فرمول اتحاد در ریاضی – همه اتحاد ها + مثال و حل تمرین

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس با تجزیه عبارت‌های جبری آشنا شدیم. دیدیم که اتحادها نقش مهمی در تجزیه عبارت‌‌های جبری دارند. در این آموزش‌ به فرمول اتحاد در ریاضی می‌پردازیم و مهم‌ترین آن‌ها را بیان خواهیم کرد.

اتحاد جبری چیست؟

اتحاد در لغت به‌معنی یکی شدن است و در ریاضیات به تساوی‌ای می‌گویند که یک یا چند متغیر دارد و به ازای همه مقادیر متغیرها صدق می‌کند و برقرار است. برای مثال، تساوی زیر یک عبارت جبری است:

$$\large ( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b$$

فرمول اتحاد در ریاضی

در این بخش با فرمول اتحادهای مهم در ریاضی آشنا می‌شویم که برای تجزیه عبارت‌ها و سایر کاربردهایشان، بهتر است آن‌ها را به خاطر بسپارید.

فرمول اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ ای

اتحاد مربع مجموع دوجمله‌ای که به آن اتحاد نوع اول نیز می‌گویند، در مواردی به‌کار می‌رود که بتوان آن را به‌صورت مربع مجموع دو جمله نوشت:

$$\large \boxed {(a+b)^ 2 = a ^ 2 + 2 ab+b^2}$$

توجه کنید که $$a$$ و $$b$$ نماینده جملات جبری هستند، یعنی می‌توانند عدد یا عبارت باشند. برای مثال، تساوی زیر را ببینید که در آن، $$a = xy$$ و $$b = 2 z$$:

$$\large (x y +2z)^ 2 = x ^ 2 y ^ 2 + 4 xyz+4 z ^ 2$$

اثبات اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ ای

برای اثبات اتحاد مربع، یک راه ساده این است که سمت چپ اتحاد، یعنی عبارتی را که به توان دو رسیده است، ساده کنیم. بدین ترتیب، خواهیم داشت:

$$\large \begin{aligned} ( a + b ) ^ 2 & = ( a + b ) ( a + b ) \\ & = a ( a + b ) + b ( a + b ) \\ & = a ^ 2 + a b + b a +b ^ 2 \\ & = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 \end{aligned}$$

می‌بینیم که طرف اول و دوم اتحاد با هم برابرند و بنابراین، اثبات کامل می‌شود.

فرمول اتحاد مربع تفاضل دو جمله‌ ای

اتحاد مربع تفاضل دوجمله‌ای که به اتحاد دوم معروف است، مشابه اتحاد اول است و همان ویژگی‌ها را دارد، با این تفاوت که بین $$a$$ و $$b$$ علامت منفی قرار دارد. این اتحاد به‌صورت زیر است:

$$\large \boxed {( a - b )^ 2 = a ^ 2 - 2 a b + b ^ 2 }$$

اثبات اتحاد مربع تفاضل دو جمله‌ ای

برای اثبات اتحاد مربع تفاضل دو جمله، یک راه ساده این است که سمت چپ اتحاد، یعنی عبارتی را که به توان دو رسیده است، ساده کنیم. بدین ترتیب، خواهیم داشت:

$$\large \begin{aligned} ( a - b ) ^ 2 & = ( a - b ) ( a - b ) \\ & = a ( a - b ) - b ( a - b ) \\ & = a ^ 2 - a b - b a +b ^ 2 \\ & = a ^ 2 - 2 a b + b ^ 2 \end{aligned}$$

می‌بینیم که طرف اول و دوم اتحاد با هم برابرند و بنابراین، اثبات کامل می‌شود.

