ریاضی , علوم پایه 1067 بازدید

یک معادله را حل پذیر با استفاده از انتگرال‌گیری می‌گوییم، اگر جواب عمومی آن را بتوان با یک یا چند انتگرال بیان کرد. در این آموزش، با حل معادله دیفرانسیل با انتگرال گیری آشنا می‌شویم.

در ادامه، سه نوع معادله مرتبه بالا را بیان می‌کنیم که برای حل آن‌ها از انتگرال‌گیری استفاده شده است.

حالت ۱. معادله $$\LARGE F\left( {x,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0$$

ابتدا فرض کنید که بتوان این معادله را به یک فرم صریح برای مشتق $$ {{y^{\left( n \right)}}} $$، یعنی به صورت زیر توصیف کرد:

$$ \large { y ^ { \left ( n \right ) } } = f \left ( x \right ) . $$

از این معادله $$n$$ بار به صورت متوالی و از $$ x _ 0 $$ تا $$ x $$ انتگرال می‌گیریم. در نتیجه، عبارات زیر را برای مشتقات و تابع $$ y ( x ) $$ به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
{ y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } \left ( x \right ) & = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( x \right ) d x } + { C _ 1 } , } \\
{ y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } \left ( x \right ) & = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( x \right ) d x } } + { { C _ 1 } \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) } + { { C _ 2 } , } \\
& \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
{ y \left ( x \right ) } & = { \underbrace { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \cdots \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( x \right ) d x } } _ { n \; \text {times}} }
+ { { C _ 1 } \frac { { { { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) } ^ { n – 1 } } } } { { \left ( { n – 1 } \right ) ! } } + \cdots }
+ { { C _ { n – 1 } } \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) } + { { C _ n } . }
\end {align*} $$

فرمول اخیر جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

در $$ x = x _ 0 $$، جواب خصوصی را به دست می‌آوریم که در شرایط اولیه صدق می‌کند:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( x = x _ 0 \right ) = { C _ n } , \; \; \kern-0.3pt { y’ \left ( { x = { x _ 0 } } \right ) = { C _ { n – 1 } } , \; \; \ldots , \; \; } \kern-0.3pt \\ { { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } \left ( { x = { x _ 0 } } \right ) = { C _ 2 } , \; \; } \kern-0.3pt { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } \left ( { x = { x _ 0 } } \right ) = { C _ 1 } , }
\end {align*} $$

و در آن، $$ C_1$$، $$ C_ 2 $$، … و $$ C_ n$$ مجموعه اعداد مشخصی هستند.

انتگرال‌گیری متوالی برای $$ y ( x ) $$ را می‌توان به یک انتگرال تکی تبدیل کرد. در واقع، در حالت $$ n = 2 $$، انتگرال زیر را خواهیم داشت:

$$ \large y \left ( x \right ) = \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( \tau \right ) d \tau } $$

که در آن، $$ \tau$$ متغیر انتگرال‌گیری در انتگرال درونی را نشان می‌دهد.

این انتگرال متوالی یا تکراری در ناحیه مثلثی $$ D\left( {x,\tau } \right) $$ شکل ۱ تعریف شده است.

ناحیه انتگرال گیری
شکل ۱

می‌توانیم مرتبه انتگرال‌گیری این انتگرال را با استفاده از فرمول دیریکله تغییر دهیم:

$$ \large { y \left ( x \right) } = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( \tau \right ) d \tau } } = { \int \limits _ { { x _0 } } ^ x { f \left ( \tau \right ) d \tau } \int \limits _ \tau ^ x { d x } . } $$

در نتیجه، انتگرال دوگانه به یک انتگرال تکی تقلیل می‌یابد:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( \tau \right ) \left ( { x – \tau } \right ) d \tau } } = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \frac { { \left ( { x – \tau } \right ) } } { { 1 ! } } f \left ( \tau \right ) d \tau } . } $$

به طور مشابه، می‌توانیم انتگرال متوالی سه‌تایی را برای حالت $$ n = 3 $$ به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( x \right ) & = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0} } ^ x { f \left ( x \right ) d x } }
= { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { d x } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \frac { { \left ( { x – \tau } \right ) } } { { 1 ! } } f \left ( \tau \right ) d \tau } }
\\ & = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { f \left ( \tau \right ) d \tau } \int \limits _ \tau ^ x { \frac { { \left ( { x – \tau } \right ) } } { { 1 ! } } d \tau } }
= { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } } \right ) } \right | _ { x = \tau } ^ { x = x } } \right ] f \left ( \tau \right ) d \tau } } \\ &
= { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \frac { { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ 2 }} } { { 2 ! } } f \left ( \tau \right ) d \tau } . }
\end {align*} $$

برای $$n$$ با انتگرال‌گیری متوالی، عبارت زیر معتبر است:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \frac { { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ { n – 1 }} } } { { \left ( { n – 1 } \right ) ! } } f \left ( \tau \right ) d \tau } } $$

که فرمول کوشی برای انتگرال مکرر نامیده می‌شود.

عبارت منتجه یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل $$ {y^{\left( n \right)}} = f\left( x \right) $$ با شرایط اولیه صفر است:

$$ \large { y \left ( { x = { x _ 0 } } \right ) = 0 , \; \; } \kern-0.3pt { y’ \left ( { x = { x _ 0 } } \right ) = 0 , \; \; \ldots , \; \; } \kern-0.3pt { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } \left ( { x = { x _ 0 } } \right ) = 0 . } $$

بر این اساس، جواب عمومی معادله اصلی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \frac { { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ { n – 1 } } } } { { \left ( { n – 1 } \right ) ! } } f \left ( \tau \right ) d \tau } }
+ { { C _ 1 } \frac { { { { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) } ^ { n – 1 } } } } { { \left ( { n – 1 } \right ) ! } } + \cdots }
+ { { C _ { n – 1 } } \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) } + { { C _ n } . } $$

لازم به ذکر است که فرمول کوشی مربوط به تابع $$ y ( x) $$ و مشتق مرتبه $$n$$ آن، