آونگ مرکب – از صفر تا صد

آونگ مرکب چیست؟

آونگ مرکب و یا به تعبیری آونگ ترکیبی به سیستمی با دو درجه آزادی گفته می‌شود. این آونگ از دو رابط و دو جرم تشکیل شده و نوسان هریک از دو جرم روی جرم دوم تاثیرگذار است.

بدون شک نحوه حرکت آونگ مرکب یکی از رفتار‌های فیزیکی جالب در طبیعت محسوب می‌شود که در این مطلب این رفتار را با استفاده از ابزار ریاضیات توضیح خواهیم داد.

در حالتی که آونگ ساده به میزانی اندک از حالت تعادلش منحرف شود، پاسخ معادله حرکتِ آن به صورت ترکیبی از ترم‌های سینوسی و کسینوسی بدست خواهد آمد.

آونگ مرکب نسبت به آونگ ساده به کلی دارای رفتاری متفاوت است. در مواردی که دامنه نوسانات آونگ اندک باشد، سیستم پدیده ضربان یا Beat را از خودش نشان می‌دهد. همچنین گفتنی است که مشخصه‌های نوسانی یک آونگ مرکب با گذشت زمان ناپایدار می‌شود.

در ادامه مدلی ریاضیاتی را در مورد نوسان آونگ ارائه خواهیم داد و پاسخ آن را نیز در شرایط مختلف مورد بررسی قرار می‌دهیم.

معادلات لاگرانژ

توجه داشته باشید که میله‌های رابط، بدون جرم در نظر گرفته شده‌اند. هم‌چنین طول‌ آن‌‌ها نیز برابر با $$\large l_1 , l _ 2$$ است. نهایتا کمیت‌های در نظر گرفته شده به منظور توصیف این سیستم، به صورت زیر هستند.

$$\large \begin {align*} { { x _ 1 } = { l _ 1 } \sin { \alpha _1 } , \; \; } \kern-0.3pt{{x_2} = {l_1}\sin {\alpha _1} + {l_2}\sin {\alpha _2},\;\;} \kern-0.3pt { { y _1 } = – { l _ 1 } \cos{\alpha _1},\;\;}\kern-0.3pt{{y_2} = – { l _ 1 } \cos{\alpha _1} – { l _ 2 } \cos { \alpha _ 2 } } \end {align*}$$

انرژی‌های پتانسیل و جنبشی آونگ که به ترتیب با $$\large \begin {align*} T , V \end {align*}$$ نشان داده می‌شوند، برابرند با:

$$\large {{T = \frac { { { m _1 } v_1^ 2 } } {2} + \frac{{{m_2} v _ 2 ^ 2 } } { 2} } = {\frac{{{m_1}\left( {\dot x_1^2 + \dot y_1 ^ 2 } \right ) } } { 2 } } + { \frac { { { m _2 } \left ( {\dot x_2^2 + \dot y_2^2} \right)}}{2},\;\;}}\kern-0.3pt { { V = { m _ 1 } g { y _ 1 } + { m _ 2 } g { y _ 2 } }}$$

بنابراین لاگرانژین را می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

$$\large \begin {align*} { L = T – V } & = { {T_1} + {T_2} – \left( { { V _ 1 } + {V_2}} \right) } \\ & = { \frac { { { m _ 1 } } } { 2 } \left ( {\dot x _ 1 ^ 2 + \dot y_1 ^ 2 } \right ) } + { \frac { { { m _2 } } }{ 2} \left( {\dot x_2^2 + \dot y_2^2} \right) }-{ { m _1 } g { y _ 1 } – { m _ 2 } g { y _ 2 } } \end {align*}$$

با مشتق‌گیری از کمیت‌ها مولفه‌های سرعت افقی و عمودی به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {align*} { { { \dot y } _ 1 } = { l _ 1 } \sin { \alpha _1 } \cdot { { \dot \alpha } _ 1 } ,\;\;}\kern-0.3pt {{{{\dot y}_2} = { l _ 1 } \sin { \alpha _1 } \cdot { { \dot \alpha }_1} }+{ {l_2}\sin{\alpha _2} \cdot {{\dot \alpha }_2}.}} \end {align*}$$

نهایتا انرژی‌های جنبشی دو جرم برابر می‌شوند با:

$$\large \begin {align*} { T _ 1 } = \frac{{{m_1}}}{2}\left( {\dot x_1^2 + \dot y_1^2} \right) & = {{\frac{{{m_1}}}{2}\left( {l_1^2\dot \alpha _1^2{{\cos }^2}{\alpha _1} }\right.}+{\left.{ l_1^2\dot \alpha _1^2{\sin^2}{\alpha _1}} \right) }} \\ & = {\frac { { { m _ 1 } } } {2 } l_1^2\dot \alpha _1 ^ 2 } & \\\\ { T _ 2 } = \frac{{{m_2}}}{2}\left( {\dot x_2^2 + \dot y_2^2} \right) & = \frac{{{m_2}}}{2} \left [ {{{\left ( { { l_ 1 } { { \dot \alpha }_1}\cos {\alpha _1} + {l_2}{{\dot \alpha }_2} \cos {\alpha _2}} \right)}^2} } \right.+ \\ & \left.{ {{\left( {{l_1}{{\dot \alpha }_1}\sin{\alpha _1} + {l_2}{{\dot \alpha }_2}\sin{\alpha _2}} \right)}^2}} \right] \\ & = {\frac{{{m_2}}}{2}\Big[ {l_1^2\dot \alpha _1^2{{\cos }^2}{\alpha _1} } + {l_2^2\dot \alpha _2^2{{\cos }^2}{\alpha _2}} }+{ 2{l_1}{l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2}\cos {\alpha _1}\cos {\alpha _2} } \\ & +{ l_1^2\dot \alpha _1^2{\sin^2}{\alpha _1} } + { {l_2^2\dot \alpha _2^2{\sin^2}{\alpha _2} }+{ 2{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}{{\dot \alpha }_2} \sin { \alpha _1} \sin{\alpha _2}} \Big] } \\ & = {\frac{{{m_2}}}{2}\Big[ {l_1^2\dot \alpha _1^2 + l_2^2\dot \alpha _2^2 }+{ 2{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}{{\dot \alpha }_2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right)} \Big] } \end {align*}$$

به همین صورت انرژی‌های پتانسیل دو جرم نیز به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {align*} { { V _ 1 } = { m _ 1 } g {y _ 1 } } = { – { m _ 1 } g { l _1 } \cos { \alpha _1} } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} { { V _ 2 } = { m _ 2} g { y_ 2 } }={ – { m _ 2 } g \Big( {{l_1}\cos {\alpha _1} }+{ {l_2}\cos {\alpha _2}} \Big) } \end {align*}$$

نهایتا با بدست آمدن انرژی‌ها، لاگرانژین نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} {L = T – V }={ {T_1} + {T_2} – \left( {{V_1} + {V_2}} \right) } & = {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{2}} \right)l_1^2\dot \alpha _1^2 } \\ & + {\frac{{{m_2}}}{2}l_2^2\dot \alpha _2^2 } \\ & + {{m_2}{l_1}{l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) } \\ & + {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}\cos {\alpha _1} } \\ & + {{m_2}g{l_2}\cos {\alpha _2}.} \end {align*}$$

پیش‌تر معادله اویلر لاگرانژ را به صورت زیر معرفی کردیم.

$$\large \begin {align*} { \frac { d } { { d t } } \frac { { \partial L}}{{\partial {{\dot \alpha } _ i} } } – \frac { { \partial L} } { { \partial {\alpha _i}}} = 0,\;\;}\kern-0.3pt{i = 1,2.} \end {align*}$$

المان‌های موجود در رابطه فوق برابرند با:

$$\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_1}}} \text{ = }}\kern0pt{ \left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\dot \alpha }_1} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right),} \end {align*}$$
معادله ۱

$$\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _1}}} \text{ = }}\kern0pt{ – {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}{{\dot \alpha }_2}\sin\left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) } – {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}\sin{\alpha _1} } \end {align*}$$
معادله ۲

$$\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_2}}} \text{ = }}\kern0pt{ {m_2}l_2^2{{\dot \alpha }_2} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) } \end {align*}$$
معادله ۳

$$\large \begin {align*} {\frac { { \partial L}}{{\partial {\alpha _2}}} \text{ = }}\kern0pt{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha } _ 1 } { { \dot \alpha }_2}\sin\left( {{\alpha _1} } - { {\alpha _2}} \right) }-{ {m_2}g{l_2}\sin{\alpha _2}} \end {align*}$$
معادله ۴

حال با توجه به معادلات ۱و۲، معادله اول اویلر لاگرانژ را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \begin{aligned} &\frac{d}{d t}\left[\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1}^{2} \dot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)\right] \\ &+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1} \dot{\alpha}_{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g l_{1} \sin \alpha_{1}=0 \\ &\Rightarrow\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1}^{2} \ddot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{1} l_{2} \ddot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\ &+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{2}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g l_{1} \sin \alpha_{1}=0 \end{aligned}$$

با حذف $$\large \begin {align*} {l_1} \ne 0 \end {align*}$$ از طرفین رابطه فوق داریم:

\begin{aligned}
&\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1} \ddot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{2} \ddot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\
&+m_{2} l_{2} \dot{\alpha}_{2}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g \sin \alpha_{1}=0
\end{aligned}

به طور مشابه معادلات ۳ و ۴، معادله دوم اویلر لاگرانژ را به صورت زیر نتیجه می‌دهند.

$$\large \begin{aligned} &\frac{d}{d t}\left[m_{2} l_{2}^{2} \dot{\alpha}_{2}+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)\right] \\ &-m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1} \dot{\alpha}_{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+m_{2} g l_{2} \sin \alpha_{2}=0 \\ &\Rightarrow m_{2} l_{2}^{2} \ddot{\alpha}_{2}+m_{2} l_{1} l_{2} \ddot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)-m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\ &+m_{2} g l_{2} \sin \alpha_{2}=0 . \end{aligned}$$

با حذف $$\large \begin {align*} { m _ 2 } { l _2 } \ne 0 \end {align*}$$ از طرفین رابطه فوق، شکل معادله به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large l_{2} \ddot{\alpha}_{2}+l_{1} \ddot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)-l_{1} \dot{\alpha}_{1}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+g \sin \alpha_{2}=0$$

بنابراین دستگاه معادلات دیفرانسیلی که توصیف کننده سیستم است، به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin{aligned} &\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1} \ddot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{2} \ddot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\ &+m_{2} l_{2} \dot{\alpha}_{2}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g \sin \alpha_{1}=0 \\ &l_{2} \ddot{\alpha}_{2}+l_{1} \ddot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)-l_{1} \dot{\alpha}_{1}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+g \sin \alpha_{2}=0 \end{aligned}$$

در ادامه دستگاه معادلات بدست آمده در بالا را برای حالتی خاص حل خواهیم کرد. این حالت زمانی است که زاویه‌های نوسان دو جرم، اندک باشند.

نوسان اندک آونگ مرکب

فرض کنید زوایای $$\large \begin {align*} {\alpha _1}\left( t \right) \ , \ {\alpha _2}\left( t \right) \end {align*}$$ اندک بوده و نوسان جرم‌ها حول نقطه تعادل باشد. به منظور دست‌یابی به معادلات سیستم، معادله اویلر لاگرانژ را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \begin {align*} {L = T – V } & = {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac { {{ m _2 } } } { 2 } } \right)l_1 ^ 2 \dot \alpha _1^2 } \\ & + {\frac{{{m_2}}}{2}l_2^2\dot \alpha _2^2 } \\ & + {{m_2}{l_1}{l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) } \\ & + {\left( {{m_1} + {m_2}} \right ) g{ l _ 1 } \cos {\alpha _1} } \\ & + {{m_2}g{l_2}\cos {\alpha _2} } \end {align*}$$
معادله ۵

$$\large \begin {align*} {\cos {\alpha _1} \approx 1 – \frac{{\alpha _1^2}}{2},\;\;}\kern-0.3pt {\cos {\alpha _2} \approx 1 – \frac{{\alpha _2 ^ 2 } } { 2 } ,\;\;} \\ \kern-0.3pt {{\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) }\approx{ 1 – \frac{{{{\left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right ) }^ 2 } }} { 2 } }\approx{ 1 }} \end {align*}$$

با استفاده از بسط‌های فوق، معادله ۵ نیز به صورت زیر قابل بیان است.

$$\large \begin {align*} {L = T – V } = {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{2}} \right)l_1^2\dot \alpha _1^2 }+{ \frac{{{m_2}}}{2}l_2^2\dot \alpha _2^2 } & + { { m _ 2 } { l _ 1} { l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2} } \\ & – {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{2}} \right)g{l_1}\alpha _1^2 } \\ & + {\frac{{{m_2}}}{2}g{l_2}\alpha _2 ^ 2 } \end {align*}$$

تا این جا لاگرانژینِ L به ازای مقادیری کوچک از $$\large \begin {align*} \alpha _ 1 , \alpha _ 2 \end {align*}$$ بدست آمدند. معادله اویلر لاگرانژ نیز در حالت کلی به صورت زیر است.

$$\large \begin {align*} {\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_1}}} – \frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _1}}} = 0 \ \ \ , \ \ \;\;}\kern-0.3pt {\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_2}}} – \frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _2}}} = 0.} \end {align*}$$

بنابراین مشتقات جزئی، نسبت به کمیت‌های $$\large \begin {align*} \alpha _ 1 , \alpha _ 2 \end {align*}$$ برابرند با:

$$\large \begin {align*} { \frac { { \partial L} }{ {\partial {{\dot \alpha }_1}}} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\dot \alpha }_1} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2},} \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _1}}} = – \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}{\alpha _1}, \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_2}}} = {m_2}l_2^2{{\dot \alpha }_2} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1},} \end {align*}$$

$$\large \frac { { \partial L } } { { \partial { \alpha _ 2 } } } = – {m_2 } g { l _ 2}{\alpha _2}$$

نهایتا دو معادله دیفرانسیل به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\large {\frac{d}{{dt}}\left[ {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\dot \alpha }_1} }\right.}+{\left.{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2}} \right] }+{ \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}{\alpha _1} }={ 0 }$$

$$\large {\frac{d}{{dt}}\left[ { { m _ 2}l_2^2{{\dot \alpha }_2} + {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}} \right] }+{ {m_2}g{l_2}{\alpha _2} }={ 0 }$$

با محاسبه مشتقات فوق دو معادله دیفرانسیل به صورت زیر حاصل می‌شوند.

$$\large {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\ddot \alpha }_1} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\ddot \alpha }_2} }+{ \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}{\alpha _1} }={ 0 }$$

$$\large {{m_2}{l_1}{l_2}{{\ddot \alpha }_1} + {m_2}l_2^2 { { \ddot \alpha }_2} }+{ {m_2}g{l_2}{\alpha _2} }={ 0 }$$

معادلات فوق را می‌توان در قالب معادله‌ای ماتریسی، بیان کرد. بدین منظور در ابتدا ماتریس‌های $$\large \alpha , M , K$$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$ \large {\boldsymbol{\alpha} \left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> { { \alpha _1}\left( t \right)}\\<br /> { { \alpha _2}\left( t \right ) }<br /> \end{array}} \right],\;\;}\kern-0.3pt<br /> {M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2}&{{m_2}{l_1}{l_2}}\\<br /> {{m_2}{l_1}{l_2}}&{{m_2}l_2^2}<br /> \end{array}} \right],\;\;}\kern-0.3pt<br /> {K = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}}&0\\<br /> 0&{{m_2}g{l_2}}<br /> \end{array}} \right],\;\;}\kern0pt<br /> {\mathbf{0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> 0 \\<br /> 0<br /> \end {array}} \right] }$$