نقطه بحرانی در ریاضیات – به زبان ساده

این مطلب به بررسی مفهوم نقطه بحرانی در ریاضیات می‌پردازد. همچنین در ادامه به کمک چندین مثال، شیوه یافتن نقطه بحرانی به صورت دقیق و در حالات مختلف، مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نقطه بحرانی چیست؟

همانطور که اشاره شد، نقطه بحرانی کاربرد بسیار زیادی در ریاضیات دارد و برای رسم توابع مختلف و همچنین محاسبه ماکزیمم و مینیمم این توابع، از مفهوم نقطه بحرانی استفاده می‌شود. این مفهوم را می‌توان به صوت زیر تعریف کرد.

تابعی مانند $$f \left ( x \right )$$ را در نظر بگیرید. نقطه $$x = c$$، نقطه بحرانی این تابع است در صورتی که مقدار تابع $${ f }$$ در این نقطه، یعنی $${ f \left ( c \right ) }$$، موجود باشد و همچنین یکی از دو شرط زیر برقرار باشد.

شرط اول:

شرط اول این است که مشتق تابع $${ f }$$ در نقطه $$x = c$$ برابر با صفر باشد. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

$${ \large f ^ \prime \left ( c \right ) = 0 }$$

شرط دوم:

شرط دوم این است که مشتق تابع $${ f }$$ در نقطه $$x = c$$ یعنی $${ f ^ \prime \left ( c \right ) }$$ موجود نباشد.

در واقع همانطور که بیان شد، برای آنکه بتوان $${ x = c }$$ را به عنوان نقطه بحرانی تابع $$f$$ در نظر گرفت، $${ f \left ( c \right ) }$$ حتما باید موجود باشد و همچنین یکی از دو شرط بالا نیز برقرار باشد. توجه کنید که معمولا در مسائل مختلف شرط موجود بودن مقدار تابع در نقطه $${ x = c }$$ فراموش می‌شود. بنابراین فراموش نکنید که شرط لازم برای بررسی یک نقطه به عنوان نقطه بحرانی این است که مقدار تابع در نقطه مورد نظر موجود باشد.

مثال 1

نقاط بحرانی تابع زیر را به دست بیاورید.

$${ \large f \left ( x \right ) = 6 { x ^ 5 } + 3 3 { x ^ 4 } - 3 0 { x ^ 3 } + 1 0 0 }$$

$${ \large \begin {align*} f ^ \prime \left ( x \right ) & = 3 0 { x ^ 4 } + 1 3 2 { x ^ 3 } - 9 0 { x ^ 2 } \\ & = 6 { x ^ 2 } \left ( { 5 { x ^ 2 } + 2 2 x - 1 5 } \right ) \\ & = 6 { x ^ 2 } \left ( { 5 x - 3 } \right ) \left ( { x + 5 } \right ) \end {align*} }$$

بنابراین همانطور که مشاهده می‌شود، عبارت نهایی به صورت یک چند جمله‌ای است و برای به دست آوردن نقطه بحرانی کافی است که این عبارت را برابر با صفر قرار دهیم. بنابراین باید رابطه فوق را برابر با صفر قرار دهیم و معادله حاصل را حل کنیم. این معادله را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

$${ \large 6 { x ^ 2 } \left ( { 5 x - 3 } \right ) \left ( { x + 5 } \right ) = 0 }$$

از آنجایی که رابطه بالا به فرم حاصل ضرب چند عبارت نوشته شده، در صورتی که هرکدام از عبارات برابر با صفر باشد، کل عبارت برابر با صفر می‌شود. بنابراین هر سه عبارت $${ 6 { x ^ 2 } }$$، $${ 5 x - 3 }$$ و $${ x + 5 }$$ را برابر با صفر قرار می‌دهیم. بر این اساس، سه معادله نهایی به شکل زیر در می‌آیند.

 $${ \large 6 { x ^ 2 } = 0 }$$

 $${ \large 5 x - 3 = 0 }$$

 $${ \large x + 5 = 0 }$$

بنابراین سه نقطه بحرانی تابع صورت سوال را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

 $${ \large x = - 5 , \, \, \, \, \, \, x = 0 , \, \, \, \, \, \, x = \frac { 3 } { 5 } }$$

توجه کنید که هر سه نقطه بالا در دامنه تابع این مسئله حضور دارند.

نقطه بحرانی توابع رادیکالی و کسری

همانطور که در بخش قبل مشاهده کردید، یافتن نقطه بحرانی یک تابع که به صورت چند جمله‌ای بیان شده، بسیار ساده است. دلیل این موضوع این است که معمولا فاکتور گرفتن از یک عبارت چند جمله‌ای کار ساده‌ای محسوب می‌شود. اما توجه کنید که همواره ما با چند جمله‌ای‌ها سر و کار نداریم و در برخی حالات ممکن است یافتن نقطه بحرانی یک تابع مشکل به نظر برسد. برخی از این توابع، توابع رادیکالی و توابع کسری هستند.

فیلم آموزش حسابان ۲ – رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

برای آشنایی با این توابع به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال 2

نقاط بحرانی تابع زیر را به دست آورید.