ریاضی . علوم پایه

انتگرال و روش های محاسبه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

۵۶۹۵ بازدید

آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ اردیبهشت ۱۴۰۲

زمان مطالعه: ۲ دقیقه

همان‌طور که در بخش اول مبحث انتگرال نیز بیان شد، از این مفهوم می‌توان در محاسبه مساحت، حجم و بسیاری دیگر از پارامترها استفاده کرد. اما ریشه کاربرد انتگرال، محاسبه مساحت سطح زیر نمودارها است. در این بخش قصد داریم تا در مورد قوانین حاکم در محاسبات انتگرال بحث کنیم. قوانین مطرح شده در محاسبه انتگرال دوگانه و انتگرال روی سطوح خمیده نیز کاربرد خواهد داشت. البته در آینده نحوه محاسبه انتگرال در دستگاه استوانه‌ای نیز توضیح داده می‌شود.

فهرست مطالب این نوشته

فیلم آموزشی انتگرال و روش های محاسبه

انتگرال توابع پایه

مثال‌ها

مثال ۱

مثال ۲

مثال ۳

مثال ۴

فیلم آموزشی انتگرال و روش های محاسبه

دانلود ویدیو

انتگرال توابع پایه

به منظور محاسبه انتگرال یک تابع در ابتدا بایستی با قوانین حاکم در عبارت‌های انتگرالی آشنا باشیم. با استفاده از انتگرال توابع بنیادی، می‌توان این مقدار را برای بسیاری دیگر از توابع نیز محاسبه کرد.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد

اینجا کلیک کنید

در جدول زیر انتگرال چند تابع پرکاربرد و هم‌چنین قوانین حاکم بر آن‌ها ذکر شده است.

ax+C	$$\int a dx$$	تابع ثابت
$${x^2 \over 2} + C$$	$$\int x dx$$	تابع خطی
$${x^3 \over 3} + C$$	$$\int x^2 dx$$	سهمی درجه ۲
$$Ln\|x\| + C$$	$$\int{ 1 \over x} dx$$	تابع وارون
$$e^x +C$$	$$\int e^x dx$$	توابع نمایی
$${a^x \over ln(a)}+ C$$	$$\int a^x dx$$
x ln(x) − x + C	$$\int ln(x)dx$$
sin(x)+C	$$\int cos(x)dx$$	توابع مثلثاتی
- cos(x)+C	$$\int sin(x)dx$$
tan (x) + C	$$\int sec^2xdx$$
$$c \int f(x)dx$$	$$\int cf(x)dx$$	ضرب در یک ثابت
$${x^{n+1} \over {n+1}}+C$$	$$\int x^n dx$$	قانون توان
$$\int {fdx}+ \int {g dx}$$	$$\int {(f+g)} dx$$	قانون جمع

مثال‌ها

در این قسمت به بررسی مثال‌هایی خواهیم پرداخت که در آن‌ها از قوانین معرفی شده در جدول بالا استفاده شده است.

مثال ۱

انتگرال تابع $$\sqrt x$$ را بیابید.

در جدول بالا قانون توان را به شکل زیر معرفی کردیم.

$$\int x^n dx= {x^{n+1} \over {n+1}}+C$$

با جایگذاری 0.5 به جای n، خواهیم داشت.

$$\int {\sqrt {x}}dx=\int {x^{1 \over 2}}dx={x^{1.5} \over 1.5}+C$$

مثال ۲

حاصل انتگرال تابع $$6x^2$$ را بیابید.

با توجه به ثابت بودن عدد ۶، آن را از انتگرال خارج کرده و داریم:

$$\int 6x^2dx=6 \int x^2dx$$

حال با استفاده از قانون توان و جایگذاری 2 به‌جای n، خواهیم داشت:

$$6 \int x^2dx=6{x^3 \over 3}+C=2x^3+C$$

مثال ۳

حاصل عبارت $$\int (cos x +x )dx$$ را بیابید.

با استفاده از قانون جمع، می‌توان انتگرال دو عبارت را به صورت مجزا با یکدیگر جمع کرد. بنابراین داریم:

$$\int (cos x +x )dx=\int cos xdx+ \int xdx=sin x + {x^2 \over 2} +C$$

مثال ۴

انتگرال تابع $$8z+4z^3-6z^2$$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد

اینجا کلیک کنید

با استفاده از قانون جمع می‌توان نوشت:

$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=\int 8zdz+\int 4z^3dz-\int6z^2dz$$

حال قادریم تا ضرایب ثابت را از زیر انتگرال بیرون کشیده و عبارت بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم.

$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=8 \int zdz+4 \int z^3dz-6 \int z^2dz$$

در عبارت بالا هریک از انتگرال‌ها را می‌توان با استفاده از قانون توان بدست آورد. بنابراین حاصل آن برابر است با:

$$= {8z^2 \over 2} + {4z^4 \over 4} −{ 6z^3 \over 3} + C$$

$$= 4z^2+z^4-2z^3+ C$$

در بخش آینده، حل انتگرال به روش جزء به جزء را تشریح خواهیم کرد. همچنین انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی در مطلب «انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی» مورد مطالعه قرار گرفته است.

اگر به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات علاقه‌مند هستید، احتمالا می‌توانید از آموزش‌های زیر نیز بهره‌مند شوید:

بر اساس رای ۳۵۵ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

شما قبلا رای داده‌اید!

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

ثبت نظر

منابع:

Mathisfun

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.