شرایط مرزی الکترومغناطیسی — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره امواج الکترومغناطیسی و میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم شرایط مرزی الکترومغناطیسی را بررسی کنیم.

همانطور که می‌دانیم، می‌توان از فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول برای حل «میدان‌های برداری» (Vector Fields) استفاده کرد. بردارهای میدان و مشتقات آن، توابعی پیوسته هستند و مقدار آنها مشخص و محدود است. در طول مرز مشترک دو محیط، خواص الکتریکی ناپیوسته است و تغییر می‌کند. یا حتی ممکن است منبعی در طول مرز وجود داشته باشد. به این ترتیب بردارهای میدان نیز در طول مرز مشترک ناپیوسته خواهند بود. «شرایط مرزی الکترومغناطیسی» (Electromagnetic Boundary Conditions)، اندازه و جهت این بردارها را مشخص می‌کند.

شرایط مرزی الکترومغناطیسی

«معادلات ماکسول» (Maxwell's Equations) در حالت دیفرانسیلی خود، به صورت مشتقات بردارهای میدان در مختصات فضایی نوشته می‌شوند. مشتق میدان برداری در نقاط ناپیوستگی تعریف نشده است و نمی‌توان از آنها برای تعریف رفتار بردار میدان در طول مرز استفاده کرد. در عوض، رفتار میدان برداری در طول مرزهای ناپیوسته باید به وسیله بردارهای میدان و نه مشتقات آن تعریف شود.

فیلم آموزش الکترومغناطیس 1 – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

وابستگی بردار میدان به خواص الکتریکی محیط در طول مرز ناپیوستگی، مسئله‌ای است که ما همه روزه با آن سر و کار داریم. مثلا وقتی دستگاه‌هایی مانند تلفن همراه، رادیو یا تلویزیون به داخل یا خارج یک محیط سربسته (مثل تونل یا یک ساختمان حفاظت‌شده) منتقل می‌شوند، گیرندگی آنها دچار اختلال می‌شود. با عبور موج از محیط، سیگنال دریافتی کاهش می‌یابد یا از بین می‌رود. این مسئله نتیجه تضعیف موج در عبور از محیط است. این کاهش می‌تواند نتیجه تغییر محیط و عبور موج از مرز نیز باشد. بهترین راه برای استنتاج شرایط مرزی الکترومغناطیسی، استفاده از معادلات ماکسول در فرم انتگرالی است. ابتدا معادله اول ماکسول را به فرم انتگرالی زیر می‌نویسیم:

$$\Large\oint_C E \cdot dl=-{\iint {M_i \cdot ds}}-\frac{\partial}{\partial t}{\iint_S{B \cdot ds}}$$
معادله (۱)

محیط با رسانایی محدود

یک سطح مشترک بین دو محیط مختلف را در نظر بگیرید. شکل زیر این مسئله را نشان می‌دهد:

فرض کنید که هیچ بار یا منبعی روی سطح وجود ندارد و هیچ یک از دو محیط نیز هادی کامل نیست. همچنین هیچ منبعی در این دو محیط وجود ندارد. محیط‌های ۱ و ۲ به ترتیب به وسیله پارامترهای سازنده خود یعنی ($$\varepsilon_1 , \mu_1 , \sigma_1$$) و ($$\varepsilon_2 , \mu_2 , \sigma_2$$) تعریف می‌شوند.

فیلم آموزش الکترومغناطیس مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

یک مکعب مستطیل را روی این سطح مشترک در نظر بگیرید. سطح مقطع این مکعب مستطیل $$S_0$$ است که با منحنی $$C_0$$ محدود شده است. از دستگاه مختصاتی دکارتی ($$x,y,z$$) برای نشان دادن ساختار محلی مستطیل استفاده شده است. در معادله (۱) اگر $$M_i$$ را روی مستطیل $$S_0$$ برابر صفر فرض کنیم، داریم:

$$\Large \oint_C E \cdot dl=-\frac{\partial}{\partial t}{\iint_{S_0}{B \cdot ds}}$$
معادله (۲)

فرض کنید ارتفاع $$\Delta y$$ در مستطیل را کمتر و کمتر کنیم. به همین ترتیب سطح $$S_0$$ کوچکتر و کوچکتر می‌شود. بنابراین انتگرال سطحی در سمت راست معادله (۲) قابل صرفنظر است. به علاوه، سهم انتگرال خطی در طول $$\Delta y$$ نیز ناچیز است. بنابراین در حد که $$\lim \Delta y \to 0$$، معادله (۲) به رابطه زیر تبدیل می‌شود:

$$\Large E_1 \cdot \hat a_x \Delta x - E_2 \cdot \hat a_x \Delta x = 0$$

$$\Large E_{1t} - E_{2t}= 0 \Rightarrow E_{1t} = E_{2t}$$
معادله (۳)

یا به عبارت ساده‌تر:

$$\Large \hat n \times (E_2 - E_1 )=0$$
معادله (۴)

که $$\hat n$$ یک بردار واحد از محیط (۱) به سمت محیط (۲) است. در معادله (۴) فرض شده است که $$\sigma_1$$ و $$\sigma_2$$ محدود هستند. یعنی دو محیط، هدایت محدود دارند.

در معادله (۳)، $$E_{1t}$$ و $$E_{2t}$$ به ترتیب مولفه‌های «مماسی» (Tangential) میدان الکتریکی در محیط‌های اول و دوم و در طول سطح مشترک هستند. دو معادله (۳) و (۴) بیان می‌کنند که اگر منبع جریان مغناطیسی در سطح مرز مشترک وجود نداشته باشد، مولفه‌های مماسی میدان الکتریکی دو محیط در طول سطح مشترک پیوسته و با هم برابر هستند.

حال معادله دوم ماکسول را در نظر بگیرید:

$$\Large \oint_C H \cdot dl = {\iint_{S}{J_{ic} \cdot ds}} + \frac{\partial}{\partial t}{\iint_S{D \cdot ds}} = {\iint_S{J_{ic}\cdot ds}}+ {\iint_S{J_d \cdot ds}}$$
معادله (۵)

اگر از یک فرآیند مشابه روی مستطیل استفاده شود، با در نظر گرفتن معادله (۵) و فرض $$J_i=0$$، می‌توان نوشت:

$$\Large H_{1t} - H_{2t}= 0 \Rightarrow H_{1t} = H_{2t}$$
معادله (۶)

$$\Large \hat n \times (H_2 - H_1 ) = 0$$
معادله (۷)

در معادله (۷) فرض می‌شود که $$\sigma_1$$ و $$\sigma_2$$ محدود هستند. این معادله بیان می‌کند که مولفه‌های مماسی میدان مغناطیسی در طول سطح مشترک بین دو محیط که هیچ یک از آنها هادی الکتریکی کامل نیست، پیوسته است. اگر یکی از دو محیط هادی کامل باشد یا منبع جریان روی مرز دو محیط وجود داشته باشد، معادلات (4) و (7) تغییر می‌کنند. علاوه بر شرایط مرزی الکترومغناطیسی مربوط به مولفه‌های مماسی میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی، مولفه‌های نرمال یا «عمودی» (Normal) این دو میدان نیز به یکدیگر وابسته هستند.

حال معادله سوم ماکسول را در نظر بگیرید:

$$\Large {\iint_S{D \cdot ds}} = \iiint_V q_{ev}dv = Q_e$$
معادله (۸)

در این معادله $$q_{ev}$$ چگالی حجمی بار الکتریکی و $$Q_e$$ کل بار الکتریکی است.

حال ساختار شکل زیر را در نظر بگیرید:

در این شکل، یک استوانه کوچک در یک نقطه معین روی مرز در نظر گرفته شده است. اگر هیچ بار یا منبعی روی مرز وجود نداشته باشد یا هیچ یک از دو محیط هادی کامل نباشند، می‌توان معادله (۸) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\Large {\iint_{A_0,A_1}{D \cdot ds}}=0$$
معادله (10)

اگر ارتفاع $$\Delta y$$ استوانه را کمتر کنیم، مساحت سطح جنبی $$A_1$$ نیز کمتر می‌شود. بنابراین می‌توان از انتگرال سطحی ناشی از $$A_1$$ صرفنظر کرد. بنابراین در حد که $$\lim \Delta y \to 0$$ می‌توان معادله (۱0) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\Large D_2 \cdot \hat a_y A_ 0 - D_1 \cdot \hat a_y A_0=0$$

$$\Large D_{2n} - D_{1n} = 0\Rightarrow D_{2n}=D_{1n}$$
معادله (11)

یا:

$$\Large \hat n \cdot (D_2 - D_1) = 0$$
معادله (۱۲)

در معادله (۱۲) فرض شده است که $$\sigma_1$$ و $$\sigma_2$$ محدود هستند. در معادله (۱۱)، $$D_{1n}$$ و $$D_{2n}$$ مولفه‌های عمودی چگالی شار الکتریکی در محیط‌های اول و دوم در طول سطح مشترک هستند. دو معادله (۱۱) و (۱۲) بیان می‌کنند که مولفه‌های عمودی چگالی شار الکتریکی در طول مرز مشترک بین دو محیط که هر دو هدایت محدود دارند یا هیچ منبعی وجود ندارد، پیوسته است. اگر یکی از دو محیط هادی کامل باشد یا در طول مرز مشترک منبع وجود داشته باشد، روابط مربوط به شرایط مرزی الکترومغناطیسی تغییر می‌کند.

معادله‌های (۱۱) و (۱۲) را می‌توان بر حسب شدت میدان الکتریکی نوشت. داریم:

$$\Large \varepsilon_2 E_{2n} = \varepsilon_1 E_{1n} \Rightarrow E_{2n} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}E_{1n}\Rightarrow E_{1n} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} E_{2n}$$
معادله (۱۳)

یا می‌توان نوشت:

$$\Large \hat n . (\varepsilon_2 E_2 - \varepsilon_1 E_1 ) = 0$$
معادله (۱۴)

در معادله (۱۴) فرض شده است که $$\sigma_1$$ و $$\sigma_2$$ محدود هستند. این معادله بیان می‌کند که مولفه عمودی شدت میدان الکتریکی در طول مرز مشترک ناپیوسته است.

حال معادله زیر را در نظر بگیرید: