فرادرساثبات نامساوی با مشتق — به زبان ساده
مفاهیم مربوط به نامعادلات در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس توضیح داده شدند. همان‌طور که احتمالا شما نیز می‌دانید نامساوی جبری را نیز می‌توان از زاویه‌ای متفاوت به عنوان یک نامعادله دید. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نحوه اثبات نامساوی با مشتق را در قالب مثال توضیح دهیم.
مثال ۱
نامساوی $$ \begin {gather*} \sqrt { 1 + x } \le 1 + \large \frac { x } { 2 } \end {gather*} $$ را به ازای مقادیر $$ x \gt 1$$ اثبات کنید.
در ابتدا تابع $$ f \left ( x \right ) = \sqrt { 1 + x } – { \large \frac { x } { 2 } \normalsize } – 1 $$ را در نظر گرفته و مشتق آن را مطابق با عبارت زیر بدست می‌آوریم.
$$ \large \begin {align*} { f ^ { \prime } \left ( x \right ) = { \left( {\sqrt {1 + x} – \frac { x }{ 2 } – 1 } \right ) ^ \prime } } & = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt { 1 + x } } } – \frac { 1 } { 2 } } \\\\ & = {\frac { { 1 – \sqrt {1 + x} } } { 2 } \le 0 } \end {align*} $$
با توجه به منفی بودن عبارت فوق، می‌توان نتیجه گرفت تابع $$ f $$ نزولی است.
توجه داشته باشید که مقدار $$ f $$ در نقطه 0 برابر است با:
$$ \large f \left ( 0 \right ) = 1 – 0 – 1 = 0 $$
بنابراین مقدار تابع $$ f $$ کمتر و برابر با صفر است. در نتیجه می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:
$$ \large { \sqrt { 1 + x } – \frac { x } { 2 } – 1 \le 0 \;\;} \Rightarrow { \sqrt { 1 + x } \le 1 + \frac { x } { 2 } } $$
یکی از کاربرد‌های نامساوی، مقایسه اعدادی است که محاسبه آن‌ها امکان‌پذیر نیست. برای نمونه به مثالی که در ادامه آمده، توجه فرمایید.
مثال ۲
کدام یک از دو عددِ $$ { 100 ^ { 101 } } $$ و $$ { 101 ^ { 100 } } $$ بزرگ‌تر هستند؟
به منظور پاسخ به این سوال از تابع $$ f \left ( x \right ) = { \large \frac { { \ln x } }{ x } \normalsize } $$ استفاده می‌کنیم. در اولین قدم مشتق این تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.
$$\large \begin {align*} f ^ { \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { { \ln x } } { x } } \right ) ^ \prime } } \\\\ & = { \frac { { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ \prime } \cdot x – \ln x \cdot x ^ { \prime } } } { { {x ^ 2 }} } } \\\\ & = {\frac { { \frac { 1} { x } \cdot x – \ln x }} { { { x^ 2} } } = \frac{{1 – \ln x}}{ { { x ^ 2 }} }} \end {align*} $$
همان‌طور که در عبارت فوق نیز دیده می‌شود، این مشتق به ازای مقادیر $$ x \gt e $$ منفی است. از این رو به ازای این مقادیر، تابع رفتاری کاهشی داشته و رابطه زیر را می‌توان بیان کرد:
$$ \large \frac { { \ln 100 } } { { 100 } } \gt \frac { { \ln 101 } } { { 101 } } $$
در نتیجه نهایتا رابطه زیر قابل بیان است.
$$\large { 101 \ln 100 \gt 100 \ln 101,\;\;\;} \Rightarrow { { 100 ^ { 101 } } \gt {101^{100}} } $$
در برخی از موارد ممکن است با نامساوی روبرو شویم که در آن دو متغیر وجود داشته باشد. در ادامه مثالی ارائه شده که در آن رابطه بین دو پارامتر مورد بررسی قرار گرفته است.
مثال ۳
نشان دهید که به ازای مقادیر مثبتِ $$ a , b $$ نامساوی زیر را می‌توان بیان کرد.
$$ { \large \frac { a } { b } + \frac { b }{ a } \normalsize} \ge 2 $$
همان‌طور که می‌بینید نامساوی فوق همچون یک نامعادله نیست. از این رو باید با استفاده از روشی خاص این نامساوی را اثبات کرد. بدین منظور در اولین قدم از تغییر متغیرِ $$ x=\frac { a } { b } $$ استفاده می‌کنیم. بنابراین سمت چپ نامساوی را می‌توان معادل با تابع زیر در نظر گرفت. این تابع را برای مقادیر $$x \gt 0$$ در نظر بگیرید.
$$ \large f \left ( x \right ) = x + \large \frac { 1} { x } $$
در مرحله بعد باید نقاط اکسترمم این تابع را به صورت زیر یافت.
$$ \large f ^ { \prime } \left ( x \right ) = { { \left ( { x + \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } }= {1 – \frac { 1 } { { { x ^2 } } } = 0,\;\;\;} \Rightarrow { { x ^ 2 } = 1,\;\;\;} \Rightarrow {x = \pm 1.}$$
از دو نقطه بدست آمده در بالا، تنها $$x=1$$، در شرط $$x \ge 1$$ قرار دارد. با توجه به تغییر علامت مشتق از منفی به مثبت در هنگام عبور از این نقطه می‌توان نتیجه گرفت که این نقطه نشان دهنده مینیمم نسبی تابع است. مقدار تابع در این نقطه برابر است با:
$$ \large f \left ( 1 \right ) = 1 + { \large \frac { 1 } { 1 } \normalsize } = 2 $$
در نتیجه تابع $$ f $$ همواره بیشتر از ۲ خواهد بود. لذا می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:
$$ \large { f \left ( x \right ) \ge 2 \;\;\;} \Rightarrow {x + \frac { 1 }{ x } \ge 2 \;\;\;} \Rightarrow {\frac { a } { b } + \frac { b} { a } \ge 2 } $$
مثال ۴
نامساوی زیر را اثبات کنید.
$$ \large \left| { \sin a – \sin b } \right| \le \left| { a – b } \right| $$
به منظور اثبات این نامساوی نیز در ابتدا تابع $$ f \left ( x \right ) = \sin x $$ را در نظر بگیرید که روی بازه $$ [ a , b ] $$ تعریف شده باشد. با اعمال قضیه مقدار میانگین لاگرانژ، می‌توان اختلاف سینوس‌های ابتدا و انتهای بازه را به شکل زیر بر حسب کسینوس نوشت.
$$ \large \frac { { \sin b – \sin a } } { {b – a } } = \cos \xi $$
توجه داشته باشید که مقدار $$\xi$$ عددی فرضی است که در بازه $$(a,b)$$ قرار گرفته است. در نتیجه رابطه بدست آمده در بالا، به صورت زیر قابل بازنویسی است.
$$ \large \begin {align*} \sin b – \sin a & = \left ( { b – a } \right)\cos \xi \Rightarrow \sin a – \sin b \\ & = \left ( { a – b } \right)\cos \xi \end {align*} $$
ترم سمت راست را می‌توان بر حسب مقادیر کمان درون سینوس، به شکل زیر عنوان کرد.
$$ \large \left| { \sin a – \sin b } \right| = \left| { a – b } \right|\left| {\cos \xi } \right| $$
با توجه به نامساویِ $$ \left| { \cos \xi } \right| \le 1 $$ می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:
$$ \large \left| { \sin a – \sin b } \right| \le \left| { a – b } \right| $$
توجه داشته باشید در اکثر موارد به منظور اثبات نامساوی می‌توان از مفهوم مشتق استفاده کرد.
مثال ۵
نامساوی زیر را در بازه $$ \left ( { 0 , { \large \frac { \pi } { 2 } } } \right) $$ اثبات کنید.
$$ \large f \left ( x \right ) = \sin x + \tan x – 2 x $$
تمامی عبارات موجود در نامساوی را به سمت چپ منتقل کرده و تابعی تحت عنوان $$f(x)$$ را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.
$$ \large f \left ( x \right ) = \sin x + \tan x – 2 x $$
مشتق تابع فوق برابر است با:
$$ \large \begin {align*} f ^ { \prime } \left ( x \right ) & = { { \left( { \sin x + \tan x – 2x} \right ) ^ \prime } } \\\\ & = { \cos x + \frac { 1 } { {{ { \cos }^2}x}} – 2 } \end {align*} $$
حال باید بازه‌ای از دامنه را بیابیم که در آن علامت مشتق تغییر نمی‌کند. بدین منظور می‌توان معادله $$ f ^ { \prime } \left( x \right) = 0 $$ را به شکل درجه سوم، به صورت زیر بیان کرد:
$$ \large \begin {align*} { f ^ { \prime } \left ( x \right) = 0 \;\;\;} & \Rightarrow
{\cos x + \frac{1 } { { { {\cos } ^ 2 } x } } – 2 = 0 \;\;\;} \\\\ & \Rightarrow
{\frac { { { { \cos }^3}x – 2{{\cos }^2}x + 1} } { { { { \cos } ^ 2 } x } } = 0 \;\;\;} \\\\ & \Rightarrow {\left\{ {\begin{array}{*{20} { c } } { { { \cos } ^ 3 } x – 2 { { \cos } ^ 2 } x + 1 = 0 } \\ {\cos x \ne 0 } \end{array} } \right. } \end {align*} $$
برای حل معادله فوق کافی است از تغییر متغیر $$ \cos x = z $$ استفاده شود. با استفاده از این تغییر متغیر، معادله مثلثاتی به صورت زیر در می‌آید.
$$ \large \begin {align*} { { z ^ 3 } – 2{z^2} + 1 = 0 \;\;\;} & \Rightarrow { { z ^ 3 } – { z ^ 2 } – { z ^ 2 } + z – z + 1 = 0 \;\;\;} \\ & \Rightarrow { { z ^ 2 } \left ( { z – 1 } \right ) – z \left ( { z – 1 } \right) – \left( {z – 1} \right ) = 0,\;\;\;} \\ & \Rightarrow { \left ( {z – 1} \right ) \left ( { { z ^ 2 } – z – 1} \right) = 0 \;\;\;} \\ & \Rightarrow { { z _ 1 } = 1 } \end {align*} $$
با حل معادله درجه دومِ $$ { z ^ 2 } – z – 1 = 0 $$ ریشه‌ها برابر می‌شوند با:
$$\large \begin {align*} { { z ^ 2 } – z – 1 = 0 \;\;\;} & \Rightarrow {D = 1 + 4 = 5 \;\;\;} \\ & \Rightarrow { { z_ { 2 , 3 } } = \frac { { 1 \pm \sqrt 5 } } { 2 } \approx – 0.62;\;1.62 } \end {align*} $$
در نمودار زیر نحوه تغییر علامت مشتق در این ریشه‌ها نشان داده شده است.
اگر بازه متغیرِ $$ x $$ را برابر با $$ \left ( { 0 , { \large { \frac { \pi } { 2 } } \normalsize}} \right ) $$ در نظر بگیریم، در این صورت همین بازه برای متغیر $$z$$ برابر با $$ ( 0 , 1 ) $$ خواهد بود. متغیر $$ z $$ در این بازه مثبت است. بنابراین می‌توان گفت تابع $$f(x)$$ در بازه $$ \left ( { 0 , { \large { \frac { \pi } { 2 } } \normalsize}} \right ) $$ افزایشی خواهد بود. از طرفی مقدار تابع در ابتدای بازه برابر است با:
$$ \large f \left ( 0 \right ) = \sin 0 + \tan 0 – 2 \cdot 0 = 0 $$
با توجه به افزایشی بودن تابع، می‌توان گفت $$f$$ در بازه $$ \left ( { 0 , { \large { \frac { \pi } { 2 } } \normalsize}} \right ) $$ مثبت است. در حقیقت می‌توان گفت:
$$ \large { \sin x + \tan x – 2 x > 0 \;\;\;} \Rightarrow { \sin x + \tan x > 2 x,\;\;x \in \left( { 0,\frac { \pi } { 2 } } \right) } $$
در این مطلب تعدادی از روش‌های اثبات نامساوی‌ها بیان شدند. همان‌طور که می‌بینید اکثر این نامساوی‌ها را می‌توان با استفاده از مفهوم مشتق اثبات کرد.
در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات
- مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
- مشتق - به زبان ساده
- روش‌های مشتق‌گیری - به همراه مثال
- تخمین سری در ریاضی — به زبان ساده
^^
