در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد معادله درجه ۲، توابع هذلولوی و هم‌چنین صفحات فضایی صحبت کردیم. اما توجه داشته باشید که توابع را می‌توان بر حسب درجه آن‌ها نیز دسته‌بندی کرد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا توابع درجه چهار را معرفی کرده و نهایتا روش‌های کلی حل معادله درجه چهار را توضیح دهیم.

شکل کلی معادله

در جبر، به تابعی به‌صورت زیر، تابع درجه ۴ گفته می‌شود.

$$ f ( x ) = a x ^ { 4 } + b x ^ { 3 } + c x ^ { 2 } + d x + e $$

بدیهی است که به‌منظور درجه ۴ بودن تابع فوق، مقدار $$ a $$ باید غیرصفر باشد. به همین صورت شکل کلی یک معادله درجه ۴ نیز به صورت زیر است.

$$ a x ^ { 4 } + b x‌^ { 3 } + c‌ x ^ { 2 } + d x + e = 0 $$

در معادله فوق نیز مقدار $$ a $$ غیرصفر است.

پاسخ معادله درجه چهار

معادله‌ای درجه ۴ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ a x ^ { 4 } + b x ^ { 3 } + c x ^ { 2 } +d x + e = 0 $$

در معادله فوق مقدار $$ a $$ غیرصفر بوده و دیگر ضرایب آن نیز اعدادی حقیقی هستند. در این صورت مقدار دلتا ($$ \Delta $$) را می‌توان به عنوان مشخصه‌ای به‌منظور تعیین نوع پاسخ‌ها در نظر گرفت. این مشخصه مطابق با رابطه زیر تعیین می‌شود.

$$ {\begin{aligned}\Delta \ =\ & 256 a ^ { 3 } e ^ { 3 } – 1 9 2 a ^ { 2 } b d e ^ { 2 } -1 2 8 a ^ { 2 } c ^ { 2 } e ^ { 2 } + 1 44 a ^ { 2 } cd ^ { 2 } e – 2 7 a ^ { 2} d ^ { 4 } \\ & + 14 4 a b ^ { 2 } c e ^ { 2 } – 6 a b ^ { 2 } d ^ { 2 } e – 8 0 a b c ^{ 2 } d e + 1 8 a b c d ^ { 3 } + 1 6 a c ^{ 4 } e \\ & – 4 a c ^ { 3 } d ^ { 2 } – 27 b ^ {4 } e ^ { 2 }+ 1 8 b ^ { 3 } cde – 4 b ^ { 3 } d ^ { 3 } – 4 b ^ { 2 } c ^ { 3 } e+ b ^ { 2} c ^ { 2 } d ^ { 2 } \end {aligned}} $$

البته برای تشخیص دقیق‌تر نوع پاسخ‌ها بهتر است ۴ ضریب زیر نیز محاسبه شوند.

۱. $$ P = 8 a c – 3 b ^ { 2 } $$

رابطه فوق نشان می‌دهد که $$ \frac { P } { 8 a ^ 2 } $$ از درجه $$ 2 $$ است. در ادامه در مورد ارتباط بین $$ P $$ و شکل پاسخ معادلات بیشتر بحث خواهیم کرد.

۲. $$ { \displaystyle R = b ^ { 3 } + 8 d a^ { 2} – 4 a b c }‌ $$

بدیهی است که مقدار فوق نشان می‌دهد $$ \frac { P } { 8 a ^ 3 } $$ از مرتبه اول است.

۳. $$ \Delta _ { 0 } = c ^ { 2 } – 3 b d + 1 2 a e $$

در صورت صفر بودن مقدار فوق، معادله دارای سه پاسخ خواهد بود.

۴. $$ D = 64 a ^ { 3 } e – 16 a ^ {2 } c ^{ 2 }+ 1 6 a b^ { 2} c -1 6
a ^ { 2} b d – 3 b ^ { 4 } $$

در صورت صفر بودن مقدار فوق، معادله دارای دو جفت پاسخ تکراری خواهد بود. با توجه به ۴ مقدار بیان شده در بالا هریک از گزاره‌های زیر می‌تواند برقرار باشد.

  • اگر $$ ∆ < 0 $$ باشد، در این صورت معادله درجه ۴ دارای ۲ پاسخ مجزا و ۲ پاسخ مختلط خواهد بود.
  • اگر $$ ∆ > 0 $$ باشد، در این صورت معادله می‌تواند دارای ۴ پاسخ مختلط یا حقیقی باشد.
  • در صورتی که $$ P < 0 $$ و $$ D < 0 $$ باشد، در این صورت هر ۴ پاسخ، حقیقی و متفاوت هستند.
  • در صورتی که $$ P > 0 $$ و $$ D > 0 $$ باشد، در این صورت معادله دارای دو جفت پاسخ مزدوج مختلط است.
  • در صورتی که $$ ∆ = 0 $$ باشد، در این صورت معادله دارای چندین پاسخ خواهد بود. در ادامه هریک از این حالات توضیح داده شده‌اند.
  • اگر $$ P < 0 $$ و $$ D < 0 $$ و $$ ∆_0 ≠ 0 $$ باشند، در این صورت دو ریشه تکراری و دو ریشه ساده وجود دارد.
  • اگر $$ ∆0 = 0 $$ بوده و $$ D ≠ 0 $$ باشد، در این صورت معادله یک ریشه با ۳ تکرار و ریشه‌ای متفاوت خواهد داشت. توجه داشته باشید که تمامی این ریشه‌ها حقیقی هستند.
  • در صورتی که $$ D = 0 $$ باشد، آن‌گاه یکی از حالات زیر رخ خواهد داد.
  • اگر $$ P < 0 $$ باشد، در این صورت معادله دارای دو جفت پاسخ حقیقی (با دو تکرار) است.
  • اگر $$ P > 0 $$ و $$ R = 0 $$ باشد، در این صورت دو جفت ریشه مزدوج مختلط وجود خواهد داشت.
  • در صورتی $$ ∆0 = 0 $$ باشد، در این صورت هر چهار ریشه برابر با $$ – \frac { b } { 4 a } $$ است.

موارد بیان‌شده در بالا تمامی حالات ممکن را پوشش نمی‌دهند. اما توجه داشته باشید که دیگر حالات هرگز رخ نمی‌دهند. برای نمونه $$ ∆_0 > 0, P = 0 $$ و $$ D ≤ 0 $$، موردی است که در بالا بیان نشده، دلیل این امر این است که این حالت عملا رخ نمی‌دهد. حال می‌خواهیم پاسخ‌های معادله‌ای به‌صورت زیر را بر حسب ضرایب ثابت آن بدست آوریم. در ابتدا معادله‌ای درجه ۴ به‌صورت زیر را در نظر بگیرید.

$$ a x ^ { 4 } + b x ^ { 3 } + c x ^ { 2 } + d x + e =0 $$

فرض بر این است که مقدار $$ a $$ غیرصفر باشد ($$ a ≠ 0 $$). در این صورت شکل کلی چهار پاسخ ممکن را می‌توان با استفاده از روابط زیر بدست آورد.

$$ { \begin {aligned} x _ { 1 , 2 } \ & = – { \frac { b } { 4 a } } – S \pm { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \left ( – 4 S ^ { 2 } – 2 p + { \frac { q } { S } } \right ) } } \\ x _ { 3 , 4 } \ & = – { \frac { b } { 4 a } } + S \pm { \frac { 1 }{ 2 } } { \sqrt { \left ( – 4 S ^ { 2 } – 2 p – { \frac { q } { S } } \right ) } } \end {aligned} } $$

$$ p $$ و $$ q $$ به‌ترتیب ضرایب ترم‌های درجه دو و یک هستند. این دو مقدار همچنین با استفاده از دو رابطه زیر بدست می‌‌آید.

$$ { \begin {aligned} p & = { \frac { 8 a c – 3 b ^ {2 } } { 8 a ^ { 2 } } } \\ q & = { \frac { b ^ { 3 } – 4 a b c + 8 a‌ ^ { 2 } d } { 8 a^ { 3 } } } \end {aligned} } $$

مقادیر $$ S $$ و $$ Q $$ نیز مطابق با روابط زیر بدست می‌آیند.

$$ { \displaystyle { \begin {aligned} S & = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { -{ \frac { 2 } { 3 } } \ p + { \frac { 1 } { 3 a } } \left ( Q + { \frac { \Delta _ { 0 } }{ Q } } \right ) } } \\ Q & = { \sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _ { 1 } ^ { 2} – 4 \Delta _ { 0} ^{ 3 } } }‌ } { 2 } } } \end{aligned} } } $$

مقادیر دلتا نیز برابرند با:

$$ { \begin{aligned} \Delta _ { 0 } & =c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _ { 1 } & = 2 c ^ { 3 } – 9 b c d + 27 b ^{ 2 } e + 2 7 a d ^ { 2 } – 72 a c e \end{aligned} } $$

حالت‌های خاص فرمول

اگر $$ {\displaystyle \Delta > 0 } $$ باشد در این صورت $$ Q $$ مقداری مختلط است. در این حالت تمامی ریشه‌ها حقیقی یا غیرحقیقی خواهند بود. در حالتی دیگر که مقدار $$ S $$ حقیقی است، می‌توان آن را بر حسب مقادیر مثلثاتی، به صورت زیر بیان کرد:

$$ S = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \left ( – { \frac { 2 } { 3 } } \ p + { \frac { 2 } { 3 a } } { \sqrt { \Delta _ { 0 } } } \cos { \frac { \phi } { 3 } } \right ) } } $$

مقدار $$ \phi $$ نیز مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \phi =\arccos \left ( { \frac { \Delta _ { 1 } } {2 { \sqrt { \Delta _ { 0 } ^ { 3 } } } } } \right ) $$

اگر $$ { \displaystyle \Delta \neq 0 } $$ بوده و $$ \Delta _ { 0 } = 0 $$ باشد، مقدار $$ { \sqrt { \Delta _ { 1 } ^ { 2 } – 4 \Delta _ { 0 } ^ { 3 } } } = { \sqrt { \Delta _ { 1 } ^ { 2 } } } $$ باید به نحوی انتخاب شود که مقدار $$ Q $$ غیرصفر باشد. در حقیقت در این حالت باید رابطه زیر را برای $$ \delta _ 1 $$ در نظر گرفت.

$$ {\displaystyle { \sqrt { \Delta _ { 1 } ^ { 2 }} } } = \Delta _ 1 $$

معادلات ساده‌تر شده

معادله‌ای عمومی را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ Q ( x ) = a _ { 4 } x ^ { 4 } +a _ { 3 } x ^ { 3 }+ a _ { 2
} x ^ { 2 } + a _ { 1 } x + a _ { 0 } $$

زمانی معادله فوق قابل ساده شدن است که رابطه زیر برقرار باشد.

$$ Q ( x ) = R ( x ) × S ( x ) $$

در رابطه فوق $$ R ( x ) $$ و $$ S ( x ) $$ توابعی گویا و متغیر هستند. چنین معادله‌ای را می‌توان به یکی از دو روش زیر بازنویسی کرد:

$$ Q ( x ) = ( x – x _ { 1 } ) ( b _ { 3 } x ^ { 3 } + b _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 1 } x + b _ { 0 } ) $$

$$ Q ( x ) = (c _{ 2 }x ^ {2 } +c _ {1 } x+ c_ { 0 })(d _ { 2 }x
^ {2 } + d_ {1 } x +d _{ 0 } ) $$

بدیهی است که در هر دو حالت فوق، ریشه‌های جمله‌های ضرب شده در یکدیگر برابر با ریشه‌های معادله $$ Q ( x ) $$ است. از این رو می‌توان گفت در این حالات هدف حل یک معادله درجه ۲ یا درجه ۳ است.

معادله دو مجذوری

به معادله‌ای که در آن ضرایب ترم‌های توان‌های فرد صفر باشند، معادله دومجذوری گفته می‌شود. برای نمونه معادله زیر زمانی دومجذوری است که $$ a _ 3 = a _ 1 = 0 $$ باشند.

$$ Q ( x ) = a _ { 4 } x ^ { 4 } + a _{ 2 } x ^ { 2 }+ a _ { 0 } \,\!$$

به‌منظور حل یک معادله دومجذوری در ابتدا متغیر $$ z $$ را به‌صورت $$ z = x ^ 2 $$ در نظر بگیرید. در این صورت $$ Q $$ را می‌توان به‌شکل زیر بازنویسی کرد:

$$ q ( z ) = a _ 4 z ^ 2 + a _ 2 z + a _ 0 \, \! $$

$$ q $$ از درجه $$ 2 $$ است. با فرض این که ریشه‌ها برابر با $$ z _ + $$ و $$ z _ – $$ باشند، در این صورت ریشه‌های $$ Q $$ را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \large { \begin {aligned} x _ { 1 } & = + { \sqrt { z _ { + } } } \\ x _ { 2 } & = – { \sqrt { z _ { +} } } \\ x _ { 3 } & = + { \sqrt { z _ { – } } } \\ x _ { 4 } & = – { \sqrt { z _ { – } } } \end {aligned} } $$

معادله شبه واروخوانه‌ای

چند‌جمله‌ای زیر را در نظر بگیرید.

$$ \large P ( x )= a _ { 0} x ^ { 4} + a _ { 1 } x ^ { 3 } + a_ { 2 } x^ { 2 } + a _ {1 } m x + a _ {0 } m ^ { 2 } $$

معادله فوق زمانی شبه واروخوانه‌ای نامیده می‌شود که بتوان تابع $$ P ( m x ) = \frac { x ^ 4 } { m ^ 2 } P ( \frac { m } { x } ) $$ را با توجه به $$ P $$ بدست آورد. تغییر متغیر $$ z = x + \frac { m } { x } $$ به‌منظور حل $$ \frac { P ( x ) } { x ^ 2 } $$، منجر به معادله درجه ۲ $$ a _ 0 z ^ 2 + a _ 1 z + a _ 2 − 2 m a _ 0 = 0 $$ می‌شود. برای حل این معادله نیز می‌توان از روش‌های حل معادله درجه ۲ استفاده کرد.

روش‌های حل

به‌منظور حل یک معادله درجه ۴ باید حالت‌های مختلف بررسی شده و ثابت‌های بسیاری را محاسبه کرد. از این رو در این قسمت دو روش ابتدایی به‌منظور حل یک معادله درجه ۴ را ارائه می‌دهیم. توجه داشته باشید که این روش‌ها تنها گزینه‌های حل بوده و ممکن است الزاما روش مناسب نباشند.

تنزل درجه معادله

در حالت کلی اولین گزینه مورد بررسی جهت حل یک معادله با درجات بالا، ساده‌تر کردن آن است. بدین منظور در ادامه تغییر متغیر‌هایی ارائه شده که می‌توان از آن‌ها استفاده کرد. برای نمونه معادله زیر را در نظر بگیرید.

$$ a _ { 4 } x ^ { 4 } + a _ { 3 } x ^ { 3} + a _ { 2 } x^ { 2 }+
a _ { 1 } x + a _ { 0 } = 0 $$

با تقسیم کردن معادله فوق به $$ a _ 4 $$، معادله به‌صورت زیر قابل بازنویسی است.

$$ \large x ^ 4 + b x ^ 3 + c x ^ 2 + d x + e = 0 $$

ضرایب ثابت در معادله فوق برابر با مقادیر زیر هستند.

$$ b = \frac { a _ 3 } { a _ 4 } , c = \frac { a _ 2 } { a _ 4 } , d = \frac { a _ 1 } { a _ 4 } , e = \frac { a _ 0 } { a _ 4 } $$

حال از متغیر $$ y – \frac { b } { 4 } $$ استفاده می‌کنیم. با استفاده از این تغییر متغیر، معادله به‌صورت $$ y ^ 4 + p y ^ 2 + qy + r = 0 $$ در خواهد آمد. در این صورت ضرایب ثابت معادله برابرند با:

$$ { \displaystyle { \begin {aligned} p & = { \frac { 8 c – 3 b ^ { 2 } }{ 8 } } = { \frac { 8 a _ { 2 } a _ { 4 } – 3{ a _ { 3 } } ^ { 2 } }{ 8 { a _{ 4 } }^ { 2 } } } \\ q & = { \frac { b ^ { 3 } – 4 b c + 8 d } { 8 } } = { \frac { { a _ { 3 } } ^ { 3 } – 4 a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } + 8 a _ { 1 }{ a _ {4 } } ^ { 2 } } { 8 { a _ { 4} } ^ { 3} } } \\ r & = { \frac { – 3 b^ { 4 } +2 5 6 e – 6 4 b d + 1 6 b ^ {2 } c } { 2 5 6 } } = { \frac { – 3 {a _ { 3 } }^ { 4 }+ 2 5 6 a _ { 0 } {a _ { 4} }^ { 3 } -6 4 a _ { 1 } a _ { 3 }{ a _{ 4 } }^ { 2} + 1 6 a_ { 2 } { a _ {3 } } ^ {2 } a _ { 4 } } { 256 { a _{ 4 } } ^{ 4 } }} \end{aligned}}} $$

در صورتی که $$ y _ 0 $$ ریشه این معادله تنزل‌یافته باشد، در این صورت $$ y _ 0 – \frac { b } { 4 } $$ نیز یکی از ریشه‌های معادله اولیه محسوب می‌شود. دیگر ریشه‌های معادله را نیز می‌توان به همین روش بدست آورد.

راه‌ حل فِراری (Ferrari’s solution)

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، ممکن است برای حل یک معادله درجه ۴، به معادله‌ای تنزل‌یافته به‌صورت زیر برسید.

$$ { \displaystyle y ^ { 4 } + p y ^ { 2 }+ q y + r = 0 } $$

چنین معادلاتی را می‌توان با استفاده از روش بیان شده توسط «لودوویکو فراری» (Lodovico Ferrari) حل کرد. در ابتدا معادله را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$ { \displaystyle \left ( y ^ { 2 } + { \frac { p } { 2 } } \right ) ^ { 2 } = – q y – r + { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } } $$

در مرحله بعد متغیری تحت عنوان $$ m $$ را معرفی کرده و عبارت $$ 2 y ^ 2 m + p m + m ^ 2 $$ را به طرفین معادله فوق اضافه می‌کنیم. پس از مرتب‌سازی معادله، آن را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

$$ { \displaystyle \left ( y ^ { 2 } + { \frac { p } { 2 } }+ m \right ) ^ { 2 } = 2 m y ^ { 2 } – q‌ y +m ^ { 2 } + m p + { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } – r } $$
معادله ۱

با توجه به معادله فوق مقدار $$ m $$ را به نحوی انتخاب می‌کنیم که سمت راست معادله فوق به‌صورت مربع کامل درآید. با انجام این کار دلتا نسبت به متغیر $$ y $$ برابر با صفر بدست می‌‌‌آید. هم‌چنین $$ m $$ برابر با ریشه معادله زیر است.

$$ { \displaystyle ( – q ) ^ { 2 } – 4 ( 2 m ) \left ( m ^ { 2 } + p m + { \frac { p ^{ 2 } } { 4 } } – r \right ) = 0 \, } $$

با باز کردن معادله فوق می‌توان آن را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ { \displaystyle 8 m ^ { 3 } +8 p m ^ { 2 } + ( 2 p ^ { 2‌ } – 8 r ) m -q ^ { 2 } = 0 } $$

به معادله فوق، حل درجه ۳ معادله درجه ۴ گفته می‌شود. با فرض این‌که $$ m $$، ریشه معادله فوق باشد، در این صورت سمت راست معادله ۱ را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ { \displaystyle \left ( { \sqrt { 2 m } } y – { \frac { q } { 2 { \sqrt { 2 m } } } } \right ) ^ { 2 } } $$

در حالتی که مقدار $$ m = 0 $$ انتخاب شود، در این صورت مخرج ترم دوم برابر با صفر می‌شود. در این حالت $$ q $$ نیز باید برابر با صفر باشد، بنابراین به معادله‌ای دومجذوری رسیده‌ایم که نحوه حل آن را در بالا توضیح داده‌ایم. در حالت کلی معادله‌ای به‌صورت بالا در تمامی حالات به جزء $$  m = 0 $$ و $$ y ^ 4 = 0 $$ دارای پاسخ است. تا به این‌جا معادله به‌صورت زیر در آمد.

$$ { \displaystyle \left ( y ^ { 2 } + { \frac { p }{ 2 } } + m \right ) ^ { 2 } = \left ( y { \sqrt { 2 m } } – { \frac { q } { 2 { \sqrt { 2 m } } } } \right ) ^ { 2 } } $$

معادله فوق به فرمت $$ M ^ 2 = N ^ 2 $$ یا $$ ( M + N ) ( M − N ) = 0 $$ است. در نتیجه می‌توان معادله مذکور را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ { \displaystyle \left ( y ^ { 2 } + { \frac { p } { 2 } } + m + { \sqrt { 2 m } } y – { \frac { q } { 2 { \sqrt { 2 m } } } } \right ) \left ( y ^ { 2 } +{ \frac { p } { 2 } } + m – { \sqrt { 2 m } } y + { \frac { q }{ 2 { \sqrt { 2 m } } } } \right ) = 0 } $$

معادله فوق را می‌توان به‌راحتی حل کرد. ریشه‌های این معادله برابرند با:

$$ { \displaystyle y = { \pm _ { 1 } { \sqrt { 2 m } } \pm _ { 2 }{ \sqrt { – \left ( 2 p + 2 m \pm _ { 1 } { { \sqrt { 2 } } q \over { \sqrt { m } } } \right ) } } \over 2 } } $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، چهار حالت برای پاسخ بدست می‌‌آید. توجه داشته باشید که عدد ۱ با هم تغییر می‌کند (هر دو مثبت یا هر دو منفی است). در این مطلب مهم‌ترین روش‌ها به‌منظور بدست آوردن ریشه‌های یک معادله درجه ۴ توضیح داده شد. در مطالب آینده کاربرد‌های بیشتری را از چنین معادلاتی توضیح خواهیم داد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۲۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

3 نظر در “معادله درجه چهار — از صفر تا صد

  • صدرا درهمی — says: ۱۵ دی، ۱۴۰۰ در ۷:۰۱ ب٫ظ

    درود و خسته نباشید.
    خیلی ممنون از مطالب مفید و کاربردیتون.
    یه سوال داشتم:برای به دست آوردن تعداد جواب های معادله ی درجه چهار میتونیم بگیم اگر مشتق معادله یک جواب داشت خود معادله حداکثر دو جواب دارد؟
    و اینکه اگر در یک معادله ی درجه چهار، ضریب ایکس به توان سه و ایکس به توان دو صفر باشه در رابطه با برابر بودن جواب های معادله یا برابر نبودنشون چه تصمیمی میشه گرفت؟

  • امیر الوندکوهی — says: ۴ دی، ۱۳۹۹ در ۹:۲۴ ق٫ظ

    با سلام و وقت بخیر ، لطفاً منابع حل معادلات درجه 3 و 4 و روش فراری را بگوئید در کدام کتاب ها اورده شده است . حتی الامکان منابع فارسی . با سپاس

  • AhmadRezaManouchehri — says: ۵ آبان، ۱۳۹۸ در ۱۰:۵۱ ب٫ظ

    با سلام
    بسیار عالی جذاب و مفید بود فقط لطف کنید بگید که منبع این آموزش چیه از چه منبعی و اگر امکانش هست هر آموزشی که قرار میدهید با ذکر منبع جهت اطلاع بیشتر از موضوع باشه واینکه می خوام بدونم ایا راه ارتباطی با شما وجود دارد
    مرسی

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *