قانون صفر و یک در احتمال – به زبان ساده

پیشامدها یا رخدادهای تصادفی در زندگی معمول و روزانه ما حضور دارند. به همین جهت دوست داریم رفتار آن‌ها را در آینده و همچنین آینده‌های دور مورد بررسی قرار دهیم. قانون صفر و یک در احتمال به بررسی احتمال رخداد یا عدم چنین پیشامدهایی می‌پردازد.

به منظور آشنایی بیشتر با اصطلاحات به کار رفته در این نوشتار بهتر است مطالب دیگر مجله فرادرس با عنوان همگرایی دنباله متغیرهای تصادفی — آشنایی با انواع آن و متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال را بخوانید. همچنین مطالعه توزیع‌های آماری — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس و قضیه حد مرکزی و تعمیم آن — به زبان ساده برای درک بهتر اصطلاحات مربوط به همگرایی دنباله متغیرهای تصادفی نیز خالی از لطف نیست.

قانون صفر و یک در احتمال

دنباله‌ای نامتناهی از پیشامدهای تصادفی مثل $$X_1, X_2 , \ldots$$ را در نظر بگیرید. به یاد دارید که هر متغیر تصادفی می‌تواند با یک پیشامد در فضای احتمال، متناظر باشد. به همین دلیل به جای بررسی پیشامدها از متغیرهای تصادفی که به صورت کمی و عددی هستند، استفاده می‌کنیم.

«پیشامدهای دمی» (Tail Events) در این دنباله، مربوط به مقادیر متغیر تصادفی $$X_n$$ به ازاء $$n$$های بزرگ است. به کمک قانون یا قضیه‌هایی، می‌توانیم وضعیت رخداد چنین پیشامدهایی را مشخص و پیش‌بینی کنیم. قوانین و نظریه‌های متفاوتی در مورد رخداد پیشامدهای دمی وجود دارد که در این نوشتار به آن‌ها خواهیم پرداخت.

قانون صفر و یک در احتمال از دیدگاه کولموگروف

در «نظریه احتمال» (Probability Theory)، «قانون صفر و یک کولموگروف» (Kolmogorov's zero–one law) از اهمیت زیادی برخوردار است. این قانون که توسط آمارشناس بزرگ «آندری کولموگروف» (Andrey Nikolaevich Kolmogorov) معرفی شده است، یکی از مهم‌ترین قانون‌ها در مورد پیشامدهای دمی است.

فیلم آموزش تئوری احتمالات – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

برای درک بهتر قانون صفر و یک در احتمال برای پیشامدهای دمی، بهتر است ابتدا آن‌ها را با دقت بیشتری مورد بررسی قرار دهیم. فرض کنید $${\cal{F}}$$، سیگما میدان تولید شده توسط متغیر تصادفی $$X_i$$ باشد. اگر زیر دنباله‌ای از این پیشامدها که به صورت $$F\in {\cal{F}}$$ معرفی می‌شود، به طور احتمالی، مستقل نسبت به هر یک از زیرمجموعه‌های متناهی از متغیرهای تصادفی دنباله مورد نظر فرض شود، آنگاه $$F$$ را یک پیشامد دمی می‌نامیم.

برای مثال دنباله نامتناهی بار پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید. یک زیر دنباله که از ۱۰۰ پیشامد پشت سر هم از مشاهده شیر تشکیل شده باشد و بی‌نهایت بار نیز تکرار گردد، یک پیشامد دمی محسوب می‌شود.

اگر بخواهیم به طور دقیق، پیشامدهای دمی را معرفی کنیم، آن را می‌توان اعضای از فضای پیشامد در نظر گرفت که رخداد آن‌ها پس از مشاهده پیشامدهای به اندازه کافی بزرگ و متناهی از $$X_i$$‌ها، اتفاق خواهد افتاد. به این ترتیب اگر بخش بسیار بزرگ و اختیاری از دنباله تصادفی را حذف کنیم، باقیمانده‌ها، پیشامدهای دمی خواهند بود.

