ریاضی، علوم پایه 134 بازدید

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس با مجموعه و زیرمجموعه آشنا شدیم. همچنین، مطالبی را درباره اجتماع و اشتراک مجموعه‌ها بیان کردیم. در این آموزش، تعریف مجموعه تهی را بیان می‌کنیم. مجموعه‌ای که هیچ عضوی نداشته باشد مجموعه تهی نامیده می‌شود. یک مجموعه تهی با علامت ∅ نشان داده می‌شود و تلفظ آن فی است. برای مثال، مجموعه { } = X مجموعه تهی است.

مجموعه‌های تهی در مقایسه با مجموعه‌های دیگر منحصر به فرد در نظر گرفته می‌شوند. در ادامه این آموزش با مجموعه تهی، تعریف، ویژگی‌ها و مثال‌های آن آشنا می‌شویم.

مجموعه چیست؟

در ریاضیات، «مجموعه» (Set) به گرداورد یا مجموعه‌ای یا دسته‌ای از اعضای متمایز (جدا از هم) می‌گویند که یک ویژگی مشترک دارند و این ویژگی را می‌توان به راحتی توصیف و تعریف کرد.

برای آشنایی بیشتر با مباحت ریاضیات، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

مجموعه تهی چیست؟

مجموعه‌های تهی برای ساده‌سازی محاسبات استفاده می‌شوند و اغلب هنگام طبقه‌بندی موارد خارج از دسترس یا مواردی که نادر هستند به کار می‌روند. در اینجا چند مثال را بیان می‌کنیم که در آن می‌توان از یک مجموعه تهی برای طبقه‌بندی اعضای خارج از دسترس یا نشدنی استفاده کرد. به عنوان مثال، یک ماه با 33 روز، یک هفته با دو سه‌شنبه، یا یک گربه با پنج پا. کمی پیش‌تر می‌رویم و تعریف مجموعه تهی را بیان می‌کنیم.

یک مجموعه به عنوان یک مجموعه خالی یا یک «مجموعه تهی» (Null Set یا Empty Set) تعریف می‌شود اگر هیچ عضوی نداشته باشد. در تئوری مجموعه‌ها، ممکن است از یک مجموعه تهی برای دسته‌بندی یک عدد طبیعی بین 6 و 7 استفاده شود. از آنجا که این مثال هیچ پاسخ مشخصی ندارد، می‌توان آن را با استفاده از یک مجموعه خالی یا یک مجموعه تهی نشان داد.

مثال‌های زیر را در نظر بگیرید که در آن باید تعیین کنیم که مجموعه‌های داده شده مجموعه تهی هستند یا خیر.

الف) {x کوچک‌تر از ۱۶ و بزرگ‌تر از ۱۴ و x یک عدد اول است : x} = X: مجموعه اعداد اول را A در نظر می‌گیریم. بنابراین، A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}. از آنجا که هیچ عدد اولی بین 14 و 16 وجود ندارد، می‌توانیم نتیجه بگیریم که X یک مجموعه تهی است.

ب) تعداد وانت‌هایی با 12 در: در زندگی واقعی، مگر اینکه شرایطی وجود داشته باشد که یک شرکت تولیدکننده مدل خاصی را تولید کند، یافتن وانتی با 12 در غیرممکن است. بنابراین مجموعه شامل وانت‌هایی با ۱۲ در یک مجموعه تهی است.

علامت محموعه تهی چیست ؟

یک مجموعه تهی‌ با علامت { } نشان داده می‌شود که هیچ عضوی در آن وجود ندارد. همچنین از نماد “∅” نیز برای نشان دادن مجموعه تهی‌ استفاده می‌شود.

نماد مجموعه تهی

عدد اصلی یا تعداد اعضای مجموعه تهی

مجموعه‌های تهی در نظریه مجموعه‌ها مجموعه‌های منحصربه‌فردی در نظر گرفته می‌شوند و بنابراین، دارای یک کاردینالیته (عدد اصلی) منحصر به فرد هستند. عدد اصلی به عنوان اندازه مجموعه یا تعداد کل اعضای موجود در یک مجموعه تعریف می‌شود. از آنجا که مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد، می‌توان گفت که عدد اصلی آن صفر است.

برای آشنایی بیشتر با عدد اصلی، به آموزش «عدد اصلی مجموعه یا کاردینالیتی — به زبان ساده» مراجعه کنید.

چگونه یک مجموعه تهی را نشان می‌دهیم؟

در تئوری مجموعه‌ها، مجموعه‌های تهی را با استفاده از قلاب‌های خالیِ { } نشان داده می‌شوند. با این حال، از آنجا که مجموعه‌های تهی از انواع منحصر به فرد مجموعه هستند، می‌توان آن‌ها با استفاده از کاراکتر ویژه ∅ نیز نمایش داد. مثالی از یک مجموعه تهی A شامل مضرب‌های 5 بین 6 و 8 در نظر بگیرید. از آنجا که هیچ مضربی از 5 بین 6 و 8 وجود ندارد، بنابراین مجموعه داده شده یک مجموعه تهی است. مجموعه {x کوچک‌تر از ۸ و بزرگ‌تر از ۶ و اول است : x} = A. نماد این مجموعه تهی این است: {} = A. برای نمایش این مجموعه تهی می‌توانیم از نماد ویژه ∅=A نیز استفاده کنیم.

تفاوت بین مجموعه صفر و مجموعه تهی چیست؟

اغلب مفاهیم مجموعه‌های صفر و مجموعه‌های تهی یکسان در نظر گرفته می‌شوند و حتی اصطلاحات (مجموعه صفر و مجموعه تهی) به جای یکدیگر استفاده می‌شوند. با داشتن درک روشن از این دو مجموعه می‌توان از این تصور غلط جلوگیری کرد.

مجموعه صفر مجموعه‌ای است که تنها عضو آن عدد صفر (0) است و آن را با {0} نشان می‌دهیم. دقت کنید که به 0 مانند هر عدد دیگری نگاه می‌کنیم و در اینجا، بحث ارزش عدد مطرح نیست. اما مجموعه تهی مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد و با { } نمایش داده می‌شود. دقت کنید که مجموعه {Ø} تهی نیست، زیرا دارای عضو Ø است.

مجموعه تهی چند زیرمجموعه دارد؟

مجموعه تهی تنها یک زیرمجموعه دارد و آن هم خودش است.

با توجه به اینکه تعداد اعضای مجموعه تهی ۰ است، از فرمول 1=20 نیز می‌توان تعداد اعضا را به‌دست آورد که همان ۱ است.

نمودار ون مجموعه تهی

نمودارهای ون موثرترین ابزار برای نمایش روابط بین مجموعه‌ها، به ویژه مجموعه‌های متناهی هستند. می‌توانیم یک مجموعه تهی را با نمودار ون نشان دهیم. بخش آبی نمودار ون تصویر زیر مجموعه تهی را نشان می‌دهد. مجموعه X = {1, 3, 5} و مجموعه Y = {2, 4, 6} را در نمودار ون مشاهده می‌کنید.

نمودار ون مجموعه تهی

از نمودار ون که در بالا ارائه شده است می‌توانیم ببینیم که هیچ عضو مشترکی بین دو مجموعه X و Y وجود ندارد. از این رو می‌توان نتیجه گرفت که اشتراک بین این دو مجموعه تهی‌ است. بنابراین، ∅ = X ∩ Y.

مجموعه تهی‌ چه ویژگی‌هایی دارد؟

معمولاً مجموعه تهی‌ نقش مهمی در طبقه‌بندی اشیایی دارد که منحصر به فرد و عجیب هستند. علاوه بر آسان‌تر کردن طبقه‌بندی، از مجموعه‌های تهی برای ساده‌سازی محاسبات استفاده می‌شود. در ادامه، برخی از ویژگی‌های مهم مجموعه‌های تهی آورده شده است:

مجموعه تهی‌ زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است: یک مجموعه تعی را می توان به عنوان زیرمجموعه هر مجموعه ای در نظر گرفت. برای هر مجموعه متناهی یا نامتناهی X، اگر همه زیرمجموعه‌های ممکن مجموعه X را حذف کنیم، همیشه می‌توانیم یک مجموعه تهی‌ را در آن قرار دهیم.

مثلا، یک مجموعه نامتناهی X = {1, 3, 5} را در نظر بگیرید. تمام زیر‌مجموعه‌های ممکن این مجموعه X را می‌توان به صورت زیر نوشت:

∅ = X و X = {1} و X = {3} و X = {5} و X = {1, 3} و X = {3, 5} و X = {1, 5}

همان‌طور که می‌بینید، مجموعه تهی‌ نیز به همراه زیرمجموعه‌های دیگر آورده شده است.

اجتماع مجموعه تهی‌ با هر مجموعه دیگری برابر با آن مجموعه دیگر است: عملیات اجتماع بین هر مجموعه و مجموعه تهی‌ همیشه به آن مجموعه منجر می‌شود. برای هر مجموعه متناهی یا نامتناهی X، اتحاد این مجموعه X با یک مجموعه تهی‌ X U ∅ = X است. از آنجا که یک مجموعه تهی‌ حاوی هیچ عوضوی از خود نیست، اجتماع بین یک مجموعه تهی و هر مجموعه X همان X را ایجاد می‌کند.

مثلاً، مجموعه X = {1, 2, 3, 4} را در نظر بگیرید. اجتماع مجموعه داده شده X با یک مجموعه تهی‌ را می‌توان به صورت X U ∅ = {1, 2, 3, 4} U {} نشان داد. بنابراین، A U ∅ = {1, 2, 3, 4}.

اشتراک مجموعه تهی‌ با هر مجموعه دیگری برابر با مجموعه تهی‌ است: عمل اشتراک بین هر مجموعه و مجموعه تهی‌ همیشه به خود مجموعه تهی‌ منجر می‌شود. برای هر مجموعه متناهی یا نامتناهی X، اشتراک مجموعه X با یک مجموعه تهی‌ ∅ = X ∩ ∅ است. از آنجا که یک مجموعه تهی‌ حاوی هیچ عضوی نیست، هیچ عنصر مشترکی بین هر مجموعه غیرتهی و تهی وجود نخواهد داشت.

برای مثال، مجموعه X = {2, 4, 6} را در نظر بگیرید. اجتماع مجموعه داده شده X با یک مجموعه تهی‌ را می‌توان به صورت ∅ = X ∩ ∅ نشان داد.

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی

آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و… پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مباحث پایه ریاضی می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 0 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *