کاربرد لگاریتم — به زبان ساده

لگاریتم همه جا حضور دارد. از محاسبات مهندسی تا محاسبات ساده ریاضی می‌توان ردی از لگاریتم را پیدا کرد.

آیا تاکنون از عبارت‌هایی مانند زیر استفاده کرده‌اید؟

• 6 رقم
• دو رقمی
• مرتبه بزرگی
• نرخ بهره

ما اعداد را بر اساس توان‌های 10 بیان می‌کنیم و این یعنی لگاریتم. نرخ بهره نیز لگاریتم رشد یک مقدار سرمایه است. در واقع لگاریتم‌ها بسیار پرکاربرد هستند.

لگاریتم در ریاضیات غالباً با عبارت‌هایی مانند «ln» یا «log» بیان می‌شوند. یافتن ریاضیات در زندگی روزمره به این معنی است که با ایده‌هایی در مورد زندگی مواجه شویم و ببینیم که چگونه می‌توانیم دنیا را با استفاده از نمادهای مختلف بازنویسی کنیم. اما ما در این نوشته قصد داریم از این نمادگذاری‌ها فاصله بگیریم و مفهوم لگاریتم را به زبان کاملاً ساده توضیح دهیم.

لگاریتم‌ها در مورد چه هستند؟

از لگاریتم برای یافتن علت یک تأثیر استفاده می‌شود، یعنی پیدا کردن یک ورودی برای یک خروجی. یکی از تأثیرهایی که به طور مکرر در زندگی روزمره شاهد آن هستیم «رشد» است. برای مثال میزان سرمایه در طی 5 سال از 100 به 150 میلیون می‌رسد. این اتفاق چگونه رخ داده است؟ ما مطمئن نیستیم؛ اما لگاریتم می‌تواند دلیل آن را بیابد: با استفاده از یک نرخ بازدهی مداوم ln(150/100) / 5 = 8.1% می‌توانیم چنین رشدی را بیان کنیم.

فیلم آموزش ریاضیات و کاربرد آن در حسابداری، مدیریت و اقتصاد – بخش دوم در فرادرس

کلیک کنید

البته این نرخ رشد ممکن است واقعی نباشد و برای مثال همه رشد صرفاً در سال آخر رخ داده باشد؛ اما این وضعیت میانگین هموار است و می‌توان تغییرات دیگر را بر مبنای آن محاسبه کرد.

در هر صورت استفاده از مفاهیم «علت و تأثیر» در این زمینه مفید است. چرا 1000 بزرگ‌تر از 100 است؟

• 100 همان 10 است که دو بار در خودش ضرب شده است (10 × 10)
• 1000 همان 10 است که 3 بار در خودش ضرب شده است (10 × 10 × 10)

ما می‌توانیم اعداد را به صورت خروجی (1000 برابر با «1000 خروجی» است) و ورودی‌ها (چه تعداد 10 باید در هم ضرب شوند تا چنین خروجی ایجاد کنند) در نظر بگیریم. بنابراین

1000 outputs > 100 outputs

زیرا

3 inputs > 2 inputs

یا به عبارت دیگر

log(1000) > log(100)

شاید بپرسید دلیل مفید بودن این طرز فکر چیست؟

لگاریتم‌ها اعداد را در مقیاسی قرار می‌دهند که درک آن برای ما آسان‌تر است. اعداد بزرگ باعث می‌شوند مغز ما از کار بیفتد. میلیون و تریلیون واقعاً اعداد بزرگی هستند، گرچه یک میلیون ثانیه برابر با 12 روز و یک تریلیون ثانیه 30،000 سال است؛ اما تفاوت این دو مقیاس برابر با طول تعطیلات نوروزی در یک سال از یک سو و کل تاریخ انسان متمدن در سوی دیگر است.

ترفندی که برای غلبه بر این «عدم خوانایی اعداد بزرگ» می‌توان مورد استفاده قرار دارد، این است که اعداد را برحسب ورودی‌ها (یعنی مبنای توان 10) بنویسیم. درک این مقیاس کوچک‌تر (0 تا 100) بسیار آسان‌تر است:

• توان 0 = 10⁰= 1 = واحد
• توان 1 = 10¹ = 10
• توان 3 = 10³ = هزار
• توان 6 = 10⁶ = میلیون
• توان 9 = 10⁹ = میلیارد
• توان 12 = 10¹² = تریلیون
• توان 23 = 10²³ =  تعداد مولکول‌ها در چند گرم از کربن
• توان 80 = 10⁸⁰ = تعداد مولکول‌ها در کل کیهان

می‌بینیم که مقیاسی بین 0 تا 80 ما را از یک واحد منفرد تا تعداد مولکول‌هایی که در کل کیهان وجود دارد، پیش می‌برد.

منظور از لگاریتم در واقع شمارش تعداد مراحل ضرب است.

لگاریتم میزان تغییرات را برحسب تعداد ضرب‌ها محاسبه می‌کند. در مثال فوق هر مرحله 10 برابر بزرگ‌تر از مرحله قبلی بود. در لگاریتم طبیعی هر مرحله برابر با (e = (2.71828... برابر بیشتر است. این عدد به نام عدد نپر نیز نامیده می‌شود.

وقتی با یک سری از ضرب‌ها سر و کار داریم، لگاریتم کمک می‌کند تا آن‌ها را بشماریم، مانند زمانی که جمع به ما کمک می‌کند تا تأثیرهایی که به هم اضافه می‌شوند را محاسبه کنیم.

بیان لگاریتم به زبان ریاضیات

اینک می‌خواهیم ببینیم که لگاریتم‌ها در کجا ظهور و بروز بیشتری می‌یابند.

فیلم آموزش تبدیل لگاریتمی و تفاضل گیری در پیش پردازش سری های زمانی (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

حقوق شش رقمی یا هزینه 2 رقمی

ما اعداد را برحسب تعداد ارقامشان نیز بیان می‌کنیم، یعنی تعداد توان‌های 10 که دارند (برحسب ده، صد، هزار، ده هزار و ...) افزودن یک رقم به یک عدد به این معنی است که این عدد در 10 ضرب شده است یعنی

لگاریتم به معنی تعداد مراحل ضرب است که اضافه شده‌اند بنابراین وقتی از 1 شروع می‌کنیم (یک رقم منفرد) و 5 رقم به آن اضافه می‌کنیم (105) به عدد 100،000 می‌رسیم که یک عدد شش رقمی است. در واقع وقتی از 6 به جای «یکصد هزار» صحبت می‌کنیم، از لگاریتم استفاده کرده‌ایم. بدین ترتیب بدون این که وارد جزییات شویم، درکی کلی از مقیاس عدد به دست می‌آوریم.

سؤالی که ممکن است در این مرحله برایتان پیش بیاید، این است که اگر ما از عبارت «عدد 6 رقمی» برای توصیف 100،000 استفاده کنیم، در این صورت برای توصیف عدد 500،000 باید از چه عبارتی استفاده کنیم چون اختلاف بین این دو عدد زیاد است و استفاده از عبارت یکسان برای توصیف هر دو عدد ممکن است گمراه‌کننده باشد. آیا می‌توانیم از عدد 6.5 رقمی استفاده کنیم؟

پاسخ سؤال فوق منفی است، چون در ذهن ما 6.5 به معنی چیزی بین 6 و 7 است؛ اما این یک ذهنیت مبتنی بر جمع است. وقتی از لگاریتم استفاده می‌کنیم 0.5 یعنی نیمی از مسیر ضرب و به معنی جذر است. در واقع 9 به توان 0.5 یعنی ریشه دوم 9 که همان 3 است. یعنی نیمه مسیر ضرب است و 3 ضرب در 3 برابر با 9 خواهد بود.

وقتی از (log(500,000 صحبت می‌کنیم، عدد 5.7 را به دست می‌آوریم، می‌توانیم 1 را به خاطر رقم اضافی به آن بیفزاییم و در نهایت می‌توانیم بگوییم که 500،000 یک عدد 6.7 رقمی است.

مرتبه بزرگی

علاقه‌مندان علوم مختلف از عبارت فوق خوششان می‌آید. «مرتبه بزرگی» به معنی «اختلاف 10x» است؛ اما بسیار جذاب‌تر از «1 رقم بیشتر» به نظر می‌رسد.

در علوم رایانه که همه چیز بر مبنای بیت‌ها (0 و 1) محاسبه می‌شود، هر بیت یک تأثیر دو برابری (نه 10 برابری) دارد. بنابراین افزایش تعداد بیت از 8 به 16 به معنی «8 مرتبه بزرگی» یا 2⁸ = 256 برابر بزرگ‌تر است. منظور از بزرگ‌تر در این جا مقدار حافظه‌ای است که می‌توان آدرس‌دهی کرد. رفتن از 16 به 32 به معنی 16 مرتبه بزرگی دیگر است، یعنی 2¹⁶ یا 65،536 برابر حافظه بیشتری که می‌توان آدرس‌دهی کرد.

نرخ‌های بهره

نرخ بهره را چگونه می‌توان تفسیر کرد؟ وقتی می‌گوییم رشد اقتصادی کشوری در سال برابر با 8.56% است منظورمان چیست؟ در این موارد به GDP یک سال آن کشور نگاه می‌کنیم، سپس آن را با GDP سال بعد مقایسه می‌کنیم و بدین ترتیب از لگاریتم برای یافتن نرخ رشد ضمنی استفاده می‌شود.

در ادامه دو تفسیر متداول از لگاریتم طبیعی (ln x) یعنی لگاریتم طبیعی 1.5 ارائه شده است:

• با فرض رشد 100%، به چه مدت زمانی برای رسیدن به 1.5 نیاز داریم؟ (0.405 یعنی کمتر از نیمی از دوره)
• با فرض وجود 1 واحد زمانی، با چه سرعتی باید رشد کنیم تا به 1.5 برسیم؟ (40.5% بر سال، با نرخ رشد مداوم و مرکب)

به طور خلاصه لگاریتم برای محاسبه میزان سرعت رشد استفاده می‌شود.

مقیاس اندازه‌گیری: PageRank گوگل

گوگل به هر صفحه وب یک امتیاز می‌دهد که PageRank نام دارد و معیاری تقریبی از قوت/اهمیت آن است. PageRank دارای یک مقیاس لگاریتمی است یعنی با استفاده از PageRank تعداد ارقام امتیاز یک صفحه وب بیان می‌شود.

بنابراین یک سایت با رتبه 2 (2 رقم) 10 برابر محبوب‌تر از سایتی است که رتبه 1 دارد. برای مثال رتبه وب‌سایت فرادرس برابر با 6 و رتبه وب‌سایت CNN برابر با 9 است. اختلاف این دو عدد برابر با 3 است، یعنی این دو مقدار به اندازه 3 مرتبه بزرگی از هم فاصله دارند، به عبارت دیگر رتبه وب‌سایت سی‌انان 10³ = 1000 برابر وب‌سایت فرادرس است.

به بیان دیگر اگر وب‌سایت فرادرس روزانه 50 هزار بازدید داشته باشد، می‌توان تصور کرد که وب‌سایت سی‌انان روزانه 50،000 × 1000 = 50،000،000 = 50 میلیون بازدید دارد. البته با توجه به مقیاس لگاریتمی ممکن است این مقدار بزرگ‌تر از 50 میلیون باشد، اما مطمئناً بیش از 500 میلیون نیست.

بدین ترتیب می‌بینیم که گوگل با استفاده از یک مقیاس ساده 0 تا 10، اطلاعات زیادی را به ما انتقال می‌دهد.

مقیاس اندازه‌گیری: ریشتر، دسی‌بل و ...

اینک به یکی از نمونه‌های لگاریتم در زندگی روزمره رسیده‌ایم که در اغلب موارد مورد اشاره قرار می‌گیرد. مقیاس ریشتر و دسی‌بل. ایده طراحی مقیاس ریشتر این بوده است که رویدادهایی مانند زمین‌لرزه را که ابعاد بسیار بزرگی دارند، در یک مقیاس با محدوده کوچک (معمولاً 0 تا 10) قرار دهیم. همانند PageRank گوگل هر 1 واحد افزایش در این مقیاس‌ها باعث افزایش 10 برابری می‌شود. بزرگ‌ترین زلزله‌ای که از سوی انسان اندازه‌گیری شده، زمین‌لرزه‌ای به بزرگی 9.5 درجه در مقیاس ریشتر بوده است. برخورد شهاب‌سنگ با شبه‌جزیره یوکاتان که باعث زمین‌لرزه‌ای در ابعاد 13 ریشتر شده، یکی از دلایل احتمالی برای انقراض دایناسورها ذکر شده است.

فیلم مجموعه آموزش ریاضیات – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

دسی‌بل نیز وضعیت مشابهی دارد، گرچه این مقیاس می‌تواند مقادیر منفی نیز داشته باشد. صدا می‌تواند از واحدهای بسیار کوچک مانند صدای افتادن یک سوزن روی زمین تا صداهای بلندی مانند صدای غرش موتور هواپیما متفاوت باشد و مغز ما می‌تواند همه آن‌ها را پردازش کند. در واقعیت صدای غرش موتور هواپیما می‌تواند میلیون‌ها (میلیارد و تریلیون‌ها) برابر قوی‌تر از صدای افتادن یک سوزن روی زمین باشد و امکان این که مقیاسی داشته باشیم که از 1 تا گازیلیون متغیر باشد، چندان معقول نیست. بدین ترتیب استفاده از لگاریتم باعث می‌شود که همه چیز مقیاسی معقول داشته باشد.

نمودارهای لگاریتمی

در اغلب موارد آیتم‌هایی را می‌بینیم که در مقیاس لگاریتمی ترسیم شده‌اند. منظور از نمودار لگاریتمی به زبان ساده این است که یک طرف نمودار برحسب توان‌های 10 یا تعداد حاصل‌ضرب ترسیم شده و نه خود مقدار. در این مورد نیز این وضعیت کمک می‌کند که نمودار وضعیت معقولی داشته باشد و برای مثال از 1 تا 10 حرکت کند و نه از 1 تا یک میلیارد.

قانون Moore نمونه‌ای بسیار عالی در این خصوص است. بر اساس این قانون، تعداد ترانزیستورهای روی مدارات مجتمع هر 18 ماه، دو برابر می‌شود:

نکته جالب در مورد نمودارهای لگاریتمی این است که تغییرات نمایی (سرعت پردازنده‌ها) به صورت یک خط مستقیم ظاهر می‌شوند. رشد با سرعت 10 برابر در سال به معنی ظهور یکنواخت رقم‌های جدید در مقیاس لگاریتمی است.

سخن پایانی

اگر مفهومی کاملاً مشهور بوده‌؛ اما چندان مورد علاقه عموم نباشد، به این معنی است که باید درک شهودی افراد در مورد آن افزایش یابد. بدین منظور باید از قیاس‌ها کمک گرفت و به آموزش‌های کتب درسی اکتفا نکرد. به طور خلاصه در مورد لگاریتم می‌توان موارد زیر را مورد اشاره قرار داد:

• لگاریتم‌ها برای یافتن علت اصلی یک تأثیر استفاده می‌شوند (مثلاً نرخ رشد برای نرخ بهره)
• لگاریتم‌ها به شمارش مراحل ضرب ارقام کمک می‌کنند و در این حالت تقریبی عمل می‌کنند، مثلاً 500 هزار یک عدد 6.7 رقمی است.

اگر به این نوشته علاقه‌مند بودید، موارد زیر نیز احتمالاً مورد توجه شما قرار خواهند گرفت:

• مجموعه آموزش های ریاضیات
• آموزش تبدیل لگاریتمی و تفاضل گیری در پیش پردازش سری های زمانی
• آموزش های رایگان ریاضی و فیزیک
• لگاریتم و هر آن‌چه باید درباره‌ آن بدانید
• مرجع تابع لگاریتمی

==