نکته: توجه داشته باشید که تعلق $$F$$ به سیگما میدان $${\cal{F}}$$ نشانگر آن است که عضویت در $$F$$، می‌تواند توسط مقادیر $$X_i$$ تعیین شود. برای مثال، پیشامدی که دنباله به آن همگرا است یا پیشامدی که مجموع متغیرهای تصادفی به آن همگرا می‌شوند، پیشامدهای دمی محسوب خواهند شد.

قانون صفر و یک کولموگروف، نشان می‌دهد که چنین پیشامدهایی با احتمال یک یا صفر رخ خواهند داد. به این معنی که یک پیشامد دمی یا حتما مشاهده شده یا هیچگاه اتفاق نخواهد افتاد.

نمایش قانون صفر و یک در احتمال از دیدگاه کولموگروف

فضای احتمال $$(\Omega,{\cal{F}} , P)$$ را در نظر بگیرید. $$F_n$$ را بخشی از سیگما میدان $${\cal{F}}$$ در نظر بگیرید که در آن دنباله‌ای دو به دو مستقل از پیشامدهای مربوط به فضای احتمال حضور دارند.

سیگما میدان $$G_n$$ را به شکل زیر در نظر بگیرید.

$$\large G_{n} = \sigma {\bigg (}\bigcup_{ { k = n } }^{\infty }F_{k}{\bigg )}$$

$$G_n$$، کوچکترین سیگما میدانی است که از $${\cal{F_n}} , {\cal{F_{n+1}}}, \ldots$$ تشکیل شده است. قانون صفر و یک کولموگروف برای پیشامدهایی متعلق به اشتراک چنین سیگما میدان‌هایی ساخته شده است.

$$\large F \in \bigcap_{{n = 1}}^{ \infty } G_{n}$$

به این ترتیب برای $$F$$ در این سیگما میدان داریم:

$$\large P(F) = 0 , 1$$

بیان قانون صفر و یک در احتمال از دیدگاه کولموگروف برای متغیر تصادفی

فرض کنید سیگما میدان $${\cal{F_n}}$$ حاصل از متغیر تصادفی $$X_n$$ باشد. در این صورت پیشامد دمی، طبق تعریف، پیشامدی است که اندازه‌پذیر نسبت به سیگما میدان تولید شده توسط همه $$X_n$$ها بوده و در عین حال مستقل از هر تعداد متناهی از $$X_n$$ها باشد.

به این ترتیب مشخص می‌شود که پیشامد دمی، یکی از عناصر اشتراک‌هایی به فرم $$\bigcap_{{n = 1}}^{ \infty } G_{n}$$ است.

به عنوان مثالی از پیشامدهای دمی که از قانون صفر و یک کولموگروف تبعیت می‌کنند می‌توان به «فرآیندهای جابجایی برنولی هم‌ریخت» (Bernoulli Automorphisms) اشاره کرد. به این جهت، تبدیل‌های معکوس‌پذیر که حافظ اندازه باشند (Invertible Measure-preserving Transformation)، روی فضای احتمال استاندارد که از  قانون صفر و یک کولموگروف تبعیت کنند، «خودهمریخت کلموگروف» (Kolmogorov automorphism) محسوب می‌شوند.

نکته: «خودهمریخت کولموگروفی» (Kolmogorov automorphism) تبدیلی معکوس‌پذیر و حافظ اندازه مانند $$T$$ است که دارای خواص زیر روی یک زیرسیگما میدان $$\cal{K} \subset \cal{F}$$ باشد:

$$\large \mathcal{K}\subset T\mathcal{K}$$

$$\large \bigvee_{n = 0}^\infty T^n \mathcal{K} = \mathcal{B}$$

$$\large \bigcap_{n = 0}^\infty T^{-n} \mathcal{K} = \{X,\varnothing\}$$

البته توجه داشته باشید که نماد $$\bigvee$$ برای نمایش اجتماع سیگما میدان‌ها و $$\bigcap$$ نیز برای اشتراک آن‌ها در نظر گرفته شده است. از طرفی مشخص است که تساوی‌ها به صورت تقریبا همه‌جا (Almost Everywhere) برقرار هستند. به این معنی که ممکن است رابطه‌های تساوی در نقاطی با اندازه صفر ($$\mu(A) = 0$$)، برقرار نباشند.