فرمول اتحاد مربع مجموع سه‌ جمله‌ ای

اتحاد مربع جمع سه جمله به‌صورت زیر است:‌

$$\large \boxed {(a+b+c)^2 = a ^ 2 +b^ 2 + c ^ 2 + 2 ab + 2ac +2bc }$$

اثبات فرمول اتحاد مربع مجموع سه‌ جمله‌ ای

برای اثبات اتحاد مربع مجموع سه‌جمله‌ای کافی است ضرب $$( a + b + c ) ( a + b + c )$$ را انجام دهیم:

$$\large \begin {aligned} & ( a + b + c ) ^ { 2 } = ( a + b + c ) ( a + b + c ) \\ & = a ^ { 2 } + a b + a c + a b + b ^ { 2 } + b c + c a + b c + c ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 c a \\ & = a ^ { 2 } + b^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2( a b + b c + c a ) \end {aligned}$$

می‌بینیم که اتحاد به‌‌سادگی اثبات می‌شود.

فرمول اتحاد مربع تفاضل سه‌ جمله‌ ای

اتحاد مربع تفاضل سه جمله به‌شکل زیر است:‌

$$\large \boxed {(a - b - c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - 2 ab - 2ac +2bc}$$

اثبات اتحاد مربع‌ تفاضل سه‌ جمله‌ ای

این اتحاد نیز به‌سادگی به‌صورت زیر اثبات می‌شود:

$$\large \begin {aligned} ( a - b - c ) ^ { 2 } & = ( a - b - c ) ( a - b - c ) \\ & = a ^ { 2 } - a b - a c - a b + b ^ { 2 } + b c - c a + b c + c ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a b + 2 b c- 2 c a \\ & = a ^ { 2 } +b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 ( a b - b c + c a ) \end {aligned}$$

فرمول اتحاد مکعب مجموع دو جمله‌ ای

اتحاد مکعب دوجمله‌ای هنگامی مورد استفاده قرار می‌گیرد که توان سوم جملات در عبارت وجود داشته باشد و بتوان آن عبارت را به‌گونه‌ای نوشت که به یکی از دو فرم زیر (اولی برای مجموع دو جمله و دومی برای تفاضل دو جمله) بیان شود:

$$\large \boxed {(a+b)^ 3 = a ^ 3 + 3a^2b+3ab^2+b^ 3 }$$

اثبات فرمول اتحاد مکعب مجموع دو جمله‌ ای

برای اثبات این اتحاد، باید دوجمله‌ای $$a+b$$ را در سه بار در خودش ضرب کنیم. بنابراین، مکعب مجموع دو جمله $$a$$ و $$b$$ را می‌توان به فرم زیر بیان کرد:

$$( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times ( a + b ) \times ( a + b )$$

بنابراین، داریم:

$$\begin {array} { l } \;\;\;\;\;\;\,( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times ( ( a + b ) \times ( a + b ) ) \\ \Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times ( a \times ( a + b ) + b \times ( a + b ) ) \\ \Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a +b ) \times ( a \times a + a \times b + b \times a + b \times b ) \\ \Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times \left ( a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } \right ) \\ \Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times \left ( a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } \right ) \\ \Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times \left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \right ) \end {array}$$

و در نهایت:

$$\begin {array} {ll} \Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a \times \left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \right ) + b \times \left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \right ) \\ \Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a \times a ^ { 2 } + a \times 2 a b + a \times b ^ { 2 } + b \times a ^ { 2 } + b \times 2 a b + b \times b ^ { 2 } \\ \Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + b a ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \\ \Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \\ \Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } \\ \quad & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } \end {array}$$

فرمول اتحاد مکعب تفاضل دو جمله‌ ای

برای اتحاد مکعب تفاضل دوجمله‌ای فرمول زیر را داریم:

$$\large \boxed {(a-b)^ 3 = a ^ 3 -3 a^2b+3ab^2-b^ 3}$$

اثبات فرمول اتحاد مکعب تفاضل دو جمله‌ ای

برای اثبات فرمول اتحاد مکعب تفاضل دوجمله‌ای، مشابه اثبات اتحاد مکعب مجموع دوجمله‌ای عمل می‌کنیم و دوجمله‌ای $$a-b$$ را سه بار در خودش ضرب می‌کنیم. سعی کنید خودتان اثبات این اتحاد را مشابه اتحاد قبلی انجام دهید.

فرمول اتحاد مکعب سه جمله ای

اتحاد مکعب سه‌جمله‌ای به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$$\large\boxed { \begin {align} &( a + b + c ) ^ { 3 } \\ & = 3 ( b + c ) ( a + b )( a + c )+ a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } \\ & = 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + 6abc \end {align} }$$

اثبات فرمول اتحاد مکعب سه جمله ای

اتحاد مکعب سه جمله ای با استفاده از اتحاد مکعب دو جمله ای و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\begin{array}{l} (a+b+c)^{3} \\ =[a+(b+c)]^{3} \\ =a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+(b+c)^{3} \\ =a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+b^{3}+3 b c(b+c)+c^{3} \\ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+3 b c(b+c) \\ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)\left[a^{2}+a b+a c+b c\right] \\ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)] \\ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)(a+b)(a+c) \end{array}$$

این فرمول را می‌توان به‌صورت زیر نیز نوشت:

$$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(b+c)(a+b)(a+c)$$

فرمول اتحاد مزدوج

اتحاد مزدوج، یک از اتحادهای مهم و پرکاربرد است و در مواردی استفاده می‌شود که تفاضل مجذور دو جمله را داشته باشیم:

$$\large \boxed { (a+b ) ( a - b ) = a ^ 2 - b ^ 2 }$$

اثبات فرمول اتحاد مزدوج

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$\large ( a + b ) ( a - b ) = a ^ 2 - b ^ 2$$

سمت چپ تساوی را می‌توان این‌گونه نوشت:‌

$$\large \begin {aligned} ( a + b ) ( a - b ) & = a ( a - b ) + b ( a - b ) \\ & = a ^ 2 - a b + a b - b ^ 2 \\ & = a ^ 2 - b ^ 2 \end{aligned}$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنیم، سمت چپ تساوی با سمت راست برابر است.

فرمول اتحاد جمله مشترک

اتحاد جمله مشترک به‌صورت زیر است:

$$\large \boxed { ( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b }$$

می‌بینیم که جمله $$x$$ مشترک است. این جمله می‌تواند یک عبارت جبری نیز باشد.

اثبات فرمول اتحاد جمله مشترک

برای اثبات این فرمول اتحاد، هر دو طرف را ساده می‌کنیم. بار دیگر به این اتحاد دقت کنید:‌

$$\large ( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b$$

ابتدا سمت چپ را ساده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} ( x + a ) ( x + b ) & = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b \\ & = x ^ 2 + ax + bx + ab \end {align*}$$

اکنون سمت راست را ساده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} x ^ 2 + ( a + b ) x + a b & = x ^ 2 + a \cdot x + b \cdot x + ab \\ & = x^ 2 + a x + b x + a b \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، ساده‌سازی دو طرف به نتیجه یکسانی ختم شده است.

فرمول اتحاد چاق و لاغر مجموع

اتحاد چاق و لاغر مجموع یک تساوی است که مجموع دو مکعب را تجزیه می‌کند.  اتحاد چاق و لاغر مجموع مکعبات به‌صورت زیر است:‌

$$\large \boxed {a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 - ab + b ^ 2 ) }$$

اثبات فرمول اتحاد چاق و لاغر مجموع

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$\large (a+b)(a^{2}–ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$$

با استفاده از خاصیت‌ توزیع‌پذیری یا پخش‌پذیری، سمت چپ عبارت بالا را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\large \left ( a \right ) \left ( a ^ { 2 } –a b + b ^ { 2 } \right ) + \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } – a b + b ^ { 2 } \right )$$

اکنون $$a$$ را در پرانتز اول ضرب می‌کنیم:

$$\large \left ( a ^ { 3 } –a ^ { 2 } b + a b^ { 2 } \right ) + \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } \right )$$

سپس $$b$$ را در پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$\large \left ( a ^ { 3 } – a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } \right ) + \left ( a ^ { 2 } b – a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \right )$$

با چیدن جمله‌های مشابه در کنار یکدیگر، خواهیم داشت:

$$\large a ^ { 3 } - a ^ { 2 } b + a^ { 2 } b+ a b ^ { 2 } - a b ^ { 2 } + b ^ { 3 }$$

در نهایت، با حذف جملات قرینه، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$\large a ^ 3 + b ^ 3$$

و اثبات کامل می‌شود.

فرمول اتحاد چاق و لاغر تفاضل

این اتحاد برای تفاضل مکعبات به‌شکل زیر بیان می‌شود:‌

$$\large \boxed {a ^ 3 - b ^ 3 = ( a - b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) }$$

اثبات فرمول اتحاد چاق و لاغر تفاضل

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$\large (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$$

با استفاده از خاصیت‌ توزیع‌پذیری یا پخش‌پذیری، سمت چپ عبارت بالا را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\large \left ( a \right ) \left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right ) - \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right )$$

اکنون $$a$$ را در پرانتز اول ضرب می‌کنیم:

$$\large \left ( a ^ { 3 } +a ^ { 2 } b + a b^ { 2 } \right ) - \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right )$$

سپس $$b$$ را در پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$\large \left ( a ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } \right ) - \left ( b a ^ { 2 } + a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \right )$$

با چیدن جمله‌های مشابه در کنار یکدیگر، خواهیم داشت:

$$\large a ^ { 3 } + a b ^ { 2 } + b a^ { 2 } - b a ^ { 2 } - a b ^ { 2 } - b ^ { 3 }$$

در نهایت، با حذف جملات قرینه، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$\large a ^ 3 - b ^ 3$$

و می‌بینیم که اثبات کامل می‌شود.

چند فرمول اتحاد دیگر ریاضی

اتحادهای دیگری نیز وجود دارند که شاید کمتر از اتحادهای معروف از آن‌ها استفاده شود، اما دانستن آن‌ها برای تجزیه اتحاد ها راهگشا خواهد بود. در ادامه، به مهم‌ترین ین اتحادها اشاره می‌کنیم.

$$\large \boxed {( a + b ) ^ { 4 } = a ^ { 4 } + 4 a ^ { 3 } b + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4 a b ^ { 3 } + b ^ { 4 } }$$

$$\large \boxed {( a - b ) ^ { 4 } = a ^ { 4 } - 4 a ^ { 3 } b + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 4 a b ^ { 3 } + b ^ { 4 }}$$

$$\large \boxed {a ^ { 4 } - b ^ { 4 } = ( a - b ) ( a + b ) \left ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) }$$

$$\large \boxed {a ^ { 5 } - b ^ { 5 } = ( a - b ) \left ( a ^ { 4 } + a ^ { 3 } b + a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a b ^ { 3 } + b ^ { 4 } \right ) }$$

$$\large \boxed {x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - x y - y z - z x = \frac { 1 } { 2 } \left [ ( x - y ) ^ { 2 } + ( y - z ) ^ { 2 } + ( z - x ) ^ { 2 } \right ] }$$

$$\large \boxed { a ^ { n } - b ^ { n } = ( a - b ) \left ( a ^ { n - 1 } + a ^ { n- 2 } b ^ { 1 } + a ^ { n - 3 } b ^ { 2 } + \ldots . + a ^ { 1 } b ^ { n - 2 } +b ^ { n - 1 } \right )}$$

مثال های فرمول اتحاد در ریاضی

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال اول فرمول اتحاد در ریاضی

با استفاده از اتحادها، عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$\large {x^2} - 20x + 100$$

حل: همان‌طور که می‌دانیم، $$100$$ مربع عدد $$10$$ است. حال برای آنکه بدانیم می‌توانیم از اتحاد مربع استفاده کنیم، ضریب $$x$$ را بررسی می‌کنیم که $$2 (10) = 20$$ است. بنابراین، می‌توانیم از اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده کنیم:

$$\large { x ^ 2 } - 2 0 x + 1 0 0 = { \left ( { x - 1 0 } \right ) ^ 2 }$$

مثال دوم فرمول اتحاد در ریاضی

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$\large 25{x^2} - 9$$

حل: اگر به چندجمله‌ای بالا دقت کنیم، می‌توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

$$\large 2 5 { x ^ 2 } - 9 = { \left ( { 5 x } \right ) ^ 2 } - { \left ( 3 \right ) ^ 2 }$$

واضح است که می‌توانیم از اتحاد مزدوج استفاده کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large 2 5 { x ^ 2 } - 9 = \left ( { 5 x + 3 } \right ) \left ( { 5 x - 3 } \right )$$

مثال سوم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجمله‌ای زیر را تجزیه کنید.

$$\large 8{x^3} + 1$$

حل: مسئله را می‌توان به صورت مجموع دو مکعب کامل نوشت:

$$\large 8 { x ^ 3 } + 1 = { \left ( { 2 x } \right ) ^ 3 } + { \left ( 1 \right ) ^ 3 }$$

و با توجه به اتحادهایی که بیان شد، می‌توانیم چندجمله‌ای را به صورت زیر تجزیه کنیم:

$$\large 8 { x ^ 3 } + 1 = \left ( { 2 x + 1 } \right ) \left ( { 4 { x ^ 2 } - 2 x + 1 } \right )$$

مثال چهارم فرمول اتحاد در ریاضی

اگر $$x + y = 10$$ و $$x y = 5$$ باشد، حاصل $$x ^ 2 + y ^ 2$$ را به دست آورید.

حل: اتحاد مربع دوجمله‌ای به صورت زیر است:

$$\large ( x + y ) ^ 2 = x ^2 + 2 x y + y ^ 2$$

طبق این رابطه، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$\large x ^ 2 + y ^ 2 = ( x + y ) ^ 2 - 2 x y$$

بنابراین، مقدار مورد نظر این‌گونه به دست می‌آید:

$$\large x ^ 2 + y ^ 2 = ( 10) ^ 2 - 2 ( 5 ) = 100 -10 = 90$$

مثال پنجم فرمول اتحاد در ریاضی

عبارت $$x ^ 6 - y ^ 6$$ را تجزیه کنید.

حل: این عبارت را می‌توان به دو صورت زیر نوشت:

$$\large \begin{align*} x ^ 6 - y ^ 6 & = (x^2)^ 3 - (y^2)^3 \\ x ^ 6 - y ^ 6 &= (x ^ 3 )^ 2 - (y ^ 3 ) ^ 2 \end {align*}$$

با هر دو تساوی می‌توان مسئله را حل کرد. ابتدا فرض کنید اولی، یعنی تفاضل مکعب دو جمله $$x^2$$ و $$y ^ 2$$ را در نظر می‌گیرم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} x ^ { 6 } - y ^ { 6 } & = \left ( x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } - \left ( y ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } \\ & = \left ( x ^ 2 - y ^ 2 \right ) \left ((x ^ 2 )^ 2 + (x^2 ) (y ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ^ 2 \right ) \\ & = (x-y)(x+y) (x ^ 4 + x^2 y ^2+ y ^ 4 ) \\ & = ( x - y ) ( x + y) (x^ 4 + 2 x ^ 2 y ^ 2 - x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 4 )\\ & = ( x - y ) ( x + y) [ ( x ^ 4 + 2 x ^2 y ^ 2 + y ^ 4 )- x ^ 2 y ^ 2 ] \\ & = ( x - y ) ( x + y) [ ( x ^2+ y ^ 2 ) ^ 2- x ^ 2 y ^ 2 ] \\ & = ( x - y ) ( x + y) [(x ^ 2 + y ^ 2 - xy )(x ^ 2 + y ^ 2 + xy)] \\ & = ( x - y ) ( x + y) (x ^ 2 - xy + y ^ 2)(x ^ 2 + xy + y ^ 2) \end {aligned}$$

روش دیگر، در نظر گرفتن اتحاد مزدوج برای دو جمله $$x^3$$ و $$y^ 3$$ و سپس استفاده از اتحاد چاق و لاغر است:

$$\large \begin {aligned} x ^ { 6 } - y ^ { 6 } & = \left ( x ^ { 3 } \right ) ^ { 2 } - \left ( y ^ { 3 } \right ) ^ { 2 } \\ & = \left ( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } \right ) \left ( x ^ { 3 } - y ^ { 3 } \right ) \\ & = \left [ ( x + y ) \left ( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right ) \right ] \left [ ( x - y ) \left ( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right ) \right ] \\ & = ( x + y ) \left ( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right ) ( x - y ) \left ( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right ) \end {aligned}$$

مثال ششم فرمول اتحاد در ریاضی

اگر $$x + \frac 1 x = 5$$ باشد، آنگاه مقدار عبارت $$x ^ 4 + \frac {1} { x ^ 4 }$$ را به‌دست آورید.

حل: اتحاد مربع زیر را برای دو جمله $$x$$ و $$\frac 1 x$$ داریم:

$$\large ( x + \frac 1 x ) ^ 2 = x ^ 2 + 2 ( x ) ( \frac 1 x ) + (\frac 1 x ) ^ 2 = x ^ 2 +2 + \frac 1 { x ^ 2 } = x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } + 2$$

مقدار $$x + \frac 1 x = 5$$ را می‌دانیم و در تساوی بالا قرار می‌دهیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large ( 5) ^ 2 = 25 = x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } + 2$$

بنابراین، تساوی زیر را داریم:

$$\large x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } = 23$$

اکنون دو طرف تساوی بالا را به توان دو می‌رسانیم و می‌نویسیم:

$$\large \left ( x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } = 23 \right ) ^ 2 \Rightarrow \left ( x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } \right )^ 2 = 23 ^ 2$$

با به توان دو رساندن عبارت سمت چپ، داریم:

$$\large (x ^ 2)^ 2 + 2 ( x ^ 2 ) ( \frac 1 { x ^ 2 } ) + ( \frac 1 { x ^ 2 } ) ^ 2 = 529 \\ \large \Rightarrow x ^ 4 + 2 + \frac 1 { x ^ 4 } = 529 \\ \large \Rightarrow x ^ 4 + \frac 1 { x ^ 4 } = 529 - 2 = 527$$

مثال هفتم فرمول اتحاد در ریاضی

مقدار $$107 ^ 3$$ را به دست آورید.

حل: این عبارت را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$107^ 3 = (100+7)^ 3$$

از اتحاد مکعب دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم:

$$(a+b)^3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b (a+b)$$

با قرار دادن $$a = 100$$ و $$b = 7$$، خواهیم داشت:

$$( 100 + 7 ) ^ 3 = 100 ^ 3 + 7^ 3 + 3(100)(7)(100 + 7)\\ (100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 3(100)(7)(107) \\ (100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 224700 \\ (107 ) ^ 3 = 1225043$$

بنابراین، مقدار $$107^ 3$$ برابر است با $$1,225,043$$.

مثال هشتم فرمول اتحاد در ریاضی

$$\large (x - 2 ) ( x + 1 ) ( x ^ 2 - x + 3 )$$

حل: همان‌طور که می‌بینیم، انجام ضرب مستقیم این سه عبارت کار دشواری است. بنابراین، تا جای که می‌توانیم آن را ساده می‌کنیم. احتمالاً بتوانیم عبارت‌های مشترکی بین پرانتزها پیدا کنیم. حاصل‌ضرب $$(x - 2 ) ( x + 1 )$$ را را با کمک اتحاد جمله مشترک می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\large (x - 2 ) ( x + 1 ) = x ^ 2 - x - 2$$

پس، می‌توان نوشت:

$$\large (x - 2 ) ( x + 1 ) ( x ^ 2 - x + 3 ) = ([x ^ 2 - x] - 2 ) ( [ x ^ 2 - x ]+ 3 )$$

می‌بینیم که $$x ^ 2 - x$$ بین دو عبارتی که در هم ضرب شده‌اند مشترک است. باز هم از اتحاد جمله مشترک کمک می‌گیریم و می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} ([x ^ 2 - x] - 2 ) ( [ x ^ 2 - x ]+ 3 ) & = [x^2 - x ]^ 2 + (-2+3) [x ^ 2 - x] + (-2) (3) \\ & = (x ^ 2 )^ 2 -2 (x^2) ( x) + (x) ^ 2 +1 (x ^ 2 - x ) -6 \\ & = x ^ 4 -2x^ 3+x^ 2 +x^ 2- x - 6 \\ & = x ^ 4 -2x^ 3 +2 x ^ 2 - x -6 \end {align*}$$

مثال نهم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجمله‌ای‌ زیر را تجزیه کنید.

$$\large 3 { x ^ 4 } - 3 { x ^ 3 } - 3 6 { x ^ 2 }$$

حل: می‌بینیم که $$3x^2$$ در همه جملات وجود دارد و می‌توان از آن فاکتور گرفت. بنابراین، داریم:

$$\large 3 { x ^ 4 } - 3 { x ^ 3 } - 3 6 { x ^ 2 } = 3 { x ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } - x - 1 2 } \right )$$

با استفاده از اتحاد جمله مشترک، در نهایت چندجمله‌ای به صورت زیر تجزیه می‌شود:

$$\large 3 { x ^ 4 } - 3 { x ^ 3 } - 3 6 { x ^ 2 } = 3 { x ^ 2 } \left ( { x - 4 } \right ) \left ( { x + 3 } \right )$$

مثال دهم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجمله‌ای زیر را تجزیه کنید.

$$\large {x^4} - 25$$

حل: چندجمله‌ای را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\large { x ^ 4 } - 2 5 = { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ 2 } - { \left ( 5 \right ) ^ 2 }$$

در نتیجه، با استفاده از اتحاد مزدوج، خواهیم داشت:

$$\large { x ^ 4 } - 2 5 = \left ( { { x ^ 2 } + 5 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } - 5 } \right )$$

مثال یازدهم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجمله‌ازی زیر را تجزیه کنید.

$$\large {x^4} + {x^2} - 20$$

حل: اگر به چندجمله‌ای بالا دقت کنیم، جمله $$x ^ 2$$ آن را می‌توانیم به عنوان یک متغیر در نظر بگیریم و در نتیجه با توان‌هایی پایین‌تر سر و کار داشته باشیم تا ساده‌سازی عبارت آسان‌تر شود. بنابراین، $$u = x ^ 2$$ را در نظر می‌گیریم. در نتیجه، $${u^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}$$ خواهد بود. بنابراین، چندجمله‌ای به صورت زیر در می‌آید:

$$\large { x ^ 4 } + { x ^ 2 } - 2 0 = { u ^ 2 } + u - 2 0$$

این چندجمله‌ای را می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد:

$$\large \begin {align*} { x ^ 4 } + { x ^ 2 } - 2 0 & = { u ^ 2 } + u - 2 0 \\ & = \left ( { u - 4 } \right ) \left ( { u + 5 } \right ) \\ & = \left ( { { x ^ 2 } - 4 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } + 5 } \right ) \end {align*}$$

در ادامه، می‌توانیم $$x ^ 2 - 4$$ را با استفاده از اتحاد مزدوج ساده کنیم. در نهایت، چندجمله‌ای مورد نظر به صورت زیر تجزیه خواهد شد:

$$\large { x ^ 4 } + { x ^ 2 } - 2 0 = \left ( { x - 2 } \right ) \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } + 5 } \right )$$

مثال دوازدهم فرمول اتحاد در ریاضی

فرض کنید $$x$$ و $$y$$ دو عدد حقیقی باشند، به‌طوری که $$x + y = 7$$ و $$x ^ 3 + y ^ 3 = 1 3 3$$. مقدار $$x y$$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {aligned} x ^ 3 + y ^ 3 & = ( x + y ) ( x ^ 2 + y ^ 2 - x y ) \\ 1 3 3 & = 7 ( x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy - 3 x y ) \\ 1 9 & = ( x + y ) ^ 2 - 3 x y \\ 1 9 & = 4 9 - 3 x y \\ 3 0 & = 3 x y \\ 1 0 & = x y \end {aligned}$$

بنابراین، $$x y = 10$$ است.

جمع‌بندی

در این آموزش به فرمول اتحاد در ریاضی پرداختیم و مهم‌ترین اتحادها را معرفی کردیم. جدول زیر خلاصه این اتحادها را نشان می‌دهد.