}=d{\mathbf {f}}$$
و
$${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$$
با توجه به این معادلات داریم:
$${\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot {\mathbf {n}}_{0}$$
در صورت استفاده از تقارن S خواهیم داشت:
$${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{و}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}$$
با اضافه کردن شاخص هر یک از کمیت‌ها، معادلات بالا به شکل زیر درمی‌آیند:
$$N_{{Ij}}=S_{{IK}}~F_{{jK}}^{T}\qquad {\text{و}}\qquad P_ {{iJ}}=F_{{iK}}~S_{{KJ}}$$
این معادلات را می‌توان به نحوه دیگری نیز نوشت:
$${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{{-T}}\qquad {\text{و}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {P}}$$
رابطه بین تنش کوشی و تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف
معادله زیر را در نظر بگیرید:
$${\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$$
با توجه به تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف خواهیم داشت:
$${\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$$
بر اساس معادله بالا داریم:
$${\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{{-T}}={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{{-T}}$$
با اضافه کردن شاخص هر یک از کمیت‌ها، معادله بالا به شکل زیر درمی‌آید:
$$S_{{IJ}}=F_{{Ik}}^{{-1}}~\tau_{{kl}}~F_{{Jl}}^{{-1}}$$
از آنجایی که تنش کوشی (همچنین تنش کیرشهف) متقارن است، تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف نیز متقارن خواهد بود.
به جای معادله بالا می‌توان نوشت:
$${\boldsymbol {\sigma }}=J^{{-1}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$$
یا
$${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$$
بر اساس تعریف عملیات «پوش فوروارد» (Push-Forward) و «پول بَک» (Pull-Back) خواهیم داشت:
$${\boldsymbol {S}}=\varphi ^{{*}}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{{-T}}$$
و
$${\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{{*}}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$$
به این ترتیب، S، پول بَکِ τ بر اساس F و τ، پوش فوروارد S است.
امیدواریم این مقاله برایتان مفید واقع شده باشد. اگر به مطالعه موضوعات مشابه علاقه‌مند هستید، مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:
- مجموعه آموزش های مهندسی عمران
- آموزش مقاومت مصالح
- مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
- مجموعه مقالات آشنایی با مفاهیم مقاومت مصالح و خواص مکانیکی مواد
^^
