رابطه محیط و مساحت مستطیل — معرفی فرمول ها + حل تمرین و مثال

رابطه محیط و مساحت مستطیل با استفاده از اندازه‌های طول و عرض نوشته می‌شود. رابطه محیط مستطیل برابر «حاصل جمع دو برابر طول با دو برابر عرض» مستطیل است. مساحت مستطیل نیز از رابطه «طول ضربدر عرض» به دست می‌آید. البته محیط و مساحت مستطیل با استفاده از اندازه قطر نیز قابل محاسبه هستند. در این آموزش، انواع رابطه محیط و مساحت مستطیل را به همراه حل چند مثال متنوع معرفی می‌کنیم.

محیط مستطیل چیست؟

تصویر متحرک زیر را در نظر بگیرید. این تصویر، یک مستطیل با ضلع‌های سفید رنگ را نمایش می‌دهد.

با گذشت زمان، یک خط سیاه رنگ بر روی ضلع‌های مستطیل به حرکت درمی‌آید تا تمام ضلع‌ها سیاه شوند. به مسیر طی شده این خط بر روی تمام ضلع‌ها، محیط مستطیل می‌گویند.

محیط مستطیل چگونه بدست می‌آید؟

محیط مستطیل از جمع اندازه تمام ضلع‌های آن به دست می‌آید. ضلع‌های روبه‌رویی مستطیل با هم برابر هستند.

رابطه محیط مستطیل

به ضلع‌های بزرگ مستطیل، طول می‌گویند. ضلع‌های کوچک مستطیل نیز با عنوان عرض شناخته می‌شوند. رابطه محیط مستطیل عبارت است از:

عرض + طول + عرض + طول = محیط مستطیل

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط مستطیل

(عرض + طول) × 2 = محیط مستطیل

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، رابطه محیط مستطیل به شکل‌های مختلفی نوشته می‌شود.

مثال 1: محاسبه محیط مستطیل

یک زمین کشاورزی مستطیلی شکل به طول 150 متر و عرض 80 متر را در نظر بگیرید. اندازه دور زمین را حساب کنید.

بر اساس رابطه محیط مستطیل، اندازه دور زمین کشاورزی برابر است با:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط مستطیل

(80 × 2) + (150 × 2) = محیط مستطیل

(160) + (300) = محیط مستطیل

460 = محیط مستطیل

در نتیجه اندازه دور زمین یا همان محیط آن برابر 460 متر است.

محیط مستطیل به صورت جبری

محیط مستطیل، از فرمول ریاضی یا عبارت جبری زیر به دست می‌آید:

$$
P = 2l + 2w
$$

یا

$$
P = 2 \space (l \space + \space w)
$$

• P: محیط مستطیل
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل

مثال 2: محاسبه طول مستطیل از روی محیط

طول مستطیلی به محیط 52 سانتی‌متر و عرض 7 سانتی‌متر را حساب کنید.

بر اساس فرمول محیط مستطیل به صورت جبری، داریم:

$$
P = 2l + 2w
$$

• P: محیط مستطیل برابر 52 سانتی‌متر
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل برابر 7 سانتی‌متر

$$
52 = (2 \times l) + (2 \times 7)
$$

$$
52 = (2 \times l) + (14)
$$

$$
2 \times l = 52 - 14
$$

$$
2 \times l = 38
$$

$$
l = \frac {38} {2}
$$

$$
l = 19
$$

در نتیجه، طول مستطیل برابر 19 سانتی‌متر است.

مساحت مستطیل چیست؟

به اندازه سطح درون ضلع‌های مستطیل، مساحت مستطیل می‌گویند.

در مستطیل زیر، ناحیه خاکستری، مساحت مستطیل را نمایش می‌دهد.

مساحت مستطیل چگونه به دست می‌آید؟

مساحت مستطیل، از ضرب طول در عرض آن به دست می‌آید.

رابطه مساحت مستطیل

رابطه مساحت مستطیل با طول و عرض به صورت زیر نوشته می‌شود:

عرض × طول = مساحت مستطیل

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، رابطه محیط و مساحت مستطیل به طول و عرض آن بستگی دارد. البته در صورت مشخص بودن قطر و یکی از اندازه‌های طول یا عرض نیز می‌توان محیط و مساحت مستطیل را محاسبه کرد.

مثال 3: محاسبه مساحت مستطیل

اندازه سطح روی میز مستطیلی شکل نمایش داده شده در تصویر زیر را به دست بیاورید. طول سطح این میز برابر 1/5 متر و عرض آن برابر 0/5 متر است.

به منظور محاسبه اندازه سطح میز، رابطه مساحت مستطیل را برای آن می‌نویسیم:

عرض × طول = مساحت مستطیل

0/5 × 1/5 = مساحت مستطیل

0/75 = مساحت مستطیل

در نتیجه، اندازه سطح میز یا مساحت آن برابر 0/75 متر مربع است.

مساحت مستطیل به صورت جبری

فرمول ریاضی یا عبارت جبری مساحت مستطیل به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = l \times w
$$

• A: مساحت مستطیل
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل

مثال 4: محاسبه مساحت مستطیل با محیط

محیط یک مستطیل برابر 42 میلی‌متر است. اگر اندازه طول آن برابر 13 میلی‌متر باشد، مساحت آن چند خواهد بود؟

برای محاسبه مساحت مستطیل، به اندازه طول و عرض نیاز داریم. عرض مستطیل، با استفاده از اندازه محیط و طول، قابل محاسبه است:

$$
P = 2l + 2w
$$

• P: محیط مستطیل برابر 42 میلی‌متر
• l: طول مستطیل 13 میلی‌متر
• w: عرض مستطیل

$$
42 = (2 × 13) + 2w
$$

$$
42 = 26 + 2w
$$

$$
2w = 42 - 26
$$

$$
2w = 16
$$

$$
w = \frac {16}{2}
$$

$$
w = 8
$$

عرض مستطیل برابر 8 میلی‌متر است. اکنون که هر دو اندازه طول و عرض را داریم، می‌توانیم مساحت مستطیل را به کمک فرمول زیر حساب کنیم:

$$
A = l \times w
$$

• A: مساحت مستطیل
• l: طول مستطیل برابر 13 میلی‌متر
• w: عرض مستطیل برابر 8 میلی‌متر

$$
A = 13 \times 8
$$

$$
A = 104
$$

در نتیجه، مساحت مستطیل برابر 104 میلی‌متر مربع است. در این مثال مشاهده کردیم که با دانستن اندازه محیط و یکی از ضلع‌های مستطیل می‌توانیم مساحت را به دست بیاوریم. البته این معنای متناسب بودن محیط و مساحت مستطیل نیست.

رابطه محیط و مساحت مستطیل چگونه بدست می آید؟

رابطه محیط و مساحت مستطیل با استفاده از اندازه‌های طول و عرض به دست می‌آید. در بخش‌های قبلی مشاهده کردید که محیط و مساحت مستطیل به طول و عرض آن بستگی دارند.

مشترک بودن اندازه‌های مورد استفاده برای محاسبه محیط و مساحت، به معنای متناسب بودن و وجود یک رابطه اختصاصی بین آن‌ها نیست. این مسئله را با یک مثال توضیح می‌دهیم.

مثال 5: مقایسه نسبت محیط به مساحت مستطیل

جدول زیر، اندازه‌های طول و عرض پنج مستطیل را نمایش می‌دهد. محیط، مساحت و نسبت محیط به مساحت برای هر یک از مستطیل‌ها را حساب کنید. آیا محیط مستطیل با مساحت آن تناسب دارد؟

محاسبات مربوط به محیط و مساحت مستطیل را در جدول زیر انجام می‌دهیم.

بر اساس نتایج به دست آمده، نسبت محیط به مساحت مستطیل‌های مختلف با یکدیگر تفاوت دارند. از این‌رو، محیط و مساحت مستطیل با یکدیگر متناسب نیستند.

رابطه محیط و مساحت مستطیل با قطر

قطر مستطیل، فاصله بین دو گوشه مقابل آن است. رابطه محیط و مساحت مستطیل با قطر نیز نوشته می‌شود.

البته در این رابطه، باید یکی از اندازه‌های طول یا عرض مستطیل مشخص باشد.

رابطه محیط مستطیل با قطر

فرمول محیط مستطیل با قطر برابر است با:

$$
P=2 l+2 \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

یا

$$
P=2 w+2 \sqrt{d^{2}-w^{2}}
$$

• P: محیط مستطیل
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل
• d: قطر مستطیل

رابطه مساحت مستطیل با قطر

فرمول مساحت مستطیل با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=l \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

یا

$$
A=w \sqrt{d^{2}-w^{2}}
$$

• A: مساحت مستطیل
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل
• d: قطر مستطیل

رابطه محیط و مساحت مستطیل با قطر، از قضیه فیثاغورس در مثلث‌های قائم الزاویه به دست می‌آید.

مثال 6: محاسبه محیط و مساحت مستطیل با قطر

قطر یک مستطیل برابر 13 و طول آن برابر 12 است. محیط، مساحت و اندازه ضلع مستطیل را حساب کنید.

به دلیل مشخص بودن اندازه قطر و یکی از ضلع‌های مستطیل، از رابطه زیر برای محاسبه محیط استفاده می‌کنیم:

$$
P=2 l+2 \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

• P: محیط
• l: طول برابر 12
• d: قطر برابر 13

$$
P=(2 \times 12) + (2 \sqrt{13^{2}-12^{2}})
$$

$$
P=(24) + (2 \sqrt{169-144})
$$

$$
P=(24) + (2 \sqrt{25})
$$

$$
P=(24) + (2 \times 5)
$$

$$
P=(24) + (10)
$$

$$
P=34
$$

محیط مستطیل برابر 34 است.برای محاسبه مساحت، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$
A=l \sqrt{d^{2}-l^{2}}
$$

• A: مساحت
• l: طول برابر 12
• d: قطر برابر 13

$$
A=12 \times \sqrt{13^{2}-12^{2}}
$$

$$
A=12 \times \sqrt{169-144}
$$

$$
A=12 \times \sqrt{25}
$$

$$
A=12 \times 5
$$

$$
A=60
$$

مساحت مستطیل برابر 60 است. برای محاسبه عرض مستطیل، دو گزینه پیش رو داریم. اکنون که محیط و مساحت مستطیل را داریم، می‌توانیم از فرمول محیط بر حسب طول و عرض یا فرمول مساحت بر حسب طول و عرض استفاده کنیم. در اینجا، فرمول مساحت را می‌نویسیم:

$$
A = l \times w
$$

• A: مساحت برابر 60
• l: طول مستطیل برابر 12
• w: عرض

$$
60 = 12 \times w
$$

$$
w = \frac {60}{12}
$$

$$
w = 5
$$

در نتیجه، عرض مستطیل برابر 5 است.

سوالات متداول رابطه محیط و مساحت مستطیل

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در مورد رابطه محیط و مساحت مستطیل به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

محیط و مساحت مستطیل چگونه بدست می‌آیند؟

محیط و مساحت مستطیل، معمولا با استفاده از اندازه طول و عرض به دست می‌آیند.

رابطه محیط مستطیل چیست؟

رابطه محیط مستطیل به صورت (عرض×2)+(طول×2) نوشته می‌شود.

رابطه مساحت مستطیل چیست؟

رابطه مساحت مستطیل برابر عرض×طول است.