ریاضی، علوم پایه 409 بازدید

طول و عرض مستطیل ضلع‌های تشکیل دهنده این شکل هندسی هستند. مستطیل از دو طول و دو عرض تشکیل می‌شود. طول‌های مستطیل با هم و عرض‌های مستطیل با هم برابرند. اندازه‌های طول و عرض به منظور تعیین قطر، محیط و مساحت مستطیل مورد استفاده قرار می‌گیرند. به عنوان مثال، اگر طول مستطیل را در عرض آن ضرب کنیم، مساحت مستطیل به دست می‌آید. در این آموزش، به معرفی ویژگی‌های طول و عرض مستطیل به همراه حل چندین مثال متنوع برای محاسبه قطر، محیط و مساحت این شکل هندسی می‌پردازیم.

فهرست مطالب این نوشته

مستطیل چیست و از چه اجزایی تشکیل می‌شود؟

مستطیل، یک شکل چهارضلعی است. این شکل از چهار ضلع، چهار راس، چهار زاویه داخلی راست (90 درجه) و دو قطر تشکیل می‌شود.

اجزای مستطیل

اجزای مستطیل عبارت هستند از:

  • ضلع: پاره‌خط متصل کننده دو راس مجاور
  • راس: محل برخورد ضلع‌ها
  • زاویه داخلی: زاویه هر گوشه (90 درجه)
  • قطر: پاره‌خط متصل کننده دو راس مقابل

طول و عرض مستطیل چه هستند؟

مستطیل از چهار ضلع تشکیل می‌شود. این ضلع‌ها، دو به دو با یکدیگر برابر هستند. در واقع، ضلع‌های روبه‌رویی مستطیل با هم برابرند. ضلع‌های بزرگ مستطیل با عنوان «طول» و ضلع‌های کوچک آن با عنوان «عرض» شناخته می‌شوند. اگر اندازه طول و عرض مستطیل برابر باشد، شکل خاصی به نام مربع به وجود می‌آید.

طول و عرض مستطیل

ویژگی های طول و عرض مستطیل چه هستند؟

برخی از خواص طول و عرض مستطیل (ضلع‌های مستطیل) عبارت هستند از:

  •  طول‌های مستطیل با هم و عرض‌های مستطیل با هم موازی هستند. به عبارت دیگر، ضلع‌های مقابل مستطیل، اندازه‌های برابر دارند.
  • طول‌های مستطیل با هم و عرض‌های مستطیل با هم برابرند.
  • طول و عرض مستطیل، یکدیگر را تحت زاویه 90 درجه قطع می‌کنند.

اندازه طول و عرض مستطیل چه کاربردی دارد؟

اندازه طول و عرض مستطیل در محاسبه اندازه‌های محیط و مساحت مستطیل کاربرد دارد.

عبارت جبری طول و عرض مستطیل چیست؟

عبارت جبری طول مستطیل معمولا با حرف انگلیسی «l» و عبارت جبری عرض مستطیل معمولا با حرف انگلیسی «w» نمایش داده می‌شود. این حروف، به عنوان متغیرهای طول و عرض در فرمول‌های ریاضی محیط و مساحت مورد استفاده قرار می‌گیرند.

واحد طول و عرض مستطیل چیست؟

طول و عرض مستطیل، پاره‌خط هستند. اندازه این پاره‌خط‌ها با واحدهای یک‌بعدی مانند میلی‌متر، سانتی‌متر، متر و غیره بیان می‌شود.

مثال 1: تعیین اندازه طول و عرض مستطیل

امروزه، اغلب تلفن‌های همراه به شکل مستطیل ساخته می‌شوند. با استفاده از خط‌کش، دو ضلع مجاور صفحه نمایش تلفن همراه زیر را اندازه‌گیری کردیم. اندازه یکی از ضلع‌ها برابر با 16 سانتی‌متر و اندازه ضلع دیگر برابر 7/5 سانتی متر شد. اندازه دو ضلع دیگر صفحه نمایش را به دست بیاورید. سپس، محیط صفحه نمایش را حساب کنید.

تلفن همراه مستطیلی شکل

بر اساس اندازه‌گیری‌های انجام شده، عدد بزرگ‌تر (16 سانتی‌متر)، طول صفحه نمایش و عدد کوچک‌تر (7/5 سانتی‌متر)، عرض صفحه نمایش است. به دلیل مستطیلی شکل بودن صفحه نمایش تلفن همراه، اندازه طول دیگر صفحه نمایش برابر 16 سانتی‌متر و اندازه عرض دیگر آن نیز برابر 7/5 سانتی‌متر خواهد بود. به این ترتیب، اندازه تمام ضلع‌های صفحه نمایش مشخص می‌شود.

محیط مستطیل، از جمع اندازه تمام ضلع‌های آن به دست می‌آید. در نتیجه:

عرض + طول + عرض + طول = محیط صفحه نمایش

7/5 + 16 + 7/5 + 16 = محیط صفحه نمایش

47 = محیط صفحه نمایش

محیط صفحه نمایش برابر 47 سانتی‌متر است. البته با استفاده از ویژگی‌های طول و عرض مستطیل (مانند برابر بودن اندازه ضلع‌های مقابل)، می‌توان فرمول محیط مستطیل را به شکل ساده‌تری نوشت.

فرمول محیط مستطیل با طول و عرض چیست؟

«عرض × 2 + طول × 2»، فرمول محاسبه محیط مستطیل بر حسب طول و عرض است. فرمول کلامی و عبارت جبری محیط مستطیل با طول و عرض به صورت زیر نوشته می‌شود:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط مستطیل

$$
P = 2l + 2w
$$

یا

(عرض + طول) × 2 = محیط مستطیل

$$
P = 2 \space (l \space + \space w)
$$

  • P: محیط مستطیل
  • l: طول مستطیل
  • w: عرض مستطیل

مثال 2: محاسبه طول مستطیل از روی محیط و عرض آن

محیط یک مستطیل برابر 74 متر و عرض آن برابر 17 متر است. طول مستطیل را به دست بیاورید.

به منظور محاسبه طول مستطیل، فرمول محیط را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را درون آن قرار می‌دهیم:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط مستطیل

(17 × 2) + (طول × 2) = 74

(34) + (طول × 2) = 74

34 – 74 = طول × 2

40 = طول × 2

2 ÷ 40 = طول

20 = طول

در نتیجه، طول مستطیل برابر 20 متر است.

فرمول مساحت مستطیل با طول و عرض چیست؟

مساحت مستطیل، اندازه سطح درون طول و عرض مستطیل است. این اندازه از فرمول «عرض × طول» به دست می‌آید. عبارت جبری مساحت مستطیل با طول و عرض به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = l \times w
$$

  • A: مساحت مستطیل
  • l: طول مستطیل
  • w: عرض مستطیل

مثال 3: محاسبه عرض مستطیل از روی مساحت و طول آن

عرض یک مستطیل با مساحت 63 سانتی‌متر مربع و طول 9 سانتی‌متر چقدر است؟

بر اساس فرمول مساحت مستطیل با طول و عرض داریم:

عرض × طول = مساحت مستطیل

عرض × 9 = 63

9 ÷ 63 = عرض

7 = عرض

در نتیجه، عرض مستطیل برابر 7 سانتی‌متر است.

مثال 4: محاسبه مساحت مستطیل با طول و عرض غیر هم واحد

طول مستطیلی برابر 0/7 متر و عرض آن برابر 10 سانتی‌متر است. مساحت این مستطیل را بر حسب سانتی‌متر مربع به دست بیاورید.

برای محاسبه مساحت، واحد طول و عرض مستطیل باید یکسان باشد. صورت مسئله از ما می‌خواهد تا مساحت را با واحد سانتی‌متر مربع به دست بیاوریم. از این‌رو، باید طول مستطیل را از واحد متر به واحد سانتی‌متر تغییر دهیم (تبدیل واحد). 0/7 متر برابر 70 سانتی‌متر است. اکنون می‌توانیم با استفاده از این طول، مساحت مستطیل را با واحد سانتی‌متر مربع محاسبه کنیم:

$$
A = l \times w
$$

  • A: مساحت
  • l: طول برابر 70 سانتی‌متر
  • w: عرض برابر 10 سانتی‌متر

$$
A = 70 \times 10
$$

$$
A = 700
$$

در نتیجه، مساحت مستطیل برابر 700 سانتی‌متر مربع است.

مثال 5: محاسبه طول و عرض مستطیل کسری

نسبت طول به عرض یک مستطیل برابر 7 به 5 است. اگر اندازه محیط مستطیل برابر 48 باشد، مساحت آن چقدر خواهد بود؟

حل این مثال، با استفاده از تناسب انجام می‌گیرد. به این منظور جدول زیر را تشکیل می‌دهیم.

نسبت اندازه واقعی
طول  7
عرض  5
مجموع

از بین خانه‌های جدول بالا، نسبت طول و عرض را داشتیم. دو نسبت را جمع می‌کنیم و نتیجه را در ردیف آخر قرار می‌دهیم.

نسبت اندازه واقعی
طول  7
عرض  5
مجموع 12

در میان خانه‌های باقی‌مانده، فقط امکان محاسبه مجموع طول و عرض مستقیم فراهم است. این مجموع از فرمول زیر به دست می‌آید:

(عرض + طول) × 2 = محیط مستطیل

(عرض + طول) × 2 = 48

2 ÷ 48 = عرض + طول

24 = عرض + طول

این عدد را به جدول اضافه می‌کنیم.

نسبت اندازه واقعی
طول  7
عرض  5
مجموع 12 24

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مجموع واقعی، دو برابر مجموع نسبت است. بنابراین، طول و عرض واقعی نیز دو برابر اعداد ستون نسبت خواهند بود.

نسبت اندازه واقعی
طول  7 14
عرض  5 10
مجموع 12 24

اکنون، اندازه طول و عرض مستطیل را داریم. این اعداد را در فرمول مساحت قرار می‌دهیم:

عرض × طول = مساحت مستطیل

10 × 14 = مساحت مستطیل

140 = مساحت مستطیل

در نتیجه، مساحت مستطیل برابر 140 است.

رابطه طول و عرض مستطیل با قطر چیست؟

مستطیلی به عرض a و طول b را در نظر بگیرید. یک پاره‌خط از روی یک گوشه تا گوشه مقابل آن رسم می‌کنیم. این پاره‌خط، قطر مستطیل را نمایش می‌دهد. فرض کنید اندازه قطر برابر c است.

قطر، طول و عرض مستطیل

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با رسم قطر، مستطیل به دو مثلث تبدیل می‌شود. ضلع‌های مستطیل با زاویه 90 درجه به یکدیگر برخورد می‌کنند. در نتیجه، مثلث‌های ایجاد شده از نوع قائم الزاویه هستند. طول و عرض مستطیل (a و b) به عنوان ساق‌های مثلث و قطر آن (c) به عنوان وتر مثلث در نظر گرفته می‌شود. بین وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه، رابطه فیثاغورس برقرار است:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

  • c: وتر (قطر)
  • a: ساق اول (عرض)
  • b: ساق دوم (طول)

بر اساس این رابطه، در صورت مشخص بودن اندازه قطر و یکی از ضلع‌ها، امکان تعیین اندازه ضلع دیگر فراهم می‌شود.

مثال 6: محاسبه طول مستطیل از روی قطر و عرض آن

اگر قطر یک مستطیل برابر 13 میلی‌متر و طول آن برابر 12 میلی‌متر باشد، عرض آن چقدر خواهد بود؟

در صورت مشخص بودن اندازه قطر و یکی از ضلع‌ها، اندازه ضلع بعدی مستطیل از قضیه فیثاغورس حساب می‌شود:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

  • c: قطر برابر 13 میلی‌متر
  • a: طول برابر 12 میلی‌متر
  • b: عرض

 

$$
13^2 = 12^2 + b^2
$$

$$
b^2 = 13^2 – 12^2
$$

$$
b^2 = 25
$$

$$
b = \sqrt {25}
$$

$$
b = 5
$$

در نتیجه، عرض مستطیل برابر 5 میلی‌متر است.

محیط و مساحت مستطیل با قطر و ضلع

در بخش قبلی، رابطه بین قطر و ضلع‌های مستطیل را معرفی کردیم. این رابطه، به منظور تعیین محیط و مساحت مستطیل نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. اگر اندازه قطر و یکی از ضلع‌های مستطیل را داشته باشیم، رابطه مذکور را به جای ضلع دیگر، درون فرمول محیط و مساحت مستطیل می‌گذاریم.

محیط مستطیل با قطر و طول

فرمول محیط مستطیل بر حسب قطر و طول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
P=2 l+2 \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

  • P: محیط مستطیل
  • l: طول مستطیل
  • d: قطر مستطیل

محیط مستطیل با قطر و عرض

محیط مستطیل با قطر و عرض از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
P=2 w+2 \sqrt{d^{2}-w^{2}}
$$

  • P: محیط مستطیل
  • w: عرض مستطیل
  • d: قطر مستطیل

مساحت مستطیل با قطر و طول

به منظور تعیین مساحت مستطیل با قطر و طول می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$
A=l \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

  • A: مساحت مستطیل
  • l: طول مستطیل
  • d: قطر مستطیل

مساحت مستطیل با قطر و عرض

محاسبه مساحت مستطیل با قطر و عرض توسط فرمول زیر انجام می‌گیرد:

$$
A=w \sqrt{d^{2}-w^{2}}
$$

  • A: مساحت مستطیل
  • w: عرض مستطیل
  • d: قطر مستطیل

مثال: محاسبه مساحت مستطیل از روی طول و قطر

طول  یک مستطیل برابر 15 متر و قطر آن برابر 17 متر مربع است. مساحت و عرض مستطیل را حساب کنید.

در صورت مسئله، اندازه طول و قطر مستطیل داده شده است. به این ترتیب، فرمول مساحت مستطیل با قطر و طول را می‌نویسیم:

$$
A=l \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

  • A: مساحت مستطیل
  • l: طول مستطیل برابر 15 متر
  • d: قطر مستطیل برابر 17 متر

$$
A = 15 \times \sqrt{17^{2}-15^{2}}
$$

$$
A = 15 \times \sqrt{289-225}
$$

$$
A = 15 \times \sqrt{64}
$$

$$
A = 15 \times 8
$$

$$
A = 120
$$

مساحت مستطیل برابر 120 متر مربع است. به منظور تعیین عرض مستطیل، از فرمول مساحت مستطیل با طول و عرض استفاده می‌کنیم:

$$
A = l \times w
$$

  • A: مساحت مستطیل برابر 120 متر مربع
  • l: طول مستطیل برابر 15 متر
  • w: عرض مستطیل

$$
120 = 15 \times w
$$

$$
w = \frac {120} {15}
$$

$$
w = 8
$$

در نتیجه، عرض مستطیل برابر 8 متر است. اگر به محاسبات مرحله قبل (محاسبه مساحت) دقت کنید، متوجه خواهید شد که اندازه عرض با عدد به دست آمده از عبارت رادیکالی فرمول برابر است.

سوالات متداول طول و عرض مستطیل

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با طول و عرض مستطیل به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

طول و عرض مستطیل کجاست؟

طول و عرض مستطیل، همان ضلع‌های مستطیل هستند که گوشه‌های مجاور را به هم وصل می‌کنند.

تعریف طول مستطیل چیست؟

به ضلع‌های بزرگ مستطیل، طول می‌گویند.

تعریف عرض مستطیل چیست؟

ضلع‌های کوچک مستطیل با عنوان عرض شناخته می‌شوند.

فرمول محیط مستطیل با طول و عرض چیست؟

(عرض×2)+(طول×2)، فرمول محیط مستطیل بر حسب طول و عرض است.

فرمول مساحت مستطیل با طول و عرض چیست؟

عرض × طول، فرمول مساحت مستطیل بر حسب طول و عرض است.

مجموع طول و عرض مستطیل چیست؟

مجموع طول و عرض مستطیل، همان محیط مستطیل است.

نام دیگر طول و عرض مستطیل چیست؟

طول مستطیل، با نام «درازا» و عرض مستطیل با عنوان «پهنا» نیز شناخته می‌شود.

نسبت طلایی طول و عرض مستطیل چیست؟

اگر نسبت جمع طول و عرض مستطیل به اندازه طول برابر با 1/618 باشد، اصطلاحا مستطیل دارای نسبت طلایی است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 9 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *