معادله لاگرانژ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره معادلات دیفرانسیل بحث و روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی کردیم. معادله لاگرانژ نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در این آموزش به معرفی آن می‌پردازیم.

معادله لاگرانژ

معادله‌ای به فرمِ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large y = x \varphi \left ( { y ’ } \right ) + \psi \left ( { y ’ } \right ) $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$ \varphi \left( {y’} \right) $$ و $$ \psi \left( {y’} \right) $$ توابعی معلوم و در بازه‌ای مشخص مشتق‌پذیرند. این معادله، «معادله لاگرانژ» (Lagrange Equation) نامیده می‌شود.

با قرار دادن $$ y’ = p $$ و مشتق‌گیری نسبت به $$x$$، جواب عمومی معادله به فرم پارامتری زیر است:‌

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
x = f \left ( { p , C } \right) \\
y = f \left ( { p , C } \right ) \varphi \left ( p \right ) + \psi \left ( p \right )
\end{array} \right . $$

به شرط اینکه:

$$ \large \varphi \left ( p \right ) – p \ne 0 $$

که در آن، $$p$$ یک پارامتر است.

اگر شرط $$ \varphi \left ( p \right ) – p \ne 0 $$ نقض شود، ممکن است معادله لاگرانژ‌ یک جواب تکین داشته باشد. جواب تکین به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large y = \varphi \left ( c \right ) x + \psi \left ( c \right ) $$

که در آن، $$c$$ ریشه معادله $$ \varphi \left ( p \right ) – p=0 $$ است.

مثال‌ها

در این بخش، دو مثال مربوط به معادله دیفرانسیل لاگرانژ بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = 2 x y ’ – 3 { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 }  $$ را بیابید.

حل: این معادله، یک معادله لاگرانژ است و آن را با استفاده از دیفرانسیل‌گیری حل می‌کنیم.

تساوی $$ y’ = p $$ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large y = 2 x p – 3 { p ^ 2 } . $$

با دیفرانسیل‌گیری از دو سمت معادله بالا، داریم:

$$ \large { d y = 2 x d p + 2 p d x } - { 6 p d p . } $$

می‌توانیم $$dy$$ را با $$pdx$$ جایگزین کنیم:

$$ \large { { p d x = 2 x d p } + { 2 p d x – 6 p d p , \; \; } } \Rightarrow
{ – p d x = 2 x d p – 6 p d p . } $$

با تقسیم تساوی بالا بر $$p$$، می‌توان معادله زیر را نوشت (بعد از آن باید جواب بودن $$p=0$$ را برای معادله اصلی بررسی کنیم):

$$ \large { - d x = \frac { { 2 x } } { p } d p – 6 d p , \; \; } \Rightarrow
{ \frac { { d x } } { { d p } } + \frac { 2 } { p } x – 6 = 0 . } $$

همان‌طور که می‌بینیم، یک معادله خطی برای $$x(p)$$ به دست می‌آید. عامل انتگرال‌ساز به صورت زیر است:

$$ \large { u \left ( p \right ) = \exp \left ( { \int { \frac { 2 }{ p } d p } } \right ) }
= { \exp \left ( { 2 \ln \left | p \right | } \right ) }
= { \exp \left ( { \ln { { \left | p \right | } ^ 2 } } \right ) }
= { { \left | p \right | ^ 2 } }
= { { p ^ 2 } . } $$

جواب عمومی معادله خطی برابر است با:

$$ \large { x \left ( p \right ) } = { \frac { { \int { { p ^ 2 } \cdot 6 d p } + C } } { { { p ^ 2 } } } }
= { \frac { { \frac { { 6 { p ^ 3 } } } { 3 } + C } } { { { p ^ 2 } } } }
= { 2 p + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } . } $$

با قرار دادن عبارت بالا به جای $$x$$ در معادله لاگرانژ، داریم:

$$ \large { y } = { 2 \left ( { 2 p + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } } \right ) p – 3 { p ^ 2 } } \\ \large
= { 4 { p ^ 2 } + \frac { { 2 C } } { p } – 3 { p ^ 2 } }
= { { p ^ 2 } + \frac { { 2 C } } { p } . } $$

بنابراین، جواب عمومی پارامتری، با دستگاه معادلات زیر تعریف می‌شود:

$$ \large \left \{ \begin {array} {l}
x \left ( p \right ) = 2 p + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } \\
y \left ( p \right ) = { p ^ 2 } + \frac { { 2 C } } { p }
\end {array} \right . . $$

علاوه بر این، ممکن است معادله لاگرانژ یک جواب تکین داشته باشد. با حل معادله $$ \varphi \left ( p \right ) – p = 0 $$، ریشه زیر به دست می‌آید:

$$ \large { 2 p – p = 0 , \; \; } \Rightarrow { p = 0 . } $$

در نتیجه، جواب تکین با تابع خطی زیر بیان می‌شود:

$$ \large { y = \varphi \left ( 0 \right ) x + \psi \left ( 0 \right ) } = { 0 \cdot x + 0 } = { 0 . } $$

مثال ۲

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ 2 y – 4 x y ’ - \ln y ’ = 0 $$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

حل: با در نظر گرفتن $$ y’ = p $$، می‌توان نوشت:

$$ \large 2 y = 4 x p + \ln p . $$

با دیفرانسیل گرفتن از دو طرف معادله بالا داریم:

$$ \large { 2 d y = 4 x d p + 4 p d x } + { \frac { { d p } } { p } . } $$

آز آن‌جایی که $$ dy = pdx $$، می‌توان نوشت:‌

$$ \large { { 2 p d x = 4 x d p + 4 p d x } + { \frac { { d p } }{ p } , \; \; } } \Rightarrow
{ – 2 p d x = 4 x d p + \frac { { d p } } { p } , \; \; }\\ \large \Rightarrow
{ – 2 p \frac { { d x } } { { d p } } = 4 x + \frac { 1 } { p } , \; \; } \Rightarrow
{ \frac { { d x } } { { d p } } + \frac { 2 } { p } x = – \frac { 1 }{ { 2 { p ^ 2 } } } . } $$

وقتی معادله بالا را بر $$p$$ تقسیم کنیم، ریشه $$p=0$$ که متناظر با جواب $$y=0$$ است، از مجموعه جواب‌ها حذف می‌شود.

بنابراین، یک معادله دیفرانسیل خطی برای $$x(p)$$ داریم. این معادله را با استفاده از عامل انتگرال‌ساز حل می‌کنیم:

$$ \large { u \left ( p \right ) = \exp \left ( { \int { \frac { 2 }{ p } d p } } \right ) } \\ \large
= { \exp \left ( { 2 \ln \left | p \right | } \right ) }
= { \exp \left ( { \ln { { \left | p \right | } ^ 2 } } \right ) }
= { { \left | p \right | ^ 2 } }
= { { p ^ 2 } . } $$

تابع $$x(p)$$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ \large { x \left ( p \right ) } = { \frac { { \int { { p ^ 2 } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { 2 { p ^ 2 } } } } \right ) d p } + C } }{ { { p ^ 2 } } } } \\ \large
= { \frac { { – \frac { p } { 2 } + C } } { { { p ^ 2 } } } }
= { – \frac { 1 } { { 2 p } } + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } . } $$

با جایگذاری عبارت بالا در معادله اصلی، عبارت پارامتری $$y$$‌ را به دست می‌آوریم:

$$ \large { 2 y = 4 x p + \ln p , \; \; } \Rightarrow
{ { 2 y = 4 p \left ( { – \frac { 1 } { { 2 p } } + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } } \right ) } + { \ln p , \; \; } } \\ \large \Rightarrow
{ 2 y = – 2 + \frac { { 4 C } } { p } + \ln p , \; \; } \Rightarrow
{ y = \frac { { 2 C } } { p } – 1 + \frac { { \ln p } } { 2 } . } $$

بنابراین، جواب عمومی به فرم پارامتری زیر است:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
x \left ( p \right ) = \frac { C } { { { p ^ 2 } } } – \frac { 1 } { { 2 p } } \\
y \left ( p \right ) = \frac { { 2 C } } { p } – 1 + \frac { { \ln p } }{ 2 }
\end {array} \right . . $$

برای پیدا کردن جواب تکین، معادله زیر را حل می‌کنیم:

$$ \large { \varphi \left ( p \right ) – p = 0 , \; \; } \Rightarrow
{ 2 p – p = 0 , \; \; } \Rightarrow
{ p = 0 . } $$

در نتیجه، تساوی $$ y = C $$ را داریم. با جایگذاری مستقیم می‌توان به این نکته رسید که $$C$$ برابر با صفر است. اما با جایگذاری $$y=0$$ در مسئله، لگاریتم مشتق منفی بی‌نهایت می‌شود و $$y=0$$ جواب مسئله نیست.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تقلب نامه (Cheat Sheet) معادلات دیفرانسیل
• دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل بسل — به زبان ساده

^^