لم بورل کانتلی برای همگرایی در احتمال – به زبان ساده

در نظریه احتمال، لم بورل کانتلی برای همگرایی در احتمال، یک قضیه راجع به دنباله‌ای از پیشامدها است که در آن، این لم سعی دارد در مورد احتمال رخداد آن‌ها پیش‌بینی انجام دهد. از این جهت برای دنباله‌ای نامتناهی از پیشامدها، تحت شرایط خاص، می‌توان مقدار احتمال در پیشامدهای دمی را محاسبه کرد. این موضوع بخصوص در «فرآیندهای تصادفی» (Random Process) از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. به همین جهت این نوشتار از مجله فرادرس را به اثبات لم بورل کانتلی برای همگرایی در احتمال اختصاص داده‌ایم.

برای آشنایی بیشتر با موضوع انواع همگرایی متغیرهای تصادفی و پیشامدها، نوشتار همگرایی دنباله متغیرهای تصادفی — آشنایی با انواع آن و قانون صفر و یک در احتمال — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال و قضیه حد مرکزی و تعمیم آن — به زبان ساده برای درک بهتر اصطلاحات مربوط به همگرایی دنباله متغیرهای تصادفی نیز خالی از لطف نیست.

لم بورل کانتلی برای همگرایی در احتمال

یکی از قضیه‌هایی مرتبط با دنباله پیشامدهای تصادفی و محاسبه احتمال «پیشامدهای دمی» (Tail Events)، لم بورل کانتلی (Borel-Cantelli Lemma) است که حالت عمومی آن در «نظریه اندازه» (Measure Theory) نیز مطرح می‌شود.

این قضیه یا لم توسط «امیل بورل» (Emile Borel) ریاضیدان فرانسوی و «فرانچسکو پائلو کانتلی» (Francesco Paolo Cantelli) ریاضیدان ایتالیایی،‌ در دهه اول قرن بیستم مطرح و اثبات شد.

این دو دانشمند، در این قضیه، شرایطی را مطرح کردند که براساس آن، مقدار «احتمال پیشامد دمی» (Tail Event Probability) برای یک دنباله نامتناهی از پیشامدها، قابل پیش‌بینی می‌شود. در اصل این قضیه «قانون صفر و یک» (Zero-One Law) در احتمال را به همراه شرایط مربوطه، برای یک دنباله نامتناهی از پیشامده، اثبات می‌کند.

نکته: «قانون صفر و یک کولموگروف» (Kolmogorov's zero–one law) و «قانون صفر و یک هویت-سویچ» (Hewitt–Savage zero–one law) نیز احتمال را تحت شرایط دیگر برای چنین دنباله‌ای مورد بررسی قرار می‌دهند.

صورت لم بورل کانتلی برای همگرایی در احتمال

دنباله‌ای نامتناهی از پیشامدها در یک «فضای احتمال» (Probability Space) را در نظر بگیرد. اگر چنین دنباله‌ای را به صورت $$\{E_i\}_{i = 1}^{\infty}$$ نمایش دهیم، قضیه یا لم بورل کانتلی به صورت زیر معرفی می‌شود.

لم بورل کانتلی: دنباله‌ای نامتناهی از پیشامدهای $$E_1, E_2 , \ldots$$، با مجموع احتمالات متناهی را، به شرط زیر در نظر بگیرید.

$$\large \sum_{n = 1}^\infty \Pr(E_n) < \infty$$

آنگاه احتمال رخداد نامتناهی از آن‌ها برابر با صفر است. به این ترتیب داریم:

$$\large{\displaystyle \Pr \left( \limsup_{n \to \infty }E_{n} \right) = 0}$$

در این حالت توجه داشته باشید که منظور از $$\limsup$$، حد سوپریمم دنباله‌ای از پیشامدها است. از طرفی هر پیشامد، یک مجموعه از نتایج آزمایش تصادفی (پیشامدهای ساده) است. این امر به این معنی است که مجموعه رخدادها یا نتایج آزمایش تصادفی که به طور نامتناهی بار تکرار، در دنباله نامتناهی $$\{E_n\}$$ ظاهر می‌شوند، همان $$\lim sup E_n$$ است.

توجه داشته باشید که شرط استقلال برای پیشامدهای تصادفی در لم بورل کانتلی وجود ندارد. با توجه به نماد ریاضی، چنین پیشامدی به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large {\displaystyle \limsup_{n \to \infty }E_{n} = \bigcap_{ n = 1 }^{\infty } \bigcup_{k \geq n}^{\infty }E_{k}}$$

نکته: گاهی «لیم سوپ» (lim sup) پیشامد $$E_n$$ را به صورت $$\{E_n \;\; i.o\}$$ نیز نشان می‌دهند. منظور از $$i.o$$ عبارت Infinity Often با «اغلب بی‌نهایت بار» است.

اثبات لم بورل کانتلی

دنباله نامتناهی از پیشامدهای $$E_n$$ را در یک فضای احتمال در نظر بگیرید. دنباله‌ای به صورت زیر یک دنباله «غیر صعودی» (Non-Increasing) است.

$$\large \{ \bigcup_{n = N}^{\infty} E_n\}_{N = 1}^{\infty}$$

زیرا به راحتی رابطه زیر برای آن دیده می‌شود.

$$\large {\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty }E_{n} \supseteq \bigcup_{n = 2}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \bigcup_{n = N }^{\infty }E_{n} \supseteq \bigcup_{ n = N + 1 }^{\infty } E_{n} \supseteq \cdots \supseteq \limsup_{n \to \infty }E_{n}}$$

با توجه به پیوستگی از بالا برای احتمال داریم:

$$\large {\displaystyle \Pr( \limsup_{n\to \infty }E_{n}) = \lim_{N \to \infty } \Pr \left( \bigcup_{n = N}^{\infty } E_{n} \right)}$$

از طرفی با توجه به قاعده «زیرجمعی» (subadditivity) برای تابع احتمال خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle \Pr \left( \bigcup_{n = N}^{\infty }E_{n}\right) \leq \sum_{n = N}^{\infty } \Pr(E_{n}) }$$

طبق شرطی که در لم بورل کانتلی مبنی بر متناهی بودن مجموع پیشامدها به صورت $${\textstyle \sum_{n = 1}^{\infty } \Pr (E_{n}) < \infty }$$ داشتیم، نتیجه می‌گیریم که دنباله $${\textstyle \sum_{n = 1}^{ \infty }\Pr(E_{n})}$$ نیز همگرا بوده و داریم:

$$\large {\displaystyle \lim_{ N \to \infty } \sum_{ n = N }^{\infty } \Pr(E_{n}) = 0 }$$

واضح است که لم اول بورل کانتلی شرایط برای قانون صفر و یک احتمال در بخش اول یعنی احتمال صفر را برای پیشامدهای دمی مشخص می‌کند. برای مشاهده مثال‌هایی از دنباله‌ای پیشامدهای تصادفی که در لم بورل کانتلی صدق می‌کنند به اینجا مراجعه کنید.

لم بورل کانتلی براساس نظریه اندازه

این بار به جای یک فضای احتمال، «فضای اندازه» (Measure Space) را در نظر گرفته و قضیه یا لم بورل کانتلی را بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش فرایندهای تصادفی یا اتفاقی Stochastic Processes در فرادرس

کلیک کنید

فرض کنید $$\mu$$ یک اندازه (مثبت) روی مجموعه $$X$$ باشد. همچنین سیگما میدان حاصل از مجموعه $$X$$ به صورت $${\cal{F}}$$ و دنباله ($$A_n$$) را در آن در نظر بگیرید.

به این ترتیب اگر

$$\large \sum_{n = 1}^\infty \mu(A_n) < \infty$$

آنگاه خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle \mu \left( \limsup_{n \to \infty} A_{n}\right) = 0}$$

لم دوم بورل کانتلی یا نتیجه عکس

نتیجه‌ای که از لم اول بورل کانتلی حاصل می‌شود، به قضیه عکس یا لم دوم بورل کانتلی معروف است.

لم دوم بورل کانتلی برای یک دنباله نامتناهی از پیشامدهای مستقل به کار می‌رود. پس در اینجا شرط استقلال برای پیشامدها ضروری است. از طرفی فرض می‌شود که مجموع احتمالات برای چنین دنباله‌ای، واگرا بوده در نتیجه مقدار احتمال پیشامد دمی برابر با ۱ خواهد بود. پس صورت قضیه را به شکل زیر بیان می‌کنیم.

1. برای دنباله پیشامدهای $$E_n$$، داریم $${\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty }\Pr(E_{n}) = \infty }$$
2. پیشامدهای $$E_n$$ نسبت به یکدیگر مستقل هستند.

آنگاه رابطه زیر برای پیشامد لیم سوپ آن‌ها به صورت زیر است.

$$\large \Pr( \limsup_{n \rightarrow \infty} E_n) = 1$$

مشخص است که لم دوم بورل کانتلی، در قانون صفر و یک احتمال، بخش دوم یعنی شرایط برای یک بودن احتمال پیشامد دمی را بیان می‌کند.

نکته: شرط استقلال را در این قضیه می‌توان به استقلال زوجی (Paired-wise Independence) نیز تقلیل داد ولی اثبات آن در این حالت بسیار مشکل خواهد شد.

اثبات لم دوم بورل کانتلی

با توجه به شرط‌های مربوط به لم دوم بورل کانتلی واگرایی در مجموع و استقلال پیشامدها را داریم. بنابراین کافی است نشان دهیم که پیشامد $$E_n$$ به طور نامتناهی بار رخ نمی‌دهد، یا احتمال رخداد آن صفر است.

بنابراین کافی است نشان دهیم که رابطه زیر برقرار است.

$$\large {\displaystyle 1 - \Pr( \limsup_{n \rightarrow \infty }E_{n}) = 0 }$$

توجه داشته باشید که روابط زیر برای چنین حالتی برقرار است.

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned} 1 - \Pr( \limsup_{n \rightarrow \infty } E_{n})& = 1 - \Pr \left( \{E_{n}{ \text{ i.o.}} \} \right) = \Pr \left( \{E_{n}{ \text{ i.o.}}\}^{c}\right)\\ \large & = \Pr \left( \left( \bigcap_{N = 1 }^{\infty }\bigcup_{n = N}^{\infty} E_{n} \right)^{c} \right) = \Pr \left( \bigcup_{N = 1}^{\infty} \bigcap_{n = N}^{\infty } E_{n}^{c}\right) \\ \large & = \Pr \left( \liminf_{n \rightarrow \infty }E_{n}^{c}\right) = \lim_{N \rightarrow \infty} \Pr \left( \bigcap_{n = N}^{\infty} E_{n}^{c} \right) \end{aligned}}}$$

به این ترتیب فقط باید تساوی $${\displaystyle \Pr \left(\bigcap_{n = N}^{\infty }E_{n}^{c} \right) = 0}$$ را نشان دهیم. از آنجایی که پیشامدها در دنباله $$(E_n)_{n = 1 }^{\infty}$$‌، مستقل هستند، می‌توان نوشت:

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned} \Pr \left( \bigcap_{n = N}^{\infty }E_{n}^{c}\right) & = \prod_{n = N}^{\infty }\Pr(E_{n}^{c}) \\ \large & = \prod_{n = N}^{\infty }(1 - \Pr(E_{n})) \\ \large & \leq \prod_{n = N}^{\infty }\exp(- \Pr(E_{n})) \\ \large & = \exp \left( -\sum_{n = N}^{\infty }\Pr (E_{n})\right) \\ \large & = 0 \end{aligned}}}$$

در نتیجه حکم ثابت است. البته از دیدگاه دیگر برای نشان دادن $${\displaystyle \Pr \left( \bigcap_{n = N}^{\infty } E_{n}^{c} \right) = 0 }$$، می‌توان با لگاریتم گیری و قرینه کردن مقدار لگاریتم احتمال، به رابطه‌های زیر رسید.

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned} - \log \left( \Pr \left(\bigcap_{n = N}^{\infty }E_{n}^{c} \right) \right) & = - \log \left( \prod_{n=N}^{\infty }(1 - \Pr(E_{n}))\right) \\ & = -\sum_{n = N}^{\infty }\log(1 - \Pr(E_{n})) \end{aligned}}}$$

از آنجایی که براساس تابع لگاریتم و نامساوی آن داریم $$- \log(1 - x) \geq x , \forall x > 0$$ پس مشخص است که نتیجه زیر برای احتمال پیشامد دمی برقرار است.

$$\large {\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty } \Pr (E_{n}) = \infty}$$

یک مثال در مورد لم دوم بورل کانتلی

«قضیه میمون نامتناهی» (Infinite Monkey Theorem) یکی از حالت‌های خاص لم دوم بورل کانتلی است.

همچنین از این لم می‌توان برای فضای $$R^N$$ نیز استفاده کرد. فرض کنید $$E_j$$ یک گردایه از زیرمجموعه‌های «اندازه‌پذیر لبگ» (Lebesgue Measurable) در مجموعه فشرده $$R^n$$ باشد، بطوری که

$$\large {\displaystyle \sum_j \mu(E_j) = \infty }$$

آنگاه دنباله‌ای مانند $$F_j$$ از تبدیلات به صورت زیر وجود دارد.

$$\large {\displaystyle F_{j} = E_{j} + x_{j}}$$

برای این دنباله نیز خواهیم داشت:

$$\large \lim\sup F_j = \bigcap_{n = 1}^\infty \bigcup_{k = n}^{\infty} F_k = \mathbb{R}^n$$

در نظر داشته باشید که این مجموعه، جدا از مجموعه‌ای با اندازه $$\mu$$ صفر است.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار به بررسی یکی از قوانین صفر و یک و همگرایی در احتمال پیشامدهای تصادفی به نام لم بورل کانتلی (Borel-Cantelli Lemma) پرداختیم. در ضمن شرایط استفاده از این لم نیز مورد بحث و بررسی قرار گرفت. از آنجایی که شرط استقلال برای دنباله پیشامدها در لم بورل کانتلی وجود ندارد، به راحتی می‌توان از آن برای محاسبه پیشامدهای دمی استفاده کرد. به این ترتیب احتمال پیشامدهای دمی طبق این لم و شرایط ذکر شده برابر با صفر است. از طرفی قضیه معکوس لم بورل کانتلی که به لم دوم نیز شهرت دارد با شرط استقلال و واگرایی مجموع احتمال دنباله پیشامدها، مقدار احتمال برای پیشامد دمی برابر با یک در نظر گرفته می‌شود.