ریاضی، علوم پایه ۱۷۰۳ بازدید

زاویه باز یا منفرجه به زاویه‌ای می‌گویند که اندازه آن بزرگ‌تر از ۹۰ درجه و کوچکتر از ۱۸۰ درجه باشد. در این مقاله، به ارائه تعاریف، روش‌های اندازه‌گیری و روش‌های ترسیم زاویه منفرجه به همراه حل چند مثال تصویری می‌پردازیم.

فهرست مطالب این نوشته

زاویه چیست و چه انواعی دارد؟

به شکل ساخته شده از دو ضلع و یک راس، زاویه می‌گویند. زاویه صفر، تند، راست، باز، نیم‌صفحه، کاو و تمام‌صفحه، هفت نوع اصلی زاویه‌ها هستند. تصویر زیر برخی از انواع زاویه‌ها را نمایش می‌دهد. علاوه بر این زاویه‌ها، تقسیم‌بندی‌های دیگری نیز زاویه مثبت، منفی، مکمل، متمم و غیره نیز وجود دارد که در یک مطلب جداگانه به آن‌ها پرداخته‌ایم.

انواع زاویه ها
اگر دو خط بر روی هم قرار گیرند، زاویه بین آن‌ها، زاویه صفر خواهد بود.

زاویه منفرجه چیست ؟

زاویه منفرجه یا «زاویه باز» (Obscure Angle)، زاویه‌ای با اندازه بزرگتر از ۹۰ درجه و کوچکتر از ۱۸۰ درجه است. تصویر زیر، چندین زاویه منفرجه را نمایش می‌دهد. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، اندازه تمام این زاویه‌ها، بین ۹۰ تا ۱۸۰ درجه قرار دارد. به این زاویه‌ها با دقت نگاه کنید. در دنیای واقعی، زاویه‌های زیادی به این زاویه‌ها شباهت دارند. به عنوان مثال، زاویه ۹۴ درجه، می‌تواند زاویه بین نشیمن‌گاه و تکیه‌گاه یک صندلی باشد.

چند نمونه از وسایلی که زاویه باز دارند

اجسام، وسایل و شکل‌های اطراف ما، اغلب به صورت چندضلعی هستند. زاویه آویز لباس، کنار مبل، زیر راه‌پله، عقربه‌های ساعت، بادبزن و پره‌های آسیاب، تنها چند مثال از زاویه‌های منفرجه در دنیای واقعی هستند.

مثال های واقعی زاویه باز

علامت زاویه باز چیست ؟

زاویه‌های باز، معمولا با علامت «⦦» در کنار عنوان‌شان نمایش داده می‌شوند. به عنوان مثال، اگر اندازه زاویه ABC، بیشتر از ۹۰ درجه باشد، نمایش ریاضی و هندسی آن به صورت زیر خواهد بود:

ABC⦦

در این زاویه، حرف وسط (B)، عنوان راس زاویه را نمایش می‌دهد. بر این اساس، ضلع‌های زاویه، AB و BC هستند.

مثال ۱: تشخیص زاویه منفرجه

تعداد زاویه‌های باز در شکل زیر را به دست بیاورید.

شش زاویه مختلف

به منظور تشخیص باز بودن یا نبودن زاویه‌ها، اندازه آن‌ها را با زاویه ۹۰ درجه مقایسه می‌کنیم. هر زاویه‌ای که بزرگ‌تر از ۹۰ درجه و کوچکتر از ۱۸۰ درجه باشد، به عنوان زاویه منفرجه یا باز در نظر گرفته می‌شود. بنابراین، برای زاویه‌های بالا داریم:

۹۰° < ۱۲۰° = باز است

۹۰° > ۴۵° = باز نیست

۹۰° = ۹۰° = باز نیست

۹۰° > ۲۰° = باز نیست

۹۰° < ۹۵° = باز است

۹۰° < ۱۰۵° = باز است

در نتیجه، در این مثال، سه زاویه منفرجه وجود دارد.

زاویه باز چگونه اندازه گیری می‌شود؟

مانند بسیاری از انواع زاویه‌ها، زاویه منفرجه نیز توسط نقاله اندازه‌گیری می‌شود. البته اگر قصد شما از اندازه‌گیری یک زاویه، تعیین نوع (باز یا تند بودن) آن است، گونیا می‌تواند ابزار ساده‌تر و سریع‌تری نسبت به نقاله باشد. در ادامه، روش‌های اندازه‌گیری و تشخیص زاویه‌های باز را به کمک گونیا و نقاله آموزش می‌دهیم.

تشخیص زاویه منفرجه با گونیا

تصویر زیر، دو گونیا با ابعاد مختلف را نمایش می‌دهد. در تمام گونیاها، یک گوشه با زاویه ۹۰ درجه وجود دارد. این گوشه به ما کمک می‌کند تا اندازه زاویه‌های دیگر را نسبت به زاویه ۹۰ درجه بسنجیم.

دو گونیا

به ضلع‌های مجاور گوشه ۹۰ درجه گونیا، ساق می‌گویند. اگر یکی از ساق‌های گونیا را بر روی یکی از ضلع‌های زاویه مورد نظر تنظیم کنیم و گوشه ۹۰ درجه آن را دقیقا بر روی راس زاویه قرار دهیم، امکان تشخیص باز بودن زاویه فراهم می‌شود.

تنظیم گونیا برای تشخیص زاویه باز

در تصویر بالا، فقط شکل شماره ۳، یک زاویه باز را نمایش می‌دهد. در شکل ۱، ضلع زاویه، ساق گونیا را قطع می‌کند (زاویه تند). در شکل ۲، هر دو ضلع زاویه بر روی ساق‌های گونیا منطبق می‌شوند (زاویه قائمه). زاویه نمایش داده شده در شکل ۳، فقط یک ضلع دارد (زاویه نیم‌صفحه). بنابراین، سه زاویه دیگر، نمی‌توانند منفرجه باشند.

مثال ۲: تعیین تعداد زاویه های باز لوزی

لوزی، یک چهارضلعی است که دو زاویه حاده و دو زاویه منفرجه دارد. شکل زیر، یک لوزی را نمایش می‌دهد. با استفاده از گونیا، ثابت کنید که تعداد زاویه‌های باز این شکل، برابر با دو است.

تشخیص زاویه باز لوزی

هر یک از راس‌های لوزی، از دو ضلع تشکیل می‌شوند. گونیا را به ترتیب و مشابه روش توضیح داده شده در بخش قبلی، بر روی این راس‌ها تنظیم می‌کنیم.

تنظیم گونیا برای تشخیص زاویه باز لوزی

بر اساس تصویر بالا، دو مورد از راس‌های لوزی، با معیارهای زاویه منفرجه همخوانی دارند (بزرگتر از ۹۰ درجه هستند). دو راس دیگر، ساق گونیا را قطع می‌کنند. بنابراین، نمی‌توان آن‌ها را به عنوان زاویه باز در نظر گرفت.

زاویه باز لوزی

تعیین اندازه زاویه منفرجه با نقاله

گاهی اوقات، ضلع‌های زاویه به گونه‌ای هستند که نمی‌توان باز بودن یا نبودن زاویه را توسط گونیا تشخیص داد. وجود خطای یک درجه‌ای نیز باعث تشخیص غلط نوع زاویه می‌شود. نقاله، وسیله‌ای است که امکان اندازه‌گیری زاویه و تعیین باز بودن آن را فراهم می‌کند.

اجزای نقاله

نحوه کار با نقاله، پیچیدگی خاصی ندارد. مرکز نقاله را بر روی راس زاویه و خط مبنای آن را بر روی یک ضلع قرار می‌دهیم. عدد برخورد ضلع دیگر با کمان مدرج، اندازه زاویه است. به عنوان مثال، زاویه‌های نمایش داده شده در تصویر زیر را در نظر بگیرید. بر اساس عدد روی نقاله، فقط زاویه شماره ۲، یک زاویه منفرجه است.

تشخیص زاویه باز با نقاله
به ترتیب از ۱ تا ۴: زاویه ۸۹، ۱۳۰، ۹۰ و ۱۸۰ درجه

مثال ۳: تعیین اندازه و نوع زاویه های باز مثلث

با استفاده از نقاله، اندازه زاویه‌های مثلث «م ه ر» را تعیین کنید. سپس به سوالات زیر پاسخ دهید:

  • این مثلث، چند زاویه باز دارد؟
  • مجموع زوایای داخلی این مثلث چقدر است؟
  • آیا یک مثلث می‌تواند دو زاویه باز داشته باشد؟
مثلث منفرجه

نقاله را بر روی راس‌ها و ضلع‌های مثلث تنظیم می‌کنیم. سپس اندازه زاویه هر راس را می‌خوانیم. فرآیند اندازه‌گیری را با یکی از راس‌ها، مانند راس «ر» شروع می‌کنیم.

اندازه گیری زاویه راس «ر»
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگ، + اینجا کلیک کنید.

بر اساس تصویر بالا، اندازه راس «ر» برابر با ۱۲۹ درجه است. اکنون به سراغ اندازه گیری راس بعدی، مانند راس «م» می‌رویم.

اندازه گیری راس «م»
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگ، + اینجا کلیک کنید.

اندازه راس «م» برابر با ۲۰ درجه است. در نهایت، راس سوم، یعنی راس «ه» را اندازه می‌گیریم. بر اساس تصویر زیر، اندازه این راس برابر با ۳۲ درجه است.

اندازه گیری راس «ه»
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگ، + اینجا کلیک کنید.

در نتیجه، مثلث «م ه ر» ، از سه راس با زاویه‌های ۱۲۹، ۲۰ و ۳۲ درجه تشکیل می‌شود که در آن، زاویه راس «ر» با اندازه ۱۲۹ درجه، منفرجه است. برای پاسخگویی به بخش دوم مسئله، هر زاویه را با هم جمع می‌کنیم:

۱۸۰° = ۳۲° + ۲۰° + ۱۲۹°

مجموع زوایای داخلی مثلث «م ه ر» برابر با ۱۸۰ درجه است. توجه داشته باشید که جمع زوایای داخلی تمام مثلث‌ها، ۱۸۰ درجه می‌شود. این نکته ما را در پاسخ به بخش سوم مسئله کمک می‌کند. فرض کنید یک مثلث، دو زاویه منفرجه با اندازه‌های ۹۱ درجه دارد. در این‌صورت، مجموع زوایای داخلی آن، بدون در نظر گرفتن زاویه سوم، برابر خواهد بود با:

۱۸۲° = ۹۱° + ۹۱°

عدد بالا بزرگ‌تر از ۱۸۰ درجه (مجموع زوایای داخلی هر مثلث) است. بنابراین، یک مثلث، نمی‌تواند دو زاویه منفرجه داشته باشد. به عبارت دیگر، حداکثر تعداد زاویه‌های باز یک مثلث برابر با ۱ است.

رسم زاویه باز چگونه انجام می‌گیرد؟

در بخش قبلی، نحوه تشخیص و اندازه‌گیری زاویه‌های منفرجه را آموزش دادیم. در این بخش، به توضیح مراحل رسم یک زاویه باز توسط نقاله می‌پردازیم. این مراحل عبارت هستند از:

  1. تعیین موقعیت راس زاویه توسط یک نقطه
  2. تنظیم مرکز نقاله بر روی نقطه
  3. رسم یکی از ضلع‌‌های زاویه (خط گذرنده از نقطه و هم‌راستا با خط مبنای نقاله)
  4. تنظیم خط مبنای نقاله بر روی ضلع زاویه
  5. علامتگذاری زاویه مورد نظر در کنار نوار مدرج
  6. رسم ضلع دوم زاویه با ترسیم خط گذرنده از راس زاویه و نقطه تعیین شده در مرحله قبل

با توجه به مراحل بالا، یک نقطه دلخواه بر روی صفحه ایجاد می‌کنیم.

پس از تنظیم مرکز نقاله با نقطه، یکی از ضلع‌های زاویه را مطابق با تصویر زیر می‌کشیم.

بدون تغییر محل قرارگیری نقاله، عدد یک زاویه منفرجه بر روی کمان مدرج را پیدا می‌کنیم. به عنوان مثال، زاویه ۱۳۰ را در نظر بگیرید. مطابق تصویر زیر، در کنار این زاویه، یک نقطه می‌گذاریم.

تعیین زاویه مورد نظر

سپس با تنظیم لبه مستقیم نقاله بر روی نقطه بالا و راس زاویه، یک خط رسم می‌کنیم.

رسم ضلع دوم زاویه

نقاله را بر می‌داریم. اکنون یک زاویه باز با اندازه ۱۳۰ درجه داریم.

زاویه 130 درجه رسم شده با نقاله

زاویه باز در مثلث ها

اندازه زاویه‌ها، یکی از معیارهای تقسیم‌بندی انواع مثلث‌ها است. به مثلثی که دارای یک زاویه بزرگتر از ۹۰ درجه باشد، مثلث منفرجه یا مثلث باز می‌گویند. در مثال ۳، نمونه‌ای از یک مثلث منفرجه را نمایش دادیم. در تصویر زیر نیز می‌توانید مقایسه بین شکل یک مثلث منفرجه و یک مثلث حاده را ببینید.

مقایسه مثلث حاده و منفرجه
مقایسه مثلث تند یا حاده (شکل سمت راست) و مثلث باز یا منفرجه (شکل سمت چپ)

ارتفاع و مساحت مثلث با زاویه باز یا منفرجه

وجود زاویه باز در یک مثلث، بر روی محل قرارگیری ارتفاع‌های آن تاثیر می‌‌گذارد. هر سه ارتفاع مثلث حاده، درون محیط آن قرار می‌گیرد. در صورتی که دو ارتفاع مثلث باز، بیرون از آن رسم می‌شود. در این شرایط، به فاصله عمودی راس‌های مجاور راس منفرجه با امتداد ضلع‌های تشکیل دهنده آن (قاعده‌ها)، ارتفاع می‌گویند.

ارتفاع‌های داخلی و خارجی در مثلث منفرجه
ارتفاع‌های داخلی و خارجی در مثلث منفرجه

ارتفاع، به منظور محاسبه مساحت مثلث مورد استفاده قرار می‌گیرد. فرمول مساحت تمام مثلث‌ها برابر است با:

۲ ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلث

بنابراین، وجود زاویه منفرجه، تاثیری بر روی نحوه محاسبه مساحت مثلث ندارد. تنها نکته در اینجا، توجه به نحوه اندازه‌گیری درست ارتفاع‌های خارجی است.

سوالات متداول در رابطه با زاویه باز

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با زاویه‌های باز و شکل‌های هندسی دارای این زاویه به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

تعریف زاویه منفرجه چیست ؟

به زاویه‌هایی که از زاویه راست بزرگ‌تر باشند، زاویه منفرجه می‌گویند.

نام دیگر زاویه باز چیست ؟

نام دیگر زاویه باز، زاویه منفرجه است.

زاویه منفرجه یا باز چند درجه است ؟

هر زاویه باز یا منفرجه، بزرگتر از ۹۰ درجه (بین ۹۰ تا ۱۸۰ درجه) است.

اندازه ی هر زاویه باز از چند درجه بیشتر است ؟

۹۰ درجه.

تفاوت زاویه باز با زاویه تند در چیست؟

اندازه زاویه تند یا حاده، کوچک‌تر از ۹۰ درجه است؛ در صورتی که زاویه منفرجه، اندازه‌ای بزرگتر از ۹۰ درجه دارد.

بین زاویه حاده و زاویه منفرجه کدام بزرگتر است؟

اندازه زاویه منفرجه از زاویه حاده بزرگتر است.

یک مثلث چند زاویه باز دارد ؟

یک مثلث، می‌تواند فقط یک زاویه باز داشته باشد.

به مثلثی که زاویه باز دارد چه می گویند ؟

به مثلثی که زاویه باز دارد، مثلث منفرجه یا مثلث باز می‌گویند.

آیا مربع زاویه باز دارد ؟

خیر. تمام زاویه‌های مربع برابر با ۹۰ درجه بوده و بزرگ‌تر از ۹۰ درجه نیستند.

مستطیل چند زاویه باز دارد ؟

مستطیل، هیچ زاویه باز یا منفرجه‌ای ندارد.

آیا لوزی زاویه باز دارد ؟

بله. لوزی دو زاویه بزرگتر از ۹۰ درجه دارد.

آیا ذوزنقه زاویه باز دارد ؟

بله. ذوزنقه، دو زاویه بزرگ‌تر از ۹۰ درجه دارد. البته ذوزنقه قائم الزاویه، فقط از یک زاویه بزرگ‌تر از ۹۰ درجه تشکیل می‌شود.

کدام چهار ضلعی فقط یک زاویه باز دارد ؟

ذوزنقه قائم الزاویه، فقط یک زاویه باز دارد.

زاویه باز با چه وسیله ای تشخیص داده می‌شود؟

گونیا یا نقاله.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.