انتگرال و روش های محاسبه – به زبان ساده

همان‌طور که در بخش اول مبحث انتگرال نیز بیان شد، از این مفهوم می‌توان در محاسبه مساحت، حجم و بسیاری دیگر از پارامترها استفاده کرد. اما ریشه کاربرد انتگرال، محاسبه مساحت سطح زیر نمودارها است. در این بخش قصد داریم تا در مورد قوانین حاکم در محاسبات انتگرال بحث کنیم. قوانین مطرح شده در محاسبه انتگرال دوگانه و انتگرال روی سطوح خمیده نیز کاربرد خواهد داشت. البته در آینده نحوه محاسبه انتگرال در دستگاه استوانه‌ای نیز توضیح داده می‌شود.

انتگرال توابع پایه

به منظور محاسبه انتگرال یک تابع در ابتدا بایستی با قوانین حاکم در عبارت‌های انتگرالی آشنا باشیم. با استفاده از انتگرال توابع بنیادی، می‌توان این مقدار را برای بسیاری دیگر از توابع نیز محاسبه کرد.

در جدول زیر انتگرال چند تابع پرکاربرد و هم‌چنین قوانین حاکم بر آن‌ها ذکر شده است.

 مثال‌ها

در این قسمت به بررسی مثال‌هایی خواهیم پرداخت که در آن‌ها از قوانین معرفی شده در جدول بالا استفاده شده است.

مثال ۱

انتگرال تابع $$\sqrt x$$ را بیابید.

در جدول بالا قانون توان را به شکل زیر معرفی کردیم.

$$\int x^n dx= {x^{n+1} \over {n+1}}+C$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

با جایگذاری 0.5 به جای n، خواهیم داشت.

$$\int {\sqrt {x}}dx=\int {x^{1 \over 2}}dx={x^{1.5} \over 1.5}+C$$

مثال ۲

حاصل انتگرال تابع $$6x^2$$ را بیابید.

با توجه به ثابت بودن عدد ۶، آن را از انتگرال خارج کرده و داریم:

$$\int 6x^2dx=6 \int x^2dx$$

حال با استفاده از قانون توان و جایگذاری 2 به‌جای n، خواهیم داشت:

$$6 \int x^2dx=6{x^3 \over 3}+C=2x^3+C$$

مثال ۳

حاصل عبارت $$\int (cos x +x )dx$$ را بیابید.

با استفاده از قانون جمع، می‌توان انتگرال دو عبارت را به صورت مجزا با یکدیگر جمع کرد. بنابراین داریم:

$$\int (cos x +x )dx=\int cos xdx+ \int xdx=sin x + {x^2 \over 2} +C$$

مثال ۴

انتگرال تابع $$8z+4z^3-6z^2$$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

با استفاده از قانون جمع می‌توان نوشت:

$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=\int 8zdz+\int 4z^3dz-\int6z^2dz$$

حال قادریم تا ضرایب ثابت را از زیر انتگرال بیرون کشیده و عبارت بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم.

$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=8 \int zdz+4 \int z^3dz-6 \int z^2dz$$

در عبارت بالا هریک از انتگرال‌ها را می‌توان با استفاده از قانون توان بدست آورد. بنابراین حاصل آن برابر است با:

$$= {8z^2 \over 2} + {4z^4 \over 4} −{ 6z^3 \over 3} + C$$

$$= 4z^2+z^4-2z^3+ C$$

در بخش آینده، حل انتگرال به روش جزء به جزء را تشریح خواهیم کرد. همچنین انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی در مطلب «انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی» مورد مطالعه قرار گرفته است.