قضیه یا لم بورل کانتلی برای دنباله پیشامدها

یکی دیگر از قضیه‌های مهم در مورد پیشامدهای دمی، مربوط به «لم بورل-کانتلی» (Borel-Cantelli Lemma) است. این قضیه به افتخار «امیل بورل» (Emile Borel) و «فرانچسکو کانتلی» (Francesco Paolo Cantelli) نام‌گذاری شده است. همچنین عکس این لم نیز که به «لم دوم بورل-کانتلی» (Second Borel–Cantelli lemma) مشهور است، در نظریه احتمال به کار می‌رود.

قانون صفر و یک در احتمال و لم اول بورل کانتلی

قانون صفر و یک در احتمال با رویکرد بورل-کانتلی، به شرایطی می‌پردازد که تحت آن برای پیشامدهای دمی، احتمال رخداد برابر با صفر یا یک است. صورت لم بورل-کانتلی در «فضای احتمال» (Probability Space) به شکل زیر است. البته در اینجا لم اول بورل-کانتلی مورد نظر است.

دنباله‌ای از پیشامدهای $$E_1, E_2 , \ldots$$ را در یک فضای احتمال در نظر بگیرید. اگر دنباله احتمال رخداد این دنباله از پیشامدها، متناهی باشد، یعنی رابطه زیر برقرار باشد،

$$\large \sum_{n = 1}^\infty \Pr(E_n) < \infty$$

آنگاه احتمال اینکه بی‌نهایت از آن‌ها رخ دهند، برابر با صفر است. به این ترتیب داریم:

$$\large {\displaystyle \Pr \left( \limsup_{n\to \infty }E_{n} \right) = 0 }$$

واضح است که منظور از lim Sup، حد سوپریمم (Limit Supremum) برای چنین دنباله‌ای است. به این ترتیب منظور از lim sup E_n مجموعه‌ای از پیشامدهایی است که بی‌نهایت بار در این دنباله تکرار می‌شوند.

$$\large {\displaystyle \limsup_{n\to \infty }E_{n} = \bigcap_{n = 1 }^{\infty } \bigcup_{k\geq n}^{\infty }E_{k}}$$

به این ترتیب قضیه یا لم بورل کانتلی، بیان می‌کند که اگر مجموع احتمالات پیشامدها یک دنباله نامتناهی، کراندار یا متناهی باشد، آنگاه مجموعه‌ای از پیشامدهایی که بطور نامتناهی بار تکرار می‌شوند، با احتمال صفر رخ می‌دهند. جالب است که این پیشامدها، احتیاجی به شرط استقلال ندارند. بنابراین تفاوت اصلی در لم بورلی کانتلی با قانون کولموگروف، در استقلال پیشامدها است. از طرفی قانون کولموگروف بیشتر به متغیرهای تصادفی حاصل از پیشامدها توجه دارد در حالیکه لم بورل کانتلی، فقط به دنباله‌ای از پیشامدها (نه متغیرهای تصادفی) می‌پردازد.

مثال

فرض کنید $$(X_n)$$ دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی با تابع احتمال به فرم زیر باشد.

$$\large \Pr(X_n = 0 ) = \frac{1}{n^2}$$

احتمال اینکه پیشامد $$X_n = 0$$ بطور نامتناهی، $$n$$ بار رخ دهد، برابر است با احتمال اینکه اشتراک نامتناهی پیشامد $$[X_n = 0 ]$$ رخ دهد. اشتراک نامتناهی پیشامد که تکرار شده‌اند، پیشامدی است که از اشتراک همه آن‌ها ساخته می‌شود.

جدول ۱: نحوه تشکیل پیشامدهای دمی در دنباله‌ای از پیشامدهای تصادفی طبق تعریف بورل-کانتلی

همانطور که در جدول شماره ۱، قابل مشاهده است، دنباله نامتناهی از پیشامدها وجود دارد که بی‌نهایت بار تکرار می‌شوند. اشتراک حاصل از پیشامدهای انتهایی را در این حالت پیشامد دمی می‌نامند. طبق قضیه‌های مربوط به مجموعه دنباله‌ها، می‌دانیم، مجموع مربوط به احتمالات پیشامدهای این دنباله، متناهی است، زیرا:

$$\large \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645 < \infty$$

پس لم بورل کانتلی قابل استفاده است. به این ترتیب با به کار بردن قضیه یا لم بورل-کانتالی، متوجه می‌شویم که دنباله‌ای نامتناهی از پیشامدها که بی‌نهایت بار تکرار می‌شوند، با احتمال صفر رخ می‌دهند. پس احتمال اینکه پیشامد $$X_n = 0$$ به طور نامتناهی، $$n$$ بار رخ دهد برابر است با صفر.

از طرف دیگر می‌توان گفت که «تقریبا مطمئن» (Almost Surely) ‌هستیم (با احتمال یک) که $$X_n$$ مخالف صفر برای متناهی $$n$$ بار است.

قانون صفر و یک در احتمال و لم دوم بورل کانتلی

در این حالت فرض اولیه در لم قبلی را برعکس در نظر می‌گیریم. یعنی برای دنباله‌ای از پیشامدهای $$(E_n)$$ داریم:

$$\large {\displaystyle \sum_{n = 1 }^{\infty } \Pr(E_{n}) = \infty}$$

البته در اینجا شرط استقلال پیشامدهای دنباله وجود دارد. با وجود این شرط، رابطه زیر برقرار است.

$$\large \Pr ( \limsup_{n \rightarrow \infty} E_n) = 1$$

مثال

«قضیه میمون نامتناهی» (Infinite Monkey Theorem) یک حالت از این لم را نشان می‌دهد. می‌توان نشان داد که اگر میمونی به صورت تصادفی کلیدهای یک ماشین تحریر را بی‌نهایت بار فشار دهد، به احتمال یک، متن کاملی از اثر شکسپیر را تولید خواهد کرد. واضح است که این پیشامد در هر مقطع زمانی، بسیار نادر است ولی در صورتی که بی‌نهایت این کار تکرار شود، با احتمال یک رخ خواهد داد.

قانون صفر و یک در احتمال با دیدگاه هیویت-سَویج

درست به مانند قوانین یا قضیه‌های قبلی، «قانون هویت-سویج» (Hewitt–Savage zero–one law) به بررسی پیشامدهای انتهایی در یک دنباله از پیشامدها می‌پردازد. این قانون توسط «ادوین هویت» (Edwin Hewitt) و «لئونارد سویج» (Leonard Jimmie Savage) ابداع شده است.

فیلم آموزش آمار و احتمالات مهندسی – حل نمونه سوالات کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

بیان قانون صفر و یک در احتمال توسط هویت-سویج

دنباله متغیرهای تصادفی $$\{X_n\}_{n = 1}^{\infty}$$ که به صورت مستقل و هم‌توزیع ایجاد شده‌اند را با تکیه‌گاه $${\cal{X}}$$ در نظر بگیرید. قانون صفر و یک هویت-سَویج، بیان می‌کند که رخداد یا عدم رخداد پیشامدهای وابسته به این متغیرهای تصادفی، با تغییر و جابجایی «ترتیب متناهی» (Finite Permutation) از اندیس این متغیرها تغییر نکرده و مقدار آن یا صفر بوده یا با احتمال ۱ رخ خواهند داد.

نکته: منظور از ترتیب یا جایگشت متناهی، ثابت بودن در ترتیب اندیس‌های این دنباله نامتناهی است به شرطی که فقط تعداد متناهی از اندیس‌ها، قابل جابجایی باشند.

به طور دقیق‌تر می‌توان این موضوع را مرتبط با «سیگما میدان تبدیل‌پذیر» (Exchangeable Sigma Algebra) یا «سیگما میدان پیشامدهای متقارن» (Sigma Algebra of Symmetric Events) با نماد $$\huge{\epsilon}$$ دانست.

چنین میدانی تحت تغییر یا جایگشت متناهی از اندیس‌ها تغییر نخواهد کرد. به این ترتیب داریم:

$$\large {\cal{A}} \in \huge{\epsilon} \large \rightarrow \Pr(A) \in \{0, 1\}$$

مثال

دنباله متغیرهای تصادفی $$\{X_n\}_{n = 1}^{\infty}$$ با مقادیری در بازه $$[0,\infty)$$ را در نظر بگیرید. پیشامدی که نقطه همگرایی مجموع این دنباله یعنی $$\sum_{n = 1}^{\infty} X_n$$ است، یک پیشامد متقارن در $$\huge{\epsilon}$$ است، زیرا نتیجه این جمع با تغییر اندیس‌ها، تفاوت نخواهد کرد.

نکته: برای یک تغییر ترتیب متناهی، همگرایی یا واگرایی سری‌ها و در نتیجه مقداری حاصل جمع یاد شده، تفاوت نخواهد کرد. واضح است همگرایی یا واگرایی دنباله، مستقل از اندیس‌هایی است که در جمع به کار برده‌ایم.

اگر فرض کنید که برای $$X_n$$، امید ریاضی، مقداری مثبت باشد، می‌توان نتیجه گرفت:

$$\large {\mathbb {P}} \left( \sum_{{ n = 1 }}^{\infty } X_{n} = + \infty \right) = 1$$

این امر به این معنی است که دنباله به طور مطمئن، واگرا است.

نکته: البته توجه داشته باشید که شرط $$E[X_n] > 0$$ با توجه به هم‌توزیعی و مستقل بودن متغیرهای تصادفی این دنباله، بیانگر آن است که با احتمال کمتر از ۱، مقدار متغیر تصادفی برابر با صفر است. یعنی:

$$\large E[X_n] > 0 \longleftrightarrow \Pr(X_n = 0 ) < 1$$

این بار فرض کنید که دنباله‌ای از مجموع‌های متناهی متغیرهای تصادفی $$X_n$$ به شکل زیر ایجاد کرده‌ایم.

$$\large S_{N} = \sum_{{ n = 1 }}^{N} X_{n}$$

در این حالت می‌توان $$S_N$$ را موقعیت یک «قدم زدن تصادفی» (Random Walk) در گام $$N$$ام با میزان افزایش یا گام‌های مستقل به اندازه $$X_n$$ در نظر گرفت.

پیشامد $$\{S_n = 0 \}$$ تحت جایگشت‌های مختلف اندیس، پایا است. در نتیجه قانون صفر و یک در اینجا نیز برقرار است. پس می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اینکه یک قدم زدن تصادفی با میزان افزایش مستقل و با مقادیر حقیقی، مرکز را بی‌نهایت بار ملاقات کند، یا برابر با صفر است یا برابر با ۱.

بازگشت به نقطه مرکزی بی‌نهایت بار را می‌توان یک پیشامد دمی برای دنباله $$\{S_N\}$$ در نظر گرفت. ولی توجه داشته باشید که $$S_N$$ها مستقل نیستند و نمی‌توان در اینجا از «قانون صفر و یک کولموگروف» به طور مستقیم استفاده کرد.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با سه موضوع یا سه رویکرد برای بررسی دنباله‌ای از پیشامدهای تصادفی آشنا شدیم که مقدار احتمال را در دم‌های این دنباله مورد بررسی قرار می‌داد. این احتمالات در شرایط خاص از قبل مشخص بوده و براساس قانون صفر و یک در احتمال تعیین می‌شوند. همانطور که خواندید، سه قانون اصلی و معروف برای پیشامدهای دمی، با اسامی «قانون صفر و یک کولموگروف»، «لم بورل-کانتلی» و «قانون صفر و یک هویت-سَویج» معرفی شده و شرایط برقراری هر یک نیز مورد بررسی قرار گرفت.