دبی چیست؟ – به زبان ساده + نحوه محاسبه

سیالات (شاره‌ها) یا ساکن هستند یا حرکت می‌کنند. بررسی رفتار سیالات در هر دو حالت، به خصوص به هنگام حرکت آن‌ها در لوله، بسیار مهم است. دبی یکی از مفاهیمی است که به هنگام حرکت سیال به آن توجه می‌شود. به مقدار حجم آب یا هر مایعِ دلخواهی که از مقطعی مشخص در لوله در مدت زمان t جابجا می‌شود، دبی می‌گوییم. به هنگام بررسی دبی جریان، ویسکوزیته یا گرانروی آب را برابر صفر در نظر می‌گیریم. در این مطلب از مجله فرادرس، ابتدا به پرسش دبی چیست به زبان ساده پاسخ می‌دهیم. سپس دبی جرمی و معادله پیوستگی جریان را به‌دست می‌آوریم و در انتها، تعدادی مثال با یکدیگر حل می‌کنیم.

دبی چیست ؟

سیالات یا ساکن هستند یا حرکت می‌کنند. دبی در سیالات متحرک نقش مهمی را ایفا می‌کند. به مقدار حجم آب یا مایع جابجا شده از مقطعی مشخص در مدت زمان t، دبی گفته می‌شود. لوله‌ای فرضی را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر در نظر بگیرید.

فیلم آموزش فیزیک پایه 3 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

سطح مقطع این لوله با حرکت به سمت راست افزایش می‌یابد. این لوله با مایعی دلخواه، مانند آب، پر شده است. آب از سطح مقطع کوچک‌تر ($$A_ { in }$$) وارد و از سطح مقطع بزرگ‌تر ($$A _ { out }$$) خارج می‌شود. همان‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌کنید $$A _ { out }$$ از $$A_ { in }$$ بزرگ‌تر است. اگر مایعِ داخل لوله حرکت کند، چه اتفاقی رخ می‌دهد؟

فرض کنید مایع با سرعت $$v _ { in }$$ به لوله وارد می‌شود. چه مقدار حجم پس از t ثانیه وارد لوله می‌شود؟ آب از سطح مقطع $$A_ { in }$$ وارد لوله می‌شود. در مدت زمان t چه مسافتی را طی می‌کند؟ اگر جسمی با سرعت $$v$$ حرکت کند، مسافت طی شده توسط آن در مدت زمان t با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$d = vt$$

آب با سرعت $$v _ { in }$$ وارد لوله می‌شود و پس از مدت زمان t مسافتی برابر $$v _ { in } \times t$$ را طی می‌کند. فرض کنید قطر لوله در این مسافت مقدار زیادی تغییر نمی‌کند. همان‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌کنید حجم سبزرنگ از آب در مدت زمان t وارد لوله شده است.  حجم استوانه سبزرنگ حاوی آب چه مقدار است؟ حجم استوانه برابر حاصل‌ضرب سطح مقطع در طول آن است. در این مثال، سطح مقطع استوانه برابر $$A _ { in }$$ و طول آن برابر $$v _ { in } \times t$$ است:

$$V_ { in } = A_ { in } \times ( v _ { in } . t )$$

توجه به این نکته مهم است که شاره‌ها، گاز یا مایع، تراکم‌ناپذیر هستند. به همین دلیل، حجم مایع وارد شده به لوله باید با حجم مایع خارج شده از لوله برابر باشد. در نتیجه، حجم مایع ورودی به لوله، $$V _ { in }$$، با حجم مایع خروجی از لوله، $$V _ { out }$$، برابر خواهد بود.. همچنین، فرض می‌کنیم که جریان آب داخل لوله کاملا روان و گرانروی و اصطکاک برابر صفر است.

در ابتدای این بخش فهمیدیم دبی چیست. در ادامه، معادله مهمی به نام معادله پیوستگی را به‌دست می‌آوریم. سوال مهمی که ممکن است مطرح شود آن است که حجم آب خروجی از لوله چه مقدار است. حجم آب خروجی از لوله به شکل استوانه‌ای قرمزرنگ نشان داده شده است. سطح مقطع استوانه را برابر $$A_ { out }$$ در نظر گرفتیم. با توجه به آن‌که سرعت خروج آب از لوله برابر $$v_ { out}$$ است، مسافت طی شده توسط آب خروجی از لوله در مدت زمان t برابر $$v_ { out } \times t$$ خواهد بود. حجم آبِ ورودی به لوله برابر حجم آبِ خروجی از لوله است:

$$V _ { in} = V_ { out} \\ A_ { in } \times ( v_ { in } t ) = A_ { out} \times ( v_ { out } t )$$

با حذف زمان از طرفین رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم:

$$V _ { in} = V_ { out} \\ A_ { in } \times ( v_ { in } ) = A_ { out} \times ( v_ { out } )$$

به معادله فوق در سیالات، معادله پیوستگی گفته می‌شود. سوال مهمی که در ادامه می‌خواهیم به آن پاسخ دهیم آن است که مقدار حجم بر ثانیه چیست. مقدار حجم جابجا شده بر ثانیه بسیار آشنا به نظر می‌رسد. به تعریف دبی در ابتدای این بخش مراجعه کنید. به مقدار حجم آب یا مایع جابجا شده از مقطعی مشخص در مدت زمان t، دبی می‌گوییم و آن را با Q نشان می‌دهیم. بنابراین، در ادامه رابطه ریاضی دبی را به‌دست می‌آوریم.

فرمول دبی چیست ؟

در بخش قبل فهمیدیم دبی چیست. در این بخش فرمول دبی را به‌دست می‌آوریم. واحد اندازه‌گیری دبی در سیستم SI، متر مکعب بر ثانیه یا $$\frac { m ^ 3 } { s}$$ است. دبی با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$\frac { V } { t }$$

فیلم آموزش فیزیک 3 – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که در مطالب بالا اشاره کردیم، حجم قسمتی از مایع درون لوله را می‌توانیم به صورت استوانه‌ای فرضی در نظر بگیریم. حجم استوانه برابر حاصل‌ضرب سطح مقطع در طول آن است و به صورت $$V = A d$$ نوشته می‌شود. در این رابطه، A سطح مقطع استوانه و d طول آن است. با جایگذاری رابطه نوشته برای حجم در رابطه $$\frac { Q } { t }$$ داریم:

$$Q = \frac { V } { t } = \frac { A d } { t } = A \frac { d }  { t }$$

عبارت $$\frac { v} { t }$$ همان سرعت حرکت مایع در لوله است. بنابراین، Q را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$Q =Av$$

رابطه به‌دست آمده برای دبی بسیار آشناست. حاصل‌ضرب مساحت در سرعت را در معادله پیوستگی مشاهده کردید. از این رو، می‌توانیم بگوییم مقدار حجم مایع وارد شده به لوله در مدت زمان t برابر مقدار حجمِ مایع خارج شده از لوله در همین زمان است. A سطح مقطع بخشی از لوله و $$v$$ سرعت عبور مایع از آن بخش است. به این نکته توجه داشته باشید که از بین دو فرمول $$Q = \frac { V } { t }$$ و $$Q =Av$$ برای Q، رابطه $$Q =Av$$ فرمول مناسب‌تری برای حل مسائل است، زیرا محاسبه مساحت راحت‌تر خواهد بود. بیشتر لوله‌ها به شکل استوانه ساخته می‌شوند، بنابراین مساحت سطح مقطع آن‌ها برابر $$A = \pi r ^ 2$$ است.

تا اینجا می‌دانیم دبی جریان چیست و با استفاده از چه رابطه‌ای به‌دست می‌آید. همچنین، معادله پیوستگی را به‌دست آوردیم. بر طبق معادله پیوستگی، حجم وارد شده به لوله‌ای در مدت زمانی مشخص برابر حجم مایع خارج شده از لوله در همان زمان است. نرخ جریان شاره را با استفاده از نرخ جریان جرمی (دبی جرمی) نیز می‌توانیم توصیف کنیم. در ادامه، در مورد پایستگی جرم صحبت می‌کنیم.

واحد اندازه گیری دبی چیست ؟

واحد اندازه‌گیری دبی در سیستم SI، متر مکعب بر ثانیه است.

پایستگی جرم

در بخش‌های قبل فهمیدیم دبی چیست و با استفاده از چه فرمولی به‌دست می‌آید. در این بخش با مفهوم دیگری به نام دبی جرمی یا نرخ جرمی جریان آشنا می‌شویم. به مقدار جرم سیالِ عبوری از نقطه‌ای مشخص در واحد زمان، دبی جرمی یا نرخ جرمی جریان گفته می‌شود.

فیلم آموزش مکانیک سیالات 1 – جامع و با نکات کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر را در نظر بگیرید. مقدار جرم سیال با حجم هاشورزده مشخص شده است. جرم را می‌توان با استفاده از چگالی و حجم به‌دست آورد:

$$m = \rho V = \rho A x$$

دبی جریان یا نرخ جریان جرمی، $$\frac{\text{d} m}{\text{d} t }$$ برابر است با:

$$\frac{\text{d} m}{\text{d} t }= \frac{\text{d} }{\text{d} t } (\rho A x ) = \rho A \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = \rho A v$$

در رابطه فوق:

• $$\rho$$ چگالی سیال و واحد اندازه‌گیری آن کیلوگرم بر متر مکعب یا گرم بر سانتی‌متر مکعب است.
• $$A$$ سطح مقطع و واحد اندازه‌گیری آن متر مربع یا سانتی‌متر مربع است.
• $$v$$ سرعت حرکت سیال و واحد اندازه‌گیری آن متر بر ثانیه است.

دبی جریان کمیت بسیار مهمی در دینامیک سیالات است و با استفاده از آن می‌توانیم بسیاری از مسائل در زمینه سیالات را حل کنیم. به تصویر نشان داده شده در ادامه توجه کنید. شاره‌ای در لوله‌ای با دو سطح مقطع متفاوت جریان دارد. سطح مقطع لوله در ابتدای آن بزرگ‌تر از انتهای آن است.

جرم شاره وارد شده به لوله باید برابر جرم شاره خارج شده از آن باشد. به همین دلیل، سرعت شاره به هنگام ورود به لوله، کوچک‌تر از سرعت آن به هنگام خروج از لوله است:

$$v_2 > v_1$$

با توجه به آن‌که جرم شاره وارد شده به لوله با جرم شاره خارج شده از آن برابر است، به راحتی می‌توانیم بین سطح مقطع و سرعت جریان شاره رابطه‌ای به صورت زیر به‌دست آوریم.

$$m_1 = m_2 \\ \frac{\text{d}m_1}{\text{d}t} = \frac{\text{d}m_2}{\text{d}t} \\ \rho _ 1 A_1 v_ 1 = \rho_2 A_2 v_2$$

به رابطه به‌دست آمده در بالا نیز، رابطه پیوستگی در حالت کلی گفته می‌شود. اگر جرم سیال در مدت انقباض ثابت بماند می‌توانیم آن را از طرفین رابطه به‌دست آمده حذف کنیم و به معادله پیوستگی به‌دست آمده در ابتدای مطلب برسیم. یکسان بودن چگالی سیال در سراسر لوله به معنای تراکم‌ناپذیری آن است.

$$A_ 1 v_1 = A_ 2 v_2$$