قضیه گاوس در فیزیک چیست؟ – به زبان ساده + مثال

یکی از اهداف علم فیزیک این است که با توجه به نشانه‌هایی مانند تقارن بتوانیم روش‌های ساده‌ای برای حل مسائل پیچیده پیدا کنیم. برای مثال، در مورد توزیع بارهای مشخصی که تقارن دارند، میدان الکتریکی به کمک قانون گاوس محاسبه می‌شود. این قانون میدان‌های الکتریکی در نقاط مختلف روی یک سطح بسته را به بار خالص درون آن سطح مرتبط می‌کند. در این مطلب از مجله فرادرس قضیه گاوس و ارتباط آن با مفهوم شار الکتریکی را توضیح می‌دهیم. همچنین به تفکیک هندسه رسانا، نشان می‌دهیم سطح گاوسی مناسب چگونه انتخاب می‌شود.

قضیه گاوس چیست؟

اگر دور توزیع بار موردنظر خود یک سطح بسته فرضی به نام سطح گاوسی در نظر بگیریم، با استفاده از قضیه گاوس می‌توان میدان حاصل از این توزیع بار را محاسبه کرد. این قضیه میدان الکتریکی در تمام نقاط روی سطح گاوسی را به بار خالص درون آن سطح ربط می‌دهد و شکل ریاضیاتی آن به صورت زیر است:

$$ε_0 \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q_{in}$$

• $$\vec{E}$$: بردار میدان الکتریکی بر حسب $$\frac{N}{C}$$.
• $$\vec{A}$$: بردار مساحت بر حسب $$m^2$$ که اندازه آن مساحت سطح گاوسی انتخاب شده و جهت آن عمود بر سطح گاوسی است.
• $$q_{in}$$: بار خالص درون سطح گاوسی بر حسب کولن که از جمع جبری تمام بارها ناشی شده و می‌تواند مثبت، منفی یا صفر شود.
• $$ε_0$$: ثابت گذردهی خلاء با مقدار و واحد $$ε_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ \frac{C^2}{N.m^2}$$.

به علاوه اگر به فرمول بالا بیشتر دقت کنید، این انتگرال‌گیری شامل یک ضرب داخلی است که روی یک سطح بسته (سطح گاوسی) انجام می‌شود.

همچنین تعریف دیگر این قانون بر اساس کمیتی به نام شار الکتریکی بیان می‌شود، به این صورت که قانون گاوس شار خالص $$Φ$$ میدان الکتریکی که از سطح گاوسی می‌گذرد را به بار خالص داخل این سطح مرتبط می‌کند:

$$ε_0 Φ = q_{in}$$

در بخش بعد مفهوم شار الکتریکی و فرمول بالا را بیشتر توضیح خواهیم داد. در ادامه نکات مهم مرتبط با قضیه گاوس را فهرست کرده‌ایم:

• نکته ۱: فرمول‌های بالا زمانی برقراراند که بار خالصی در داخل سطح گاوسی وجود داشته باشد. در غیر این صورت میدان صفر است.
• نکته ۲: هر باری که خارج از سطح گاوسی باشد، در فرمول‌های بالا لحاظ نمی‌شود و شکل و مکان دقیق بارهای داخل سطح گاوسی نقشی در محاسبات ندارند.
• نکته ۳: در فرمول $$ε_0 Φ = q_{in}$$ دو حالت داریم:
  • اگر $$q_{in}$$ مثبت شود، شار خالص به سمت خارج سطح گاوسی است.
  • اگر $$q_{in}$$ منفی شود، شار خالص به سمت داخل سطح گاوسی است.
• نکته ۴: سطح گاوسی یک سطح بسته است که می‌تواند هر شکلی داشته باشد، اما شکلی که محاسبه را برای یافتن میدان ساده‌تر می‌کند، از شکل توزیع بار پیروی می‌کند.
• نکته ۵: از قضیه گاوس می‌توانیم به شکل معکوس استفاده کنیم، یعنی با داشتن میدان روی سطح گاوسی، بار خالص درون آن قابل‌محاسبه است.

برای اینکه دید بهتری در مورد قضیه گاوس به دست آورید، به شکل زیر توجه کنید که در آن دو بار نقطه‌ای مثبت و منفی با اندازه برابر داریم. خطوط میدان الکتریکی برآیند ناشی از این دو بار نیز مشخص است. همچنین چهار سطح گاوسی مختلف در این تصویر در نظر گرفته شده است:

• سطح گاوسی $$S_1$$ شامل بار مثبت است.
• سطح گاوسی $$S_2$$ شامل بار منفی است.
• سطح گاوسی $$S_3$$ هیچ باری را احاطه نکرده است.
• سطح گاوسی $$S_4$$ شامل هر دو بار مثبت و منفی است.

در مورد سطح گاوسی چهارم، چون اندازه دو بار با هم برابر است، پس مجموع بار خالص داخل این سطح گاوسی نیز مانند بار خالص درون سطح سوم صفر است. همچنین با توجه به خطوط میدان می‌توانیم بار خالص داخل سطح گاوسی را حدس بزنیم.

برای مثال، در مورد سطح اول چون خطوط میدان روی این سطح به سمت خارج‌اند، پس شار آن مثبت است. در نتیجه طبق فرمول $$ε_0 Φ = q_{in}$$ بار خالص درون این سطح نیز مثبت است. به همین ترتیب، در مورد دومین سطح چون خطوط میدان روی این سطح فرود آمده‌اند، پس شار آن منفی است. در نتیجه طبق فرمول $$ε_0 Φ = q_{in}$$ بار خالص درون این سطح نیز منفی است.

در سطح گاوسی $$S_3$$ تنها خط میدانی که از بالای سطح به آن وارد شده‌، در پایین از آن خارج می‌شود. پس چون شار عبوری از آن صفر است، طبق قانون گاوس بار خالص درون آن نیز صفر است. در نهایت در سطح گاوسی $$S_4$$ را داریم که پنج خط میدان به آن فرود آمده و پنج خط میدان از آن خارج می‌شود. پس شار آن صفر است و در نتیجه بار خالص درون آن نیز صفر.

نکته: اگر بار نقطه‌ای سومی را در نزدیکی سطح گاوسی $$S_4$$ و در خارج آن قرار دهیم، مسلما الگوی خطوط میدان تغییر خواهد کرد. اما شار خالصی که از هر کدام از این چهار سطح گاوسی عبور می‌کند و در نتیجه، بار خالص درون هر کدام تغییری نخواهد کرد. چون این بار در خارج از تمام سطوح گاوسی قرار دارد.

یادگیری فیزیک ۲ دانشگاه با فرادرس

فیزیک پایه در دانشگاه شامل دو بخش فیزیک ۱ و فیزیک ۲ است، به این ترتیب که پس از یادگیری قوانین مکانیک کلاسیک، در فیزیک پایه ۲ دو مبحث مهم الکتریسیته و مغناطیس مطرح می‌شوند. در همین راستا می‌توانید از مجموعه فیلم‌های آموزشی فرادرس طبق فهرست زیر بهره ببرید تا با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع‌تر، به تمام موضوعات فیزیک ۲ از جمله محاسبه میدان الکتریکی به کمک قضیه گاوس مسلط شوید:

• فیلم آموزش رایگان الکتریسیته ساکن - حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک پایه ۲ – مرور و حل تست کنکور ارشد بخش یکم فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک پایه ۲ – مرور و حل تست کنکور ارشد بخش دوم فرادرس

شار الکتریکی چیست؟

برای درک شار الکتریکی، ابتدا بهتر است مفهوم کلمه شار را بدانیم. فرض کنید طبق شکل زیر جریان هوای یکنواختی با سرعت $$v$$ از یک حلقه مربعی با مساحت $$A$$ عبور کند. اگر $$Φ$$ نشان دهنده آهنگ شارش حجمی هوا از داخل حلقه باشد، این آهنگ به زاویه بین $$v$$ و سطح حلقه بستگی دارد:

برای مثال، اگر $$v$$ بر صفحه عمود باشد، $$Φ$$ می‌شود $$vA$$. در حالی که اگر زاویه بین $$v$$ و $$A$$ مخالف صفر و برابر با $$\theta$$ باشد، $$Φ$$ برابر می‌شود با $$vA \cos \theta$$. همچنین در صورتی که بردار $$v$$ موازی صفحه حلقه باشد، هیچ جریانی از حلقه عبور نمی‌کند و $$Φ = 0$$.

بنابراین فرمول کلی برای شار عبوری از مقطعی مانند $$A$$ به شکل زیر است:

$$Φ = vA \cos \theta = \vec{v} \cdot \vec{A}$$

اگر این تعریف را بسط دهیم، می‌توانیم شار یک میدان الکتریکی (شار الکتریکی) را نیز پیدا کنیم. تعریف دقیق شار الکتریکی عبوری از یک سطح بسته به شکل زیر است:

$$Φ = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$$

که در آن $$dA$$ حد دیفرانسیلی خیلی کوچکی روی سطح گاوسی و دایره روی انتگرال نشان دهنده انتگرال‌گیری روی سطح بسته است. دقت کنید شار الکتریکی یک کمیت نرده‌ای است با واحد SI نیوتن در متر مربع بر کولن.

نکته: شار الکتریکی که از داخل یک سطح گاوسی می‌گذرد، با تعداد خطوط میدان الکتریکی عبور کرده از درون این سطح متناسب است.

ارتباط قانون گاوس و قانون کولن

قضیه گاوس زمانی درست است که میدان حاصل از آن با میدان حاصل از قانون کولن معادل باشد. در این بخش نشان می‌دهیم که برای مثال، در مورد یک بار نقطه‌ای این مسئله صحیح است. بار نقطه‌ای مثبتی را در نظر بگیرید و فرض کنید سطح گاوسی متناسب با آن کره‌ای است با شعاع $$r$$ که بار نقطه‌ای در مرکز آن واقع شده است:

اگر سطح این کره را به مساحت‌های دیفرانسیلی $$dA$$ تقسیم کنیم، طبق تعریف بردار مساحت در هر نقطه عمود بر سطح و به سمت خارج است. چون طبق شکل زاویه بین دو بردار $$E$$ و $$dA$$ صفر است، پس می‌توانیم قانون گاوس را به شکل زیر بنویسیم:

$$ε_0 \oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = ε_0 \oint EdA = q_{in}$$

با اینکه میدان به صورت شعاعی با فاصله از بار نقطه‌ای تغییر می‌کند ولی روی سطح کروی، در تمام نقاط اندازه آن یکسان است. با توجه به اینکه انتگرال بالا روی سطح گاوسی گرفته می‌شود، می‌توانیم میدان ثابت $$E$$ را از انتگرال خارج کرده و در نهایت روی تمام سطوح دیفرانسیلی انتگرال‌گیری کنیم:

$$ε_0E \oint dA = q_{in}$$

$$ε_0 E (4 \pi r^2) = q$$

$$E = \frac{1}{4 \pi ε_0} \frac{q}{r^2}$$

این رابطه همان فرمول میدانی است که می‌توان با استفاده از قانون کولن به دست آورد.

چطور سطح گاوسی مناسب را انتخاب کنیم؟

برای محاسبه میدان با استفاده از قضیه گاوس، انتخاب سطح گاوسی درست نکته مهمی است. در بخش قبل دیدیم که در مورد یک بار نقطه‌ای، سطح گاوسی مناسب کره‌ای است که این بار در مرکز آن واقع شده است. در این صورت خطوط میدان به صورت شعاعی و به سمت خارج (در مورد بار مثبت) امتداد دارند.

پس در اینجا از تقارن کروی برای انتخاب سطح گاوسی استفاده کرده‌ایم. تقارن کروی از سه نظر محاسبات ما را ساده‌تر خواهد کرد:

• حاصل‌ضرب داخلی $$\vec{E} \cdot \vec{dA}$$ ساده می‌شود، چون در تمام نقاط روی سطح گاوسی زاویه بین $$\vec{E}$$ و $$d\vec{A}$$ برابر صفر است. بنابراین در تمام نقاط داریم: $$\vec{E} \cdot d\vec{A} = EdA$$.
• اندازه میدان در انتگرال‌گیری ثابت است و می‌توان آن را از انتگرال بیرون آورد.
• نتیجه انتگرال به شکل راحتی محاسبه می‌شود، جمع مساحت‌های دیفرانسیلی روی کره که برابر است با $$4 \pi r^2$$.

نکته: دقت کنید قانون گاوس بدون در نظر گرفتن شکل سطح گاوس همواره برقرار است. برای مثال، اگر در مثال بالا یک سطح گاوسی مکعبی انتخاب کنیم، باز هم قضیه گاوس قابل‌استفاده است، اما سه جنبه ساده‌کننده بالا را از دست داده‌ایم.

در بخش‌های بعد با در نظر گرفتن تقارن‌های مختلف نشان می‌دهیم سطح گاوسی مناسب چیست و چگونه می‌توان قانون گاوس را برای هر کدام بکار برد. همچنین اگر می‌خواهید علاوه بر این قانون، با سایر روش‌های محاسبه میدان نیز آشنا شوید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «محاسبه میدان الکتریکی – به زبان ساده» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

قضیه گاوس و تقارن استوانه ای

بخشی از یک میله پلاستیکی استوانه‌ای شکل را مانند تصویر زیر در نظر بگیرید و فرض کنید چگالی بار خطی و یکنواخت $$λ$$ روی آن قرار دارد. می‌خواهیم با استفاده از قانون گاوس میدان $$\vec{E}$$ را در فاصله $$r$$ از محور استوانه محاسبه کنیم:

در این مسئله تقارن استوانه‌ای داریم، پس سطح گاوسی مناسب نیز استوانه‌ای است با شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ که با میله هم‌محور است. در هر نقطه روی سطح جانبی این سطح گاوسی، میدان مقدار ثابت $$E$$ و جهتی شعاعی به سمت خارج (به علت بار مثبت) دارد. با توجه به فرمول مساحت سطح جانبی استوانه، شار میدان برای این بخش عبارت است از:

$$Φ = EA \cos \theta = E (2 \pi rh) \cos 0 = 2 \pi rhE$$

از قاعده‌ها نیز هیچ شاری عبور نمی‌کند، چون $$\vec{E}$$ که به صورت شعاعی است در هر نقطه عمود بر بردار مساحت است. بنابراین شار کل همان عبارت بالا است و طبق قضیه گاوس داریم:

$$ε_0 Φ = q_{in}$$

$$ε_0 E (2 \pi rh) = λh$$

در تساوی بالا از این واقعیت استفاده کردیم که $$λ = \frac{q}{h}$$. بنابراین میدان الکتریکی ناشی از یک خط مستقیم و بی‌نهایت بلند بار در نقطه‌ای به فاصله $$r$$ از آن برابر است با:

$$E = \frac{λ}{2 \pi ε_0 r}$$

• اگر بار میله مثبت باشد، جهت میدان شعاعی و به سمت خارج است.
• اگر بار میله منفی باشد، جهت میدان شعاعی و به سمت داخل است.

دقت کنید این فرمول میدان ناشی از میله‌ای با طول محدود را در نقاطی که خیلی به دو انتهای میله نزدیک نیستند، به ما خواهد داد.

قضیه گاوس و تقارن صفحه ای

در شکل زیر بخشی از یک صفحه نارسانای بزرگ، نازک و با ابعاد بی‌نهایت را مشاهده می‌کنید که بار الکتریکی روی آن با چگالی سطحی یکنواخت $$σ$$ توزیع شده است. می‌خواهیم میدان را در فاصله $$r$$ از صفحه پیدا کنیم. سطح گاوسی مناسب برای این هندسه، استوانه‌ای با مساحت قاعده $$A$$ است که طبق شکل صفحه را در جهت عمود بر آن قطع می‌کند:

با توجه به تقارن، $$\vec{E}$$ باید بر صفحه و در نتیجه بر قاعده‌های انتهایی عمود باشد. همچنین با توجه به مثبت بودن بار صفحه، میدان به سمت خارج صفحه است. پس خطوط میدان دو قاعده انتهایی سطح گاوسی را در جهت رو به خارج قطع می‌کنند. بنابراین چون خطوط میدان سطح جانبی را قطع نمی‌کند، هیچ شاری از این بخش سطح گاوسی عبور نمی‌کند. در مورد دو قاعده $$\vec{E} \cdot \vec{dA}$$ برابر است با $$EdA$$ و خواهیم داشت:

$$ε_0 \oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = q_{in}$$

$$ε_0 (EA+EA) = σA$$

در رابطه بالا $$σA$$ معادل است با بار درون سطح گاوس. در نتیجه برای میدان صفحه باردار داریم:

$$E = \frac{σ}{2ε_0}$$

با توجه به اینکه فرض کردیم صفحه بی‌نهایت و با چگالی بار یکنواخت است، پس این نتیجه برای هر نقطه‌ای در فاصله محدود از صفحه برقرار است.

قضیه گاوس و تقارن کروی

در مبحث قضیه گاوس و تقارن کروی، دو قضیه مهم در مورد پوسته‌های کروی داریم که عبارت‌اند از

• قضیه اول: یک پوسته با توزیع بار یکنواخت به ذره باردار خارج از آن طوری نیرو وارد می‌کند که انگار تمام پوسته در مرکز آن متمرکز شده است.
• قضیه دوم: اگر ذره بارداری داخل یک پوسته کروی با توزیع بار یکنوخت قرار داشته باشد، هیچ نیروی الکتریکی از سمت پوسته به ذره وارد نمی‌شود.

شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن یک پوسته کروی باردار با بار کل $$q$$، شعاع $$R$$ و دو سطح گاوسی هم‌مرکز $$S_1$$ و $$S_2$$ را داریم. با نوشتن قضیه گاوس برای سطح $$S_2$$ در $$r >> R$$، خواهیم داشت:

$$E = \frac{1}{4 \pi ε_0} \frac{q}{r^2}$$

این میدان همان میدانی است که توسط یک بار نقطه‌ای $$q$$ در مرکز پوسته باردار ایجاد می‌شود. پس نیرویی که از طرف پوسته به ذره باردار خارج از آن وارد می‌شود، برابر است با نیرویی که یک ذره باردار در مرکز و با باری به اندازه بار پوسته وارد می‌کند. بنابراین قضیه اول ثابت شد.

در مورد قضیه دوم، طبق قانون گاوس برای سطح $$S_1$$ که در آن $$r$$ است، خواهیم داشت:

$$E = 0$$

چوه هیچ باری در این سطح گاوسی وجود ندارد. پس اگر ذره بارداری داخل پوسته قرار داده شود، هیچ نیرویی از سمت پوسته به آن وارد نمی‌شود. برای اینکه بتوانیم از این دو قضیه در حل مسائل استفاده کنیم، لازم است برای تمام پوسته‌ها چگالی بار حجمی $$ρ$$ ثابت باشد، گرچه که ممکن است مقدار آن از پوسته‌ای به پوسته دیگر تغییر کند. در واقع $$ρ$$ فقط با فاصله از مرکز یا $$r$$ تغییر می‌کند.

میدان الکتریکی رسانای منزوی

یک قطعه رسانا با بار اضافی $$q$$ را در نظر بگیرید که از یک ریسمان نارسانا آویزان شده است. اگر سطح گاوسی را دقیقا زیر سطح واقعی رسانا انتخاب کنیم، میدان الکتریکی در داخل این رسانا صفر است، در غیر این صورت میدان غیر صفر بر الکترون‌های آزاد داخل رسانا نیرو وارد می‌کرد و در رسانا جریان داشتیم.

این در حالی است که می‌دانیم چنین جریان دائمی در یک رسانای منزوی وجود ندارد. پس میدان داخلی این رسانا صفر است. اگر $$E$$ در تمام نقاط درون رسانا صفر باشد، باید در تمام نقاط روی سطح گاوسی نیز صفر باشد. همچنین طبق قانون گاوس، بار الکتریکی خالص درون این سطح گاوسی نیز صفر است. بنابراین بار اضافی درون سطح گاوسی نیست، پس این بار باید خارج از آن و روی سطح رسانا باشد.

استدلال بالا ما را به یک قضیه مهم در مورد رسانای باردار منزوی می‌رساند: اگر مقداری بار اضافی روی یک رسانا منزوی قرار داده شود، تمام این بار به سطح رسانا رفته و هیچ‌ مقدار از این بار اضافی درون رسانا نمی‌ماند. حالا فرض کنید در این رسانا یک حفره ایجاد شده که کاملا درون آن قرار دارد.

با انتخاب یک سطح گاوسی دور حفره، فرض می‌کنیم این سطح خیلی نزدیک به سطح حفره اما درون فلز قرار دارد. چون درون رسانا میدان صفر است، پس هیچ شاری از درون سطح گاوسی جدید عبور نمی‌کند و طبق قانون گاوس نیز هیچ بار خالصی درون این سطح وجود ندارد. پس روی دیواره‌های این حفره نیز نباید هیچ بار خالصی وجود داشته باشد و تمام بار اضافی روی سطح خارجی رسانا قرار می‌گیرد.

میدان الکتریکی خارج از سطح رسانا

در بخش قبل توضیح دادیم که بار اضافی روی یک رسانای عایق‌بندی شده کاملا به سطح رسانا منتقل می‌شود، اما زمانی که رسانای موردنظر ما کروی باشد، این بار بطور یکنواخت توزیع نخواهد شد. اگر توزیع بار را با کمیتی به نام چگالی بار سطحی یا $$σ$$ نشان دهیم، این کمیت روی سطح یک رسانای کروی متغیر است.

همین متغیر بودن $$σ$$ تعیین میدان الکتریکی ایجاد شده توسط بار روی سطح را مشکل می‌کند. با این وجود هنوز هم میدان خارج از سطح رسانا را می‌توانیم با قضیه گاوس پیدا کنیم. کافی است بخش خیلی کوچکی از سطح را در نظر بگیریم، به گونه‌ای که بتوان از هر نوع انحنا چشم‌پوشی کرده و سطح انتخاب شده را مسطح در نظر گرفت:

سپس سطح گاوسی استوانه‌ای شکل را روی این بخش از سطح قرار می‌دهیم، یک قاعده از این استوانه کاملا درون رسانا است و قاعده دیگر در خارج رسانا قرار دارد. همچنین استوانه بر سطح رسانا عمود است.

دقت کنید اگر میدان مولفه‌ای در راستای سطح رسانا می‌داشت، بر بارهای روی سطح نیرو وارد می‌کرد و موجب حرکت آن‌ها و برقراری جریان الکتریکی می‌شد. این روند فرض اولیه ما در مورد تعادل الکتروستاتیکی را نقض می‌کند. بنابراین میدان $$\vec{E}$$ بر سطح رسانا عمود است. حالا می‌رویم سراغ محاسبه شار عبوری از سطح گاوسی:

• از قاعده داخلی سطح گاوسی هیچ شاری عبور نمی‌کند، چون میدان درون رسانا صفر است.
• از سطح جانبی استوانه نیز هیچ شاری عبور نمی‌کند، چون میدان و $$\vec{A}$$ بر هم عمود هستند.
• از قاعده خارجی استوانه شار عبوری داریم، چون میدان و بردار عمود بر سطح در یک راستا هستند.

در قاعده خارجی استوانه با فرض کوچک بودن $$A$$ می‌توانیم میدان $$E$$ را روی آن ثابت در نظر بگیریم. بنابراین شار عبوری از سطح گاوسی برابر است با $$EA$$. از طرفی اگر $$σ$$ بار در واحد سطح باشد، بار خالص درون سطح گاوسی برابر است با $$σA$$. به این ترتیب قانون گاوس به شکل زیر خواهد شد:

$$ε_0 EA = σA$$

در نتیجه اندازه میدان الکتریکی درست خارج از سطح رسانا با چگالی بار سطحی روی آن متناسب است:

$$E = \frac{σ}{ε_0}$$

• اگر بار روی رسانا مثبت باشد، میدان به سمت خارج است.
• اگر بار روی رسانا منفی باشد، میدان به سمت داخل است.

مسیر یادگیری الکترونیک با فرادرس

اگر دانشجو هستید و تمایل دارید اطلاعات جامعی در مورد مباحث مرتبط با قانون گاوس، محاسبه میدان، مدارهای الکتریکی و در نتیجه یادگیری بهتر الکترونیک به‌دست آورید، می‌توانید فیلم‌های آموزشی زیر از مجموعه فرادرس را مشاهده کنید:

• فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱
• فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲
• فیلم آموزش فیزیک الکترونیک – بخش یکم

حل مثال و تمرین از قانون گاوس

در بخش‌های قبل این مطلب از مجله فرادرس آموختیم قضیه گاوس در فیزیک چیست و چگونه می‌توان یک سطح گاوسی مناسب را انتخاب کرد. در این قسمت با حل چند نمونه سوال به شما کمک می‌کنیم تا به کلیه روابط و مفاهیم مطرح شده در این مطلب مسلط شوید.

مثال ۱

میدان الکتریکی غیریکنواخت $$\vec{E} = 3x \hat{i} + 4 \hat{j}$$ از داخل یک مکعب به شکل زیر عبور می‌کند. اگر میدان بر حسب نیوتن بر کولن و متغیر $$x$$ بر حسب متر باشد، شار الکتریکی که از وجه سمت راست، چپ و بالای مکعب می‌گذرد، چقدر است؟

پاسخ

برای پیدا کردن شار لازم است ابتدا بردار مساحت را مشخص کنیم. این بردار همواره بر سطح گاوسی عمود و جهت آن به سمت خارج آن است. پس اگر بخواهیم شار الکتریکی عبوری از وجه سمت راست این مکعب را پیدا کنیم، بردا مساحت به شکل زیر است:

$$d \vec{A} = dA \hat{i}$$

طبق فرمول گفته شده برای شار، شار عبوری از این وجه مکعب برابر است با:

$$Φ_R = \int \vec{E} \cdot d\vec{A}$$

$$Φ_R = \int (3x \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot dA \hat{i}$$

$$Φ_R = \int (3dAx \hat{i} \cdot \hat{i} + 4 \hat{j} \cdot \hat{i})$$

$$Φ_R = \int (3dAx + 0) = 3 \int x dA$$

می‌خواهیم این انتگرال را روی وجه سمت راست حساب کنیم. می‌دانیم که برای این وجه طبق شکل بالا، مقدار $$x$$ ثابت و برابر با $$3$$ است. پس حاصل عبارت بالا می‌شود:

$$Φ_R = 9 \int dA$$

در نهایت انتگرال $$\int dA$$ را داریم که با مساحت وجه سمت راست یعنی $$A = 4 \ m^2$$ برابر است:

$$Φ_R = 9 \times 4 = 36 \ \frac{N.m^2}{C}$$

به همین شکل برای شار عبوری از وجه سمت چپ کافی است بردار عمود بر سطح را در جهت منفی محور $$x$$ انتخاب کنیم و عامل متغیر $$x$$ را که در انتگرال‌گیری ظاهر می‌شود، برای این وجه معادل با واحد در نظر بگیریم:

$$Φ_L = -3 \times 4 = -12 \ \frac{N.m^2}{C}$$

در مورد شار عبوری از وجه بالایی با در نظر گرفتن $$d \vec{A} = dA \hat{j}$$، خواهیم داشت:

$$Φ_T = \int \vec{E} \cdot d\vec{A}$$

$$Φ_T = \int (3x \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot dA \hat{j}$$

$$Φ_T = \int (3dAx \hat{i} \cdot \hat{j} + 4 \hat{j} \cdot \hat{j})$$

$$Φ_T = \int (0 + 4 dA) = 4 \int dA$$

$$Φ_T = 4 \times 4 = 16 \ \frac{N.m^2}{C}$$

مثال ۲

تصویر زیر پنج جسم پلاستیکی و باردار همراه با یک سکه بدون بار را نشان می‌دهد. مقطع سطح گاوسی $$S$$ نیز در شکل مشخص است. با این فرض که $$q_1 = q_4 = +3.1 \ nC$$ و $$q_2= q_5 = -5.9 \ nC$$ و $$q_3 = -3.1 \ nC$$، شار الکتریکی خالصی که از این سطح گاوسی می‌گذرد، چقدر است؟

پاسخ

می‌دانیم شار خالصی که از یک سطح گاوسی عبور می‌کند به بار خالصی که درون آن سطح قرار می‌گیرد، بستگی دارد. با توجه به اینکه سکه بدون بار است و بارهای $$q_4$$ و $$q_5$$ نیز در خارج از سطح $$S$$ قرار دارند، پس این سه جسم هیچ سهمی در تولید شار ندارند. بنابراین خواهیم داشت:

$$Φ = \frac{q_{in}}{ε_0}= \frac{q_1 + q_2 + q_3 }{ε_0}$$

$$Φ = \frac{+3.1 \times 10^{-9} - 5.9 \times 10^{-9} -3.1 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = -670 \ \frac{N.m^2}{C}$$

علامت منفی نشان‌دهنده این است که شار خالص به سمت درون سطح است و در نتیجه بار خالص درون سطح نیز منفی است.

مثال ۳

شکل زیر بخش‌هایی از دو صفحه بزرگ، نارسانا و موازی هم را نشان می‌دهد که هر کدام دارای توزیع باری یکنواخت در یک سمت خود هستند. اندازه چگالی بار سطحی این صفحات برابر است با $$σ_+ = 6.8 \ \frac{μC}{m^2}$$ برای صفحه با بار مثبت و $$σ_- = 4.3 \ \frac{μC}{m^2}$$ برای صفحه با بار منفی. میدان الکتریکی را در سمت چپ، بین و سمت راست دو صفحه پیدا کنید:

پاسخ

در این سوال بارها روی دو صفحه نارسانا قرار دارند، پس در واقع در جای خود ثابت شده‌اند و می‌توانیم میدان هر بخش را با استفاده از جمع جبری میدان‌های دو صفحه و البته در نظر گرفتن جهت بردارهای میدان پیدا کنیم. در هر نقطه میدان ناشی از صفحه مثبت به سمت خارج صفحه است و طبق فرمول بخش تقارن صفحه‌ای داریم:

$$E_+ = \frac{σ_+}{2ε_0}$$

$$E_+ = \frac{6.8 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = 3.84 \times 10^5 \ \frac{N}{C}$$

بطور مشابه، میدان ناشی از صفحه منفی به سمت داخل صفحه و برابر است با:

$$E_- = \frac{σ_-}{2ε_0}$$

$$E_- = \frac{4.3 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = 2.43 \times 10^5 \ \frac{N}{C}$$

بنابراین طبق اصل برهم‌نهی، با در نظر گرفتن جهت‌‌های میدان‌ها طبق شکل زیر، برای میدان برآیند در سمت چپ دو صفحه خواهیم داشت:

$$E_L = E_+ -E_-$$

$$E_L = 3.84 \times 10^5 - 2.43 \times 10^5 = 1.4 \times 10^5 \ \frac{N}{C}$$

با توجه به اینکه اندازه میدان مثبت از میدان منفی بیشتر است، پس در این محاسبه جهت میدان برآیند برای این ناحیه به سمت چپ است. میدان برآیند در ناحیه سمت راست دو صفحه نیز به شکل مشابهی به دست می‌آید و اندازه آن برابر با اندازه میدان در چپ است، اما جهت آن به سمت راست خواهد بود. بین دو صفحه نیز دو میدان هم‌جهت داریم که با هم جمع می‌شوند:

$$E_B= E_+ + E_ -$$

$$E_B = 3.84 \times 10^5 + 2.43 \times 10^5 = 6.3 \times 10^5 \ \frac{N}{C}$$

جهت این میدان با توجه به مثبت شدن عدد بالا به سمت راست است.

مثال ۴

فرض کنید استوانه‌ای با طول $$L$$ و بار $$+q$$ به وسیله پوسته استوانه‌ای رسانای دیگری با بار کل $$-2q$$ احاطه شده است. میدان را در نقاط خارج از پوسته حساب کنید. همچنین توزیع بار روی پوسته رسانا را نیز تعیین کنید:

پاسخ

یک سطح گاوسی استوانه‌ای شکل به شعاع $$r$$ و طول $$L$$ در خارج از پوسته رسانا در نظر می‌گیریم. با نوشتن قضیه گاوس داریم:

$$ε_0 \oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = q_{in}$$

در این رابطه $$q_{in} = +q -2q=-q$$ است. همچنین برای سمت چپ رابطه داریم:

$$ε_0 \oint E (2 \pi r L ) = -q$$

$$E = \frac{-q}{2 \pi ε_0 r L }$$

پس میدان خارج از پوسته به دست آمد. در مورد توزیع بار روی پوسته باید به این نکته توجه کنیم که استوانه رسانای دارای بار $$+q$$ باعث می‌شود بار $$-q$$ روی سطح داخلی پوسته و بار $$+q$$ روی سطح خارجی پوسته رسانا القا شود. همچنین بار $$-2q$$ روی سطح خارجی پوسته رسانا با بار القایی $$+q$$ جمع می‌شود. در نتیجه بار خالص توزیع شده روی پوسته رسانا برابر است با $$-q$$.