ماتریس قطری و قطری سازی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

یک ماتریس که همه درایه‌های غیر از قطر اصلی آن صفر باشند، ماتریس قطری (Diagonal Matrix) نامیده می‌شود. در این آموزش درباره ماتریس قطری و ویژگی‌های آن و قطری‌سازی ماتریس‌ها بحث خواهیم کرد.

ماتریس قطری

ماتریس‌ $$\mathbf{A}_{i,j}$$ را قطری می‌گوییم، اگر درایه‌های غیر از قطر اصلی (وقتی $$i  = j$$) آن صفر باشند.

برای مثال، ماتریس زیر یک ماتریس قطری است:

$$\large  \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$$

ماتریس بالا مربعی است. همان‌طور که می‌بینیم، ماتریس‌های زیر ماتریس‌هایی مربعی نیستند، اما قطری هستند.

$$\begin {bmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} , \;\;\; \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \end {bmatrix}$$

بنابراین، می‌توان گفت که یک ماتریس غیرمربعی نیز می‌تواند قطری باشد.

ماتریس قطری را می‌توان با نماد $$\text{diag}(v)$$ نشان داد که در آن، $$v$$ برداری شامل درایه‌های روی قطر اصلی است. ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \mathbf { D } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

در این ماتریس، $$v$$ بردار زیر است:

$$\large { v }= \begin {bmatrix} 2\\\\ 4\\\\ 3\\\\ 1 \end {bmatrix}$$

ویژگی‌های ماتریس قطری

در این بخش، چند مورد از ویژگی‌های ماتریس‌های قطری را بیان می‌کنیم که در محاسبات مختلف کاربردهای فراوانی دارند.

ضرب ماتریس قطری در مدار

ضرب بین یک ماتریس قطری و یک بردار، برداری است که درایه‌های نظیر به نظیر قطر اصلی در آن ضرب می‌شوند. برای مثال، ماتریس و بردار زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \mathbf { D } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$$

$$\large \mathbf { x } = \begin {bmatrix} 3\\\\ 2\\\\ 2\\\\ 7 \end {bmatrix}$$

ضرب این دو برابر است با:

$$\large \begin{align*} & \mathbf { D } { x } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \times \begin {bmatrix} 3 \\\\ 2\\\\ 2 \\\\ 7 \end {bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix} 2\times3 + 0\times2 + 0\times2 + 0\times7\\\\ 0\times3 + 4 \times 2 + 0 \times 2 + 0\times 7\\\\ 0\times 3 + 0 \times 2 + 3\times2 + 0\times7\\\\ 0\times3 + 0\times2 + 0 \times2 + 1\times7 \end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix} 2\times3\\\\ 4\times2\\\\ 3\times2\\\\ 1\times7 \end{bmatrix} \end{align*}$$

این موضوع، درباره ماتریس‌های قطری غیرمربعی نیز صادق است:

$$\large \mathbf { D } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix}, \;\;\; { x } = \begin {bmatrix} 3 \\\\ 2\\\\ 2 \end {bmatrix}$$

حاصل‌ضرب این ماتریس و بردار به صورت زیر است:‌

$$\large \mathbf { D } { x } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \times \begin {bmatrix} 3 \\\\ 2 \\\\ 2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 2 \times 3 \\\\ 4 \times 2 \\\\ 3 \times 2 \\\\ 0 \end {bmatrix}$$

دترمینان ماتریس قطری

دترمینان یک ماتریس قطری برابر با حاصل‌ضرب درایه‌های روی قطر اصلی‌اش است.

$$\large \mathbf { D } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 3\\ \end {bmatrix}$$

$$\large\text{det} ( \mathbf { D } ) = 2 \times 4 \times 3 = 24$$

معکوس ماتریس قطری

اگر همه درایه‌های قطری یک ماتریس قطری غیرصفر باشند، معکوس یک ماتریس قطری وجود خواهد داشت. در این صورت، معکوس ماتریس را می‌توان به سادگی محاسبه کرد. برای این کار کافی است درایه‌های قطر اصلی را معکوس کنیم:

$$\large \mathbf { D } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$$

$$\large \mathbf { D } ^ { - 1 } = \begin {bmatrix} \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \frac { 1 } { 4 } & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 3 } & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 1 } \end {bmatrix}$$

$$\large \mathbf { D } = \begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \frac { 1 } { 4 } & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 3 } & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 1 } \end {bmatrix}= \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$$

ماتریس الحاقی ماتریس قطری

ماتریس الحاقی یک ماتریس قطری به صورت زیر است:

$$\large\mathbf { D } = \begin {bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end {bmatrix}\to \mathbf { D }^*=\begin{bmatrix} bc & 0 & 0\\ 0 & ac & 0\\ 0 & 0 & a b \end {bmatrix}$$

به توان رساندن ماتریس قطری

برای آنکه ماتریس $$\mathbf {D}$$ را به توان $$n$$ برسانیم، کافی است تک تک درایه‌های روی قطر اصلی آن را به توان $$n$$ برسانیم.

مقادیر ویژه ماتریس قطری

مقادیر ویژه یک ماتریس قطری، همان درایه‌های روی قطر اصلی آن هستند.

ماتریس اسکالر

یک ماتریس قطری را که همه درایه‌های قطر اصلی آن برابر باشند، ماتریس اسکالر می‌نامیم.

در بخش بعد، درباره قطری‌سازی ماتریس‌ها بحث خواهیم کرد.

قطری‌سازی ماتریس‌ها

ابتدا مواردی را درباره قطری‌ پذیری یک ماتریس بیان می‌کنیم. ماتریس‌های $$A$$ و $$B$$ را با ابعاد $$n \times n$$ در نظر بگیرید.

1. اگر $$A$$ و $$B$$ مشابه باشند، آنگاه معادله مشخصه این دو ماتریس با یکدیگر برابر است.
2. ماتریس $$A$$ قطری پذیر است، اگر و تنها اگر ناقص (Defective) نباشد.
3. ماتریس $$A$$ قطری پذیر است، اگر و تنها اگر $$\mathbb{R}^n$$ یک پایه ویژه (Eigenbasis) از ماتریس $$A$$ باشد (پایه‌ای شامل بردارهای ویژه)‌.
4. ماتریس $$A$$ قطری پذیر است، اگر و تنها اگر $$n$$ بردار ویژه مستقل خطی برای $$A$$ وجود داشته باشد.
5. اگر $$A$$ تعداد $$n$$ مقدار ویژه مجزا داشته باشد، آن‌گاه قطری پذیر خواهد بود.
6. اگر $$\mathbf {v} _ 1$$، ... و $$\mathbf {v} _ n$$ بردار ویژه‌های مستقل خطی متناظر با مقادیر ویژه $$\lambda _ 1$$، ... و $$\lambda _ n$$ (نه لزوماً مجزا)‌ باشند، آنگاه رابطه $$S^{-1}AS=D$$ برقرار خواهد بود، که در آن، $$S=[\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n]$$ و $$D=\text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$$.

در ادامه توضیح می‌دهیم که چگونه می‌توان یک ماتریس را قطری کرد. فرض کنید ماتریس $$A$$ با اندازه $$n \times n$$ داده شده و (در صورت امکان) می‌خواهیم آن را قطری کنیم.

مراحل قطری‌سازی به شرح زیر است:

1. چندجمله‌ای مشخصه $$p ( t)$$ متناظر با ماتریس $$A$$ را پیدا کنید.
2. مقادیر ویژه $$\lambda$$ ماتریس $$A$$ و چندگانگی‌های جبری را از معادله مشخصه $$p ( t)$$ به دست آورید.
3. برای هر مقدار ویژه $$\lambda$$ از ماتریس $$A$$ یک پایه از فضای ویژه $$E_{\lambda}$$ پیدا کنید. اگر یک مقدار ویژه $$\lambda$$ به گونه‌ای وجود داشته باشد که چندگانگی هندسی $$\lambda$$، یعنی $$\text{dim}(E_{\lambda})$$ کمتر از چندگانگی جبری $$\lambda$$ باشد، آنگاه ماتریس $$A$$ قطری پذیر نخواهد بود. در غیر این صورت، $$A$$ قطری پذیر است و به صورتی که در ادامه خواهد آمد قطری خواهد شد.
4. اگر همه بردارهای پایه را برای همه فضاهای ویژه ترکیب کنیم، $$n$$ بردار ویژه مستقل خطی $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$$ را به دست خواهیم آورد.
5. ماتریس غیرمنفرد $$S = [\mathbf { v } _ 1 \mathbf { v } _ 2 \dots \mathbf { v } _ n ]$$ را تعریف می‌کنیم.
6. ماتریس قطری $$D$$ را تعریف می‌کنیم، که درایه $$( i , j )$$ آن مقدار ویژه $$\lambda$$ است به گونه‌ای که بردار ستونی $$i$$اُم $$\mathbf{v}_i$$ در فضای ویژه $$E_{\lambda}$$ باشد.
7. در نتیجه، ماتریس $$A$$ به صورت $$S ^ { - 1 } A S = D$$ قطری می‌شود.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره قطری‌پذیری و قطری‌سازی ماتریس‌ها بیان می‌‌کنیم.

مثال ۱

کدام یک از جفت ماتریس‌های زیر مشابه هستند؟

(الف) $$A = \begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end {bmatrix}$$ و $$B = \begin {bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end {bmatrix}$$.

حل الف: از این قضیه استفاده می‌کنیم که اگر $$A$$ و $$B$$ مشابه باشند، آنگاه دترمینان‌های آن‌ها برابر است. بنابراین، دترمینان‌ این ماتریس‌ها را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \det ( A ) = ( 1 ) ( 3 ) - ( 2 ) ( 0 ) = 3 \text{,}\; \; \; \; \; \; \det ( B ) = ( 3 ) ( 2) - ( 0 ) ( 1 ) = 6 . \end {align*}$$

بنابراین، $$\det(A)\neq \det(B)$$ و در نتیجه $$A$$ و $$B$$ مشابه نیستند.

(ب) $$A = \begin {bmatrix} - 1 & 6 \\ - 2 & 6 \end {bmatrix}$$ و $$B = \begin {bmatrix} 1 & 2 \\ - 1 & 4 \end {bmatrix}$$.

حل ب: برای این دو ماتریس، داریم:

$$\large \det ( A ) = 6 = \det ( B ) \text{, } \; \; \; \; \; \; \text{tr} ( A ) = 5 = \text{tr} ( B ) .$$

با استفاده از رابطه $$p(t)=t^2-\text{tr}(A)t+\det(A)$$ یا محاسبه مستقیم، معادله مشخصه ماتریس‌های $$A$$ و $$B$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large t ^ 2 - 5 t + 6 = ( t - 2 ) ( t - 3 ) .$$

بنابراین، مقادیر ویژه این دو ماتریس $$2$$ و $$3$$ هستند. در نتیجه، هر دو ماتریس $$A$$ و $$B$$ قطری پذیرند. ماتریس‌های غیرمنفرد $$S$$ و $$P$$ به گونه‌ای وجود دارند که

$$\large S ^ { -1 } A S = \begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end {bmatrix} \text{,} \; \; \; \; \; \; P ^ { - 1 } B P = \begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end {bmatrix} .$$

بنابراین، $$S^{-1}AS=P^{-1}BP$$ و در نتیجه:

$$\large P S ^ { - 1 } A S P ^ { - 1 } = B .$$

با در نظر گرفتن $$U=SP^{-1}$$، داریم:

$$\large U ^ { - 1 } A U = B .$$

لازم به ذکر است از آنجایی که ضرب دو ماتریس وارون پذیر، یک ماتریس وارون پذیر است، $$U$$ معکوس پذیر خواهد بود.

بنابراین، $$A$$ و $$B$$ مشابه هستند.

مثال ۲

قطری پذیری ماتریس زیر را بررسی کنید. در صورت قطری پذیری، ماتریس غیرمنفرد $$S$$ و ماتریس قطری $$D$$ به گونه‌ای بیابید که رابطه $$S^{-1}AS=D$$ برقرار باشد.

$$\large A = \begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end {bmatrix}$$

حل: برای تعیین قطری پذیر بودن ماتریس $$A$$‌، ابتدا مقادیر ویژه آن را پیدا می‌کنیم. برای انجام این کار، چندجمله‌ای مشخصه $$p (t)$$ ماتریس $$A$$ را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} p ( t ) & = \begin {vmatrix} 1 - t & 4 \\ 2 & 3 - t \end {vmatrix} = ( 1 -t ) ( 3 - t ) - 8 \\[6pt] & = t ^ 2 - 4 t - 5 = ( t + 1 ) ( t - 5 ) . \end {align*}$$

ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه $$p (t)$$، مقادیر ویژه ماتریس $$A$$ هستند. بنابراین، مقادیر ویژه ماتریس $$A$$، برابرند با $$-1$$ و $$5$$.

از آنجایی که ماتریس $$A$$ با اندازه $$2 \times 2$$ دو مقدار ویژه مجزا دارد، قطری پذیر است.

برای یافتن ماتریس وارون‌پذیر $$S$$، باید بردار ویژه‌ها را پیدا کنیم.

ابتدا بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه $$-1$$ را پیدا می‌کنیم. با استفاده از عملیات مقدماتی سطری، داریم:

$$\large \begin {align*} & A - (- 1 ) I = A + I = \begin {bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end {bmatrix} \\[6pt] & \xrightarrow { R _ 2 - R _ 1 } \begin {bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end {bmatrix}. \end {align*}$$

بنابراین، بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه متناظر با $$-1$$، برای هر مقدار $$a$$، به فرم زیر است:

$$\large a \begin {bmatrix} - 2 \\ 1 \end {bmatrix}$$

با انجام عملیات مشابهی،‌ بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه $$5$$ به ازای مقادیر غیرصفر $$b$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$\large b \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix}$$

بنابراین، $$\mathbf { u } = \begin {bmatrix} - 2 \\ 1 \end {bmatrix}$$ و $$\mathbf { v } = \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix}$$، به ترتیب، بردارهای پایه فضاهای ویژه $$E _ { - 1 }$$ و $$E _ 5$$ هستند.

ماتریس $$S$$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$\large S : = \begin {bmatrix} \mathbf { u } & \mathbf { v } \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} - 2 & 1 \\ 1 & 1 \end {bmatrix} .$$

در نتیجه، با انجام مراحل قطری سازی، داریم:

$$\large \begin {align*} S ^ { - 1 } A S = D , \end {align*}$$

که در آن:

$$\large D : = \begin {bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 5 \end {bmatrix} .$$

مثال ۳

ماتریس زیر را با یافتن ماتریس غیرمنفرد $$S$$ و ماتریس قطری $$D$$ به گونه‌ای قطری‌سازی کنید که $$S^{-1}AS=D$$.

$$\large A = \begin {bmatrix} 4 & - 3 & - 3 \\ 3 & - 2 & - 3 \\ - 1 & 1 & 2 \end {bmatrix}$$

حل: برای قطری‌سازی گام‌های زیر را می‌پیماییم.

گام ۱: یافتن چندجمله‌ای مشخصه

چندجمله‌ای مشخصه $$p (t)$$ مربوط به ماتریس $$A$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large p ( t ) = \det ( A - t I ) = \begin {vmatrix} 4 - t & - 3 & - 3 \\ 3 & - 2 - t & - 3 \\ - 1 & 1 & 2 - t \end {vmatrix} .$$

با استفاده از بسط همسازه‌ای داریم:‌

$$\large p ( t ) = - ( t - 1 ) ^ 2 ( t - 2 ) .$$

گام ۲: یافتن مقادیر ویژه

با استفاده از چندجمله‌ای مشخصه که در گام ۱ به دست آمد، مقادیر ویژه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\lambda = 1$$ با چندگانگی جبری $$2$$ و $$\lambda = 2$$ با چندگانگی جبری $$1$$.

گام ۳: یافتن فضای ویژه

فضای ویژه $$E _ 1$$ را در نظر بگیرید که متناظر است با مقدار ویژه $$\lambda = 1$$. طبق تعریف، $$E _ 1$$ با عملیات سطری مقدماتی یک فضای پوچ یا تهی از ماتریس زیر است:

$$\large A - I = \begin {bmatrix} 3 & - 3 & - 3 \\ 3 & - 3 & - 3 \\ - 1 & 1 & 1 \end {bmatrix} \rightarrow \begin {bmatrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix}$$

بنابراین، اگر برای $$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^3$$، داشته باشیم: $$(A-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$$، می‌توان نوشت:‌

$$\large x _ 1 = x _ 2 + x _ 3 .$$

در نتیجه، داریم:

$$\large \begin {align*} E _ 1 = \cal N ( A - I ) = \left \{ \quad \mathbf { x } \in \mathbb{R} ^ 3 \quad \middle| \quad \mathbf { x } = x_ 2 \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end {bmatrix} + x _ 3 \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end {bmatrix} \quad \right \} . \end {align*}$$

به مجموعه زیر می‌رسیم:

$$\large \left \{ \quad \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end {bmatrix} , \quad \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end {bmatrix} \quad \right \}$$

که یک پایه برای فضای ویژه $$E _ 1$$ است.

بنابراین، بعد $$E _ 1$$، که از چندگانگی هندسی از $$\lambda = 1$$ است، برابر با $$2$$ خواهد بود.

به طریق مشابه، یک پایه از فضای ویژه $$E_2=\mathcal{N}(A-2I)$$ برای مقدار ویژه $$\lambda = 2$$ پیدا می‌کنیم. با استفاده از عملیات سطری مقدماتی، داریم:

$$\large \begin {align*} A - 2 I = \begin {bmatrix} 2 & - 3 & - 3 \\ 3 & - 4 & - 3 \\ - 1 & 1 & 0 \end {bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin {bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \end {align*}$$

بنابراین، اگر برای $$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^3$$، رابطه $$(A-2I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ برقرار باشد، داریم:

$$\large x _ 1 = - 3 x _ 3 \text{,} \; \; \; \; \; \; x _ 2 = - 3 x _ 3 .$$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} E _ 2 = \mathcal{N} ( A - 2 I ) = \left \{ \quad \mathbf { x }\in \mathbb{R} ^ 3 \quad \middle| \quad \mathbf { x } = x _ 3 \begin {bmatrix} - 3 \\ - 3 \\ 1 \end {bmatrix} \quad \right \} . \end {align*}$$

و در نتیجه، مجموعه زیر، یک پایه برای فضای ویژه $$E _ 2$$ است و چندگانگی هندسی برابر با $$1$$ است:

$$\large \left \{ \quad \begin {bmatrix} - 3 \\ - 3 \\ 1 \end {bmatrix} \quad \right \}$$

از آنجایی که برای هر دو مقدار ویژه، چندگانگی هندسی برابر با چندگانگی جبری است، ماتریس $$A$$ معیوب نیست و در نتیجه، قطری پذیر است.

گام ۴: تعیین بردار ویژه‌های مستقل خطی

از گام ۳، بردار ویژه‌های زیر را داریم که مستقل خطی هستند:

$$\large \mathbf { v } _ 1 = \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 2 = \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end {bmatrix} , \mathbf { v } _ 3 = \begin {bmatrix} - 3 \\ - 3 \\ 1 \end {bmatrix}$$

گام ۵: تعریف ماتریس وارون‌پذیر $$S$$

ماتریس $$S=[\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \mathbf{v}_3]$$ را تعریف می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$\large S = \begin {bmatrix} 1 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 \end {bmatrix}$$

و ماتریس $$S$$ غیرمنفرد است (زیرا بردارهای ستونی مستقل خطی هستند).

گام ۶: تعریف ماتریس قطری $$D$$

ماتریس قطری را تعریف می‌کنیم:

$$\large D = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end {bmatrix} .$$

درایه $$(1,1)$$ ماتریس $$D$$ برابر با $$1$$ است، زیرا اولین بردار ستونی $$\mathbf { v } _ 1 = \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ از $$S$$ در فضای ویژه $$E _1$$ قرار دارد. $$\mathbf{v}_1$$ بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه $$\lambda = 1$$ است.

به طریق مشابه، درایه $$(2,2)$$ ماتریس $$D$$ برابر با ۱ است، زیرا بردار دوم $$\mathbf { v } _ 2 = \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end {bmatrix}$$ از $$S$$ در $$E _1$$ است.

همچنین، درایه $$(3,3)$$ ماتریس $$D$$ برابر با ۲ است، زیرا بردار ستون سوم $$\mathbf { v } _ 3 = \begin {bmatrix} - 3 \\ - 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$ از $$S$$ در $$E _ 2$$ قرار دارد.

گام ۷:‌ قطری‌سازی

در نهایت، می‌توانیم ماتریس $$A$$ را به صورت زیر قطری کنیم:

$$\large S^{-1}AS=D,$$

که در آن:

$$\large S = \begin {bmatrix} 1 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 \end {bmatrix} \text{, }\; \; \;\; D = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end {bmatrix} .$$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تجزیه مقادیر منفرد (SVD) — به زبان ساده
• ماتریس متعامد — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) جبر خطی برای یادگیری ماشین — راهنمای سریع و کامل

^^