فرمول بار الکتریکی چیست؟ – به زبان ساده با مثال و تمرین

«بار الکتریکی» (Electrical Charge) یکی از مفاهیم بنیادین در فیزیک است که شناخت ماهیت، خواص و فرمول‌ آن، از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. در این نوشته از مجله فرادرس به معرفی و بررسی فرمول‌ بار الکتریکی یعنی $$q=\pm ne$$ خواهیم پرداخت. همچنین نشان می‌دهیم برای اندازه‌گیری بار الکتریکی می‌توانیم از فرمول $$q=It$$ استفاده کنیم.

در ادامه برای اینکه درک دقیق‌تری نسبت به فرمول بار الکتریکی داشته باشید، ابتدا تعریف بار الکتریکی و مشخصات آن را توضیح داده‌ایم. سپس فرمول اندازه‌گیری بار را معرفی می‌کنیم و در بخش‌های بعد، به توضیح رابطه بار الکتریکی با جریان و نیرو (قانون کولن) پرداخته‌ایم. در انتها با حل مثال‌‌ها و تمرین‌های متنوع به شما کمک می‌کنیم تا به کاربرد فرمول‌های مربوط به این مبحث کاملا مسلط شوید.

فرمول بار الکتریکی

برای محاسبه بار الکتریکی با توجه به نوع مسئله و داده‌‌های آن می‌توانیم از فرمول‌های مختلفی استفاده کنیم. در جدول زیر تمام فرمول‌های مرتبط با بار الکتریکی آورده شده است:

اولین فرمول بار الکتریکی نشان می‌دهد بار یک جسم یا $$q$$ همواره به‌صورت مضرب صحیحی از یک عدد مشخص و ثابت به نام «بار پایه» (Elementary Charge) است که آن را با $$e$$ نشان می‌دهیم. مقدار بار پایه معادل است با باری که توسط یک الکترون یا یک پروتون حمل می‌شود:

$$e = 1.6\times10^{-19} \ C$$

در این رابطه اگر بار پایه ما الکترون در نظر گرفته شود، باید علامت منفی را انتخاب کنیم. اما اگر بار پایه پروتون باشد، لازم است علامت مثبت در نظر گرفته شود. فرمول بار الکتریکی را به شکل زیر هم می‌توان نوشت:

$$q=\pm ne=\pm 1.6\times10^{-19} n$$

• $$q$$: بار الکتریکی بر حسب کولن ($$C$$)
• $$e$$: بار پایه بر حسب کولن ($$C$$) که برابر است با با مقدار ثابت $$1.6\times10^{-19}$$
• $$n$$: عدد صحیح و بدون واحد

فرمول بار بر مبنای کوانتیدگی بار الکتریکی نوشته شده است و همین مسئله موجب می‌شود تا نتوانیم بار یک جسم را به بخش‌های پیوسته کوچکتر تقسیم کنیم. در واقع باری که به جسمی اضافه یا از آن کم می‌شود، همواره مضرب صحیحی از بار پایه است. برای مثال بار اجسام می‌تواند به شکل $$+2e$$ یا $$+31e$$ یا $$-41e$$ باشد، اما باری به شکل $$+\frac{1}{2}e$$ یا $$-\frac{5}{4}e$$ وجود ندارد. در ادامه این نوشته به توضیح دو فرمول دیگر همراه با حل مثال و ارائه تمرین خواهیم پرداخت.

تعریف بار الکتریکی

پیش از توضیح انواع فرمول بار الکتریکی، ابتدا باید بدانیم بار به چه معنا است. بار الکتریکی به‌‌‌عنوان یک خاصیت بنیادین از ذرات زیراتمی، باعث می‌شود این ذرات در حضور میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی اثر نیروی الکتریکی را دریافت کنند. با اینکه بار، میدان و نیرو مفاهیمی هستند که دیده نمی‌شوند، اما نتیجه تاثیر میدان‌‌های الکتریکی و مغناطیسی روی بار الکتریکی، ایجاد آثاری است که قابل مشاهده‌اند.

شناخت بار الکتریکی در درک ساختار اتم نیز بسیار مهم است. اتم‌ها از ذرات زیراتمی به نام پروتون، الکترون و نوترون ساخته شده‌اند. این ذرات ویژگی‌های متمایزی مانند جرم و بار مشخص دارند. برای مثال، پروتون‌ها دارای بار مثبت هستند، در حالی که بار الکترون‌ها همیشه منفی است. نوترون‌ها نیز بدون بار یا خنثی هستند.

انواع بار الکتریکی

تمام بار‌های الکتریکی در یکی از این دو گروه بارهای مثبت یا بارهای منفی قرار می‌گیرند. بارهای مثبت با پروتون‌ها مرتبط هستند و با علامت + مشخص می‌شوند، در حالی که بارهای منفی که به الکترون‌ها مربوط‌اند، با علامت - نشان داده می‌شوند. تمایز بین این دو نوع بار نقش مهمی در درک رفتار اجسام باردار ایفا می‌کند.

بارهای با علامت مخالف یا ناهمنام، برای مثال یک بار مثبت و یک بار منفی، یکدیگر را جذب می‌کنند، اما بارهای با علامت مشابه یا همنام، مانند دو بار مثبت یا دو بار منفی، یکدیگر را می‌رانند. پس نیروهای الکتریکی بین بارها یا از نوع جاذبه هستند و یا از نوع دافعه. فرمول محاسبه اندازه این نیروها را در بخش‌‌های بعد توضیح خواهیم داد.

به این ترتیب نحوه برهم‌کنش انواع بارها را نیز آموختیم. به هر جسم یا ذره‌ای که دارای بار الکتریکی است، جسم یا ذره باردار گفته می‌شود. تمام اجسام باردار یا بار مثبت دارند یا بار منفی. باردار بودن یک جسم به این معنا نیست که در آن فقط یک نوع بار وجود دارد، بلکه به این معنا است که در آن یک نوع بار بیشتر از دیگری است. در حقیقت، باردار بودن یک جسم نشان‌دهنده وجود الکترون یا پروتون اضافی در آن است.

برای مثال، وقتی می‌گوییم بار جسمی مثبت است، منظورمان این است که تعداد بارهای مثبت این جسم نسبت به تعداد بارهای منفی آن بیشتر است. به همین دلیل زمانی که تعداد بارهای مثبت و منفی در یک جسم برابر باشد، می‌گوییم آن جسم بدون بار یا اصطلاحا خنثی است. در اجسام خنثی، بارهای مثبت و منفی هم را خنثی می‌کنند و در نتیجه، بار کل جسم صفر است.

همچنین بار الکتریکی به‌عنوان یکی از انواع کمیت‌های فیزیکی، کمیتی نرده‌ای یا عددی یا اسکالر محسوب می‌شود. بنابراین فقط اندازه دارد و ما در فرمول $$q=\pm ne$$ اندازه آن را محاسبه می‌کنیم. زمانی که با مجموعه‌ای از بارهای در حال حرکت به نام «جریان الکتریکی» روبرو هستیم نیز جمع عددی بارها در نظر گرفته می‌شود. اما عددی بودن بار الکتریکی به این معنا نیست که در محاسبه مجموع بارهای یک جسم نباید علامت بارها را اثر دهیم!

برای مثال، اگر بخواهیم مجموع سه بار مثبت و دو بار منفی را پیدا کنیم، باید اثر علامت بارها را به شکل زیر در نظر بگیریم:

$$+3+(-2)=+3-2=+1$$

خواص بار الکتریکی

همان‌طور که گفتیم اگر بخواهیم یک رابطه را به‌عنوان فرمول بار الکتریکی نام ببریم، $$q=\pm ne$$ است. این فرمول علاوه‌ بر اینکه بار را محاسبه می‌کند، دو خاصیت مهم بار الکتریکی را نیز پوشش داده است که عبارت‌اند:

• پایستگی بار الکتریکی
• کوانتیدگی بار الکتریکی

پایستگی بار به این معنا است که در یک سیستم ایزوله شده، کل بار الکتریکی با گذر زمان پایسته و ثابت می‌ماند. یعنی اگر مجموعه‌ای از چند بار الکتریکی در یک سیستم فرضی ایزوله داشته باشیم، حاصل جمع جبری این بارها در گذر زمان تغییری نخواهد کرد. خاصیت مهم بعدی، کوانتیده بودن بار است، به این مفهوم که بار هر جسم همواره به‌صورت مضرب صحیحی از یک کمیت بنیادین به نام «بار پایه» تعریف می‌شود. در بخش اول نشان دادیم که چگونه فرمول بار الکتریکی بر مبنای کوانتیده بودن بار بنا شده است.

چگونه مفهوم بار الکتریکی را با فرادرس بهتر بیاموزیم؟

مفهوم بار الکتریکی در مقطع متوسطه، برای اولین بار در بخش الکتریسیته از کتاب درسی علوم تجربی پایه هشتم معرفی و توضیح داده می‌شود. در این کتاب، با روش‌های مختلف انتقال بار الکتریکی مانند القا و تماس و پدیده آذرخش یا تخلیه الکتریکی از طریق مثال‌ و آزمایش‌های متنوع آشنا می‌شوید و به دنبال آن، در کتاب فیزیک پایه یازدهم فرمول بار الکتریکی معرفی می‌شود. در همین زمینه، فرادرس چند دوره‌ آموزشی کاملا منطبق بر سرفصل‌های این کتاب‌های درسی تهیه کرده است که می‌توانید با مشاهده آن‌ها یادگیری خود را راجع‌به این موضوع تکمیل کنید:

1. فیلم آموزش علوم تجربی پایه هشتم فیزیک فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک پایه یازدهم فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک پایه یازدهم مرور و حل تمرین فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک پایه ​یازدهم - حل سوالات امتحانات نهایی فرادرس

همچنین اگر تمایل دارید مجموعه خلاصه شده‌ای از تمام فرمول‌های کتاب درسی فیزیک پایه یازدهم را در اختیار داشته باشید، مطالعه مطلب «فرمول های فیزیک یازدهم در یک نگاه» از مجله فرادرس را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

فرمول اندازه‌گیری بار الکتریکی: رابطه بار الکتریکی و جریان الکتریکی

یکی دیگر از انواع فرمول بار الکتریکی، بر اساس رابطه بار و جریان تعریف می‌شود. اشاره کردیم که مجموعه بارهای الکتریکی در حال حرکت در یک جهت مشخص، شدت جریان الکتریکی را می‌سازند. بر این اساس، فرمول جریان الکتریکی به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$q=‌It$$

• $$q$$: بار الکتریکی بر حسب کولن ($$C$$)
• $$I$$: جریان الکتریکی بر حسب آمپر ($$A$$)
• $$t$$: زمان بر حسب ثانیه ($$s$$)

همان‌طور که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، برای اینکه جریان داشته باشیم، صرفا حضور بارهای الکتریکی کافی نیست، بلکه لازم است بارهای الکتریکی در جهت مشخصی حرکت کنند. طبق این رابطه، یک کولن بار برابر است با باری که جریانی به اندازه یک آمپر در مدت زمان یک ثانیه منتقل می‌کند.

معمولا برای اندازه‌گیری بار موجود در رسانایی مانند یک سیم حامل جریان، از فرمول بالا استفاده می‌شود. با اینکه علامت بار الکتریکی می‌تواند مثبت یا منفی باشد، اما جهت قراردادی برای جاری شدن جریان الکتریکی همواره در جهت حرکت بارهای مثبت در نظر گرفته می‌شود. پس اگر در رابطه بالا فرمول بار الکتریکی را به‌جای $$q$$ قرار دهیم، جریان الکتریکی به شکل زیر خواهد شد:

$$I=‌\frac{q}{t}=\frac{ne}{t}$$

مشاهده می‌کنید که در فرمول بالا علامت بار پایه در نظر گرفته نشده است، چون برای جریان جهت قراردادی به شکلی که گفتیم مشخص می‌شود. شکل زیر هم نشان می‌دهد که اگر بخواهیم جهت قراردادی جریان را در یک مدار در نظر بگیریم، باید ببینیم حرکت بارهای مثبت یا پروتون‌ها در چه جهتی است. اما عموما برای تعیین جهت جریان، جهت حرکت الکترون‌ها را در نظر می‌گیریم. در این مواقع باید به خاطر داشته باشیم که جهت جریان الکترون‌ها همیشه در خلاف جهت قراردادی جریان است.

رابطه بار الکتریکی و نیروی الکتریکی (قانون کولن)

سومین فرمول بار الکتریکی، رابطه بین دو بار نقطه‌ای یا دو جسم باردار با بارهای $$q_1$$ و $$q_2$$ را با نیروی الکتریکی $$F$$ که به هم وارد می‌کنند، توصیف می‌کند. این فرمول، «قانون کولن» (Coulomb’s Law) نامیده می‌شود. گفتیم که بارهای همنام بر اثر نیروی دافعه الکتریکی که به هم وارد می‌کنند، از هم دور می‌شوند. این در حالی است که بارهای ناهمنام به علت نیروی جاذبه‌ای که به هم وارد می‌کنند، به هم نزدیک می‌شوند. پس با توجه به این توضیح، جهت نیروهای الکتریکی که اجسام یا ذرات باردار به هم وارد می‌کنند، مشخص می‌شود.

اما برای محاسبه کردن اندازه این نیرو، باید از قانون کولن استفاده کنیم. طبق قانون کولن، اندازه نیروی الکتریکی بین دو جسم باردار با حاصل‌ضرب اندازه بار آ‌ن‌ها نسبت مستقیم و با مجذور فاصله آن‌ها از هم نسبت عکس دارد. پس شکل ریاضیاتی قانون کولن به‌صورت زیر می‌شود:

$$F\propto q_1 q_2$$

$$F\propto \frac{1}{r^2}$$

برای اینکه این تناسب‌ها به تساوی تبدیل شوند، کافی است از یک عدد ثابت مناسب استفاده کنیم. طبق آزمایش‌هایی که در مورد اندازه‌گیری نیروی الکتریکی بین دو جسم باردار انجام شده است، تساوی رابطه بالا با ثابتی به شکل زیر حاصل می‌شود که آن را ثابت کولن یا $$k$$ می‌نامند و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$

که در آن $$\epsilon_0= 8.854\times10^{-12} \ \frac{C^2}{N.m^2}$$، گذردهی خلاء است. با قرار دادن مقدار عدد پی و گذردهی خلاء، ثابت کولن با عدد ثابت زیر برابر می‌شود:

$$k = 8.988\times10^{9} \ \frac{N.m^2}{C^2}$$

معمولا ثابت کولن را با تقریب به شکل $$9\times10^{9}$$ در نظر می‌گیرند. بنابراین قانون کولن برابر است با:

$$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

• $$F$$: نیروی الکتریکی بر حسب نیوتن ($$N$$)
• $$q_1$$: بار الکتریکی جسم یا ذره اول بر حسب کولن ($$C$$)
• $$q_2$$: بار الکتریکی جسم یا ذره دوم بر حسب کولن ($$C$$)
• $$r$$: فاصله بین دو جسم یا دو ذره باردار بر حسب متر ($$m$$)
• $$k$$: ثابت کولن بر حسب ($$\ \frac{N.m^2}{C^2}$$) که برابر است با مقدار ثابت $$9\times10^{9}$$

با توجه به اینکه گفتیم قانون کولن فقط اندازه نیروی الکتریکی بین دو جسم یا دو ذره باردار را تعیین می‌کند و نه جهت آن را، بنابراین شکل درست‌تر این فرمول به‌صورت زیر است که در آن برای دو بار از علامت قدر مطلق استفاده می‌شود:

$$F=k\frac{|q_1| |q_2|}{r^2}$$

مفهوم رابطه بالا این است که در محاسبات نیروی الکتریکی، کافی است که اندازه بارها را فارغ از علامت آ‌ن‌ها در نظر بگیریم. در ادامه با حل مثال بهتر متوجه این موضوع خواهید شد. با کاربرد قانون کولن می‌توانیم در مورد نحوه برهم‌کنش بارهای الکتریکی یا اجسام باردار دید بهتری به‌دست آوریم.

حل مثال از فرمول بارالکتریکی

در این بخش با بررسی روش حل سوالات مختلف، یاد می‌گیریم که چگونه از انواع فرمول بار الکتریکی در حل مسائل الکتریسیته می‌توان استفاده کرد. همچنین در انتهای این بخش، چند سوال چهار گزینه‌ای در قالب تمرین برای شما در نظر گرفته شده است که می‌توانید با پاسخ‌دهی به آن‌ها میزان یادگیری خود را بیازمایید.

در حل این مسائل نیاز دارید روش‌ حل معادله درجه دوم را بدانید. در این زمینه می‌توانید فیلم آموزشی روش های حل معادله درجه دو (رایگان) فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن در ادامه برای شما قرار داده شده است:

مثال ۱

جسمی دارای بار الکتریکی به اندازه $$- 1.92\times10^{-17} \ C$$ است. تعداد الکترون‌های اضافی این جسم چقدر است؟

پاسخ

گفتیم بار الکتریکی یک کمیت کوانتیده است و هر کدام از الکترون‌هایی که در یک جسم قرار دارند، حامل بار پایه‌ای به اندازه $$1.6\times10^{-19} \ C$$ هستند. بنابراین با تقسیم بار کل این جسم بر اندازه بار پایه می‌توانیم تعداد الکترون‌های آن را تعیین کنیم:

$$q=\pm ne$$

$$\Rightarrow n=\frac{q}{-e}$$

دقت کنید چون تعداد الکترون‌ها خواسته شده است، پس باید برای بار پایه علامت منفی را از فرمول در نظر بگیریم:

$$\Rightarrow n=\frac{- 1.92\times10^{-17} \ C}{- 1.6\times10^{-19} \ C}=120$$

مثال ۲

فرض کنید دو کره باردار رسانا داریم که روی پایه‌های نارسانا یا عایقی نصب شده‌اند. بنابراین مطمئن هستیم که بار هر کره کاملا روی آن ایزوله شده است و به زمین منتقل نمی‌شود. این دو کره کاملا هم‌اندازه و مشابه هم هستند و تنها تفاوت آن‌ها در مقدار بار روی آن‌ها است. فرض کنید در ابتدا کره $$A$$ با بار $$-5 \ nC$$ و کره $$B$$ با بار $$-3 \ nC$$ بدون هیچ تماسی در کنار هم قرار گرفته‌اند. اگر این دو کره را برای یک لحظه در تماس با هم قرار داده و مجددا از هم جدا کنیم، بار نهایی برای هر کدام از کره‌ها چقدر است؟

پاسخ

در این سوال یکی از روش‌های انتقال بار به نام تماس بیان شده است. دو کره رسانا و مشابه باردار با بار منفی داریم که برای یک لحظه در تماس با هم قرار می‌گیرند. می‌دانیم حامل‌های بار الکتریکی در یک رسانا، الکترون‌ها هستند. این الکترون‌ها که به الکترون آزاد هم معروف‌‌اند، می‌توانند در داخل ماده آزادانه حرکت کنند.

بنابراین زمانی که دو کره در تماس با هم قرار می‌گیرند، تعدادی از این الکترون‌ها از یک کره به دیگری منتقل می‌شوند. این انتقال الکترون تا آن‌جا ادامه پیدا می‌کند که بار هر دو کره کاملا با هم برابر شود. پس از جداسازی دو کره، بار هر کره باز هم به‌علت حرکت آزادنه الکترون‌ها کاملا یکنواخت روی تمام سطح آن پخش می‌شود. بنابراین برای محاسبه بار هر کره پس از تماس، باید ابتدا بار کل دو کره را پیدا کنیم:

$$q=q_A+q_B=-5 \ nC+(-3 \ nC)=-5 \ nC-3 \ nC=-8 \ nC$$

پس از تماس این بار کل بین هر دو کره به‌صورت مساوی تقسیم شده است. پس بار هر کره برابر است با:

$$q_A=q_B = \frac{q}{2} \Rightarrow q_A=q_B= \frac{-8 \ nC}{2}=-4 \ nC$$

مثال ۳

دو کره نارسانای مشابه داریم که دارای بارهای متفاوتی هستند. فرض کنید کره اول دارای بار $$- 96\times10^{-19} \ C$$ است، در حالی که دومین کره دارای تعداد $$60$$ الکترون اضافه‌تر نسبت به کره اول است. اگر این دو کره را در تماس با هم قرار داده و سپس از هم جدا کنیم، بار نهایی روی هر کدام را محاسبه کنید:

پاسخ

تفاوت این سوال با سوال قبل در این است که چون در اینجا دو کره ما عایق هستند، پس داخل آ‌ن‌ها الکترون آزادی وجود ندارد که بتواند به دیگری منتقل شود. به همین علت اگر این دو کره در تماس با هم قرار داده شوند، هیچ اتفاقی رخ نمی‌دهد و بارهای هر دو کره به شکل قبل باقی خواهند ماند. بنابراین بار نهایی برای کره یک و دو پس از تماس به شکل زیر است:

$$q_1=- 96\times10^{-19} \ C$$

در صورت سوال بار کره دوم داده نشده است که می‌توانیم با توجه به تعداد الکترون‌های اضافی آن و فرمول بار الکتریکی $$q=\pm ne$$، بار اضافی آن را محاسبه کنیم. چون $$n=60$$ است و مشخص شده که الکترون اضافی داریم، پس با در نظر گرفتن علامت منفی برای بار پایه داریم:

$$q_{2ex}=60\times - 1.6\times10^{-19} \ C=-96\times10^{-19} \ C$$

ولی توجه کنید این بار اضافه‌تر کره دوم نسبت به کره اول است. اگر بار کل کره دوم را بخواهیم باید بار کره اول را با بار اضافی بالا جمع کنیم:

$$q_{2}=-96\times10^{-19} \ C+(-96\times10^{-19} \ C)=-138\times10^{-19} \ C$$

مثال ۴

از داخل سیم رسانایی که طی مدت زمان $$20 \ s$$ به یک منبع تغذیه خارجی متصل است، حدودا $$6\times10^{46}$$ الکترون عبور می‌کند. جریان این سیم چقدر است؟

پاسخ

برای اینکه جریان را حساب کنیم، می‌توانیم فرمول $$q=‌It$$ را بکار ببریم. اما پیش از آن باید بار داخل سیم هم مشخص شود:

$$q=\pm ne$$

چون در سوال ذکر شده که ذرات حامل جریان، الکترون‌ها هستند، پس در فرمول بار الکتریکی باید علامت منفی را برای بار پایه در نظر بگیریم. مقدار بار پایه هم که مشخص است و باید آن را به خاطر داشته باشیم:

$$\Rightarrow q=6\times10^{46}\times(-1.6\times10^{-19}) =-9.6\times10^{27} \ C$$

بنابراین جریان برابر می‌شود با:

$$\Rightarrow I=‌\frac{q}{t}=\frac{9.6\times10^{27}}{20}=4.8\times10^{26} \ A$$

همان‌طور که گفتیم، جهت جریان به‌صورت قراردادی تعیین می‌شود. بنابراین در این مرحله نیازی نیست که علامت بار را در فرمول جریان قرار دهیم.

مثال ۵

دو بار نقطه‌ای هم‌اندازه اما با علامت‌های مختلف در فاصله $$12 \ cm$$ از هم قرار دارند. اگر نیروی الکتریکی که این دو به هم وارد می‌کنند $$22470 \ N$$ اندازه‌گیری شود، اندازه هر بار چقدر است؟

پاسخ

با توجه به اینکه نیرو و فاصله بین دو بار داده شده است، فرمول بار الکتریکی مناسب برای حل این مثال به شکل زیر است:

$$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

$$\Rightarrow q_1 q_2=\frac{Fr^2}{k}$$

چون اندازه دو بار با هم برابر است، پس می‌توانیم با در نظر گرفتن $$‌q_1= q_2=q$$، رابطه بالا را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\Rightarrow q^2=\frac{Fr^2}{k}$$

$$\Rightarrow q^2=\frac{22470\times(0.12)^2}{9\times10^9}=35.95\times10^{-9} \ C^2$$

دقت کنید در محاسبات خود باید فاصله را بر حسب واحد استاندارد آن یعنی متر بنویسیم. همچنین می‌توانیم ثابت کولن را به‌صورت تقریبی برابر با $$9\times10^9$$ در نظر بگیریم. برای اینکه بار تک تک بارهای نقطه‌ای پیدا شود، باید از عدد به‌دست آمده جذر بگیریم:

$$\Rightarrow q=\sqrt{35.95\times10^{-9}}=5.9\times10^{-3} \ C$$

مثال ۶

اگر بار معین $$Q$$ به دو بخش $$q$$ و $$Q - q$$ تقسیم شود و هر کدام در فاصله مشخصی از هم قرار بگیرند، مقدار $$q$$ بر حسب $$Q$$ چقدر باشد تا این دو بار بیشترین نیروی الکتروستاتیکی را به هم وارد کنند؟

پاسخ

هر زمان بحث نیروی الکتروستاتیکی و بار در کنار هم مطرح شود، باید سراغ قانون کولن برویم:

$$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

$$\Rightarrow F=k\frac{(Q-q) q}{r^2}=\frac{k}{r^2}(Qq-q^2)$$

برای پیدا کردن مقداری از $$q$$ که بیشترین نیروی $$F$$ را به ما بدهد، کافی است مشتق نیرو را نسبت به بار $$q$$ حساب کنیم:

$$\frac{dF}{dq} =0 \Rightarrow \frac{d(\frac{k}{r^2}(Qq-q^2))}{dq}=0$$

$$\Rightarrow \frac{k}{r^2}[\frac{d(Qq)}{dq}-\frac{d(q^2)}{dq}]=0$$

$$\Rightarrow Q-2q=0 \Rightarrow Q=2q \Rightarrow q=\frac{Q}{2}$$

چون مشتق‌گیری روی $$q$$ است، پس $$Q$$ ثابت در نظر گرفته می‌شود.

مثال ۷

دو کره باردار کوچک با بار مثبت روی هم باری برابر با $$5\times10^{-5} \ C$$ دارند. وقتی که این دو کره را در فاصله $$2 \ m$$ از هم قرار می‌دهیم، هر کره از دیگری با نیروی الکتریکی به اندازه $$1 \ N$$ رانده شود، بار روی هر کره را محاسبه کنید:

پاسخ

در بخش اول این سوال مجموع بار این دو کره داده شده است:

$$q_1+q_2=5\times10^{-5} \ C$$

و در بخش بعدی نیروی دافعه الکتریکی این دو کره در فاصله معینی مشخص شده است. برای این قسمت اگر از قانون کولن استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

$$\Rightarrow q_1q_2=\frac{Fr^2}{k}$$

$$\Rightarrow q_1q_2=\frac{1\times4}{9\times10^9}=4.44\times10^{-10} \ C^2$$

در نهایت دو رابطه برای بارهای دو کره داریم که باید با حل دو معادله و دو مجهول مسئله را حل کنیم. اگر رابطه اول را به شکل زیر بنویسیم:

$$q_2=5\times10^{-5} \ C-q_1$$

و آن را در نتیجه حاصل از قانون کولن قرار دهیم:

$$q_1(5\times10^{-5}-q_1)=4.44\times10^{-10}$$

به معادله درجه دو زیر می‌رسیم:

$$\Rightarrow q_1^2-(5\times10^{-5})q_1+4.44\times10^{-10}=0$$

$$\Rightarrow q_1=\begin{cases} 3.84\times10^{-5} \ C \\ \\ 1.16\times10^{-5} \ C \end{cases}$$

پس برای بار کره اول دو مقدار به‌دست آمد. با در نظر گرفتن هر کدام از این دو مقدار، بار کره دوم به شکل زیر تعیین می‌شود:

$$\Rightarrow q_2=\begin{cases} 5\times10^{-5}-3.84\times10^{-5} \\ \\ 5\times10^{-5}-1.16\times10^{-5} \end{cases}$$

$$\Rightarrow q_2=\begin{cases} 1.16\times10^{-5} \ C \\ \\ 3.84\times10^{-5} \ C \end{cases}$$

در نتیجه اگر بار کره اول $$1.16\times10^{-5} \ C$$ باشد، بار کره دوم می‌شود $$3.84\times10^{-5} \ C$$. اما اگر بار کره اول $$3.84\times10^{-5} \ C$$ باشد، بار کره دوم حتما برابر با $$1.16\times10^{-5} \ C$$ است.

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

تمرین ۴

تمرین ۵

مسیر یادگیری فیزیک الکتریسیته در دانشگاه با فرادرس

الکتریسیته یکی از مهم‌ترین مباحث مطرح شده در کتاب‌های فیزیک پایه دانشگاهی است. در ادامه چند فیلم آموزشی مرتبط با این مبحث معرفی شده است. مشاهده این دوره‌ها به شما کمک می‌کند یادگیری خود را در زمینه مباحثی مانند الکتروستاتیک یا الکتریسیته ساکن کامل کنید:

1. فیلم آموزش فیزیک الکتریسیته فرادرس
2. فیلم آموزش رایگان الکتریسیته ساکن - حل تمرین فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک ۲ دانشگاه فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک عمومی ۲ – حل مساله فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک ۲ – حل تست ارشد ۱ فرادرس
6. فیلم آموزش فیزیک ۲ – حل تست ارشد ۲ فرادرس

جمع‌بندی

در این نوشته از مجله فرادرس به بررسی فرمول بار الکتریکی پرداختیم. مهم‌ترین فرمول برای محاسبه بار الکتریکی که از خاصیت کوانتیده بودن آن ناشی می‌شود، فرمول $$q=\pm ne$$ است. طبق این فرمول، بار یک جسم همواره برابر است با مضرب صحیحی از از یک عدد ثابت به نام بار پایه. همچنین با داشتن شدت جریان الکتریکی نیز می‌توانیم بار عبوری در یک بازه زمانی مشخص از یک مقطع را با فرمول $$q=It$$ محاسبه کنیم.

قانون کولن یکی دیگر از مهم‌ترین روابطی است که رابطه بین بار دو جسم و نیروی الکتریکی که به هم وارد می‌کنند را توصیف می‌کند. طبق این فرمول، نیروی بین دو جسم باردار با حاصل‌ضرب اندازه بارها و مجذور فاصله آن‌ها از هم، به شکل $$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$ مرتبط است. در این سه فرمول، دو ثابت مهم وجود دارد که بهتر است بخاطر سپرده شوند. در جدول زیر مشخصات این دو ثابت آورده شده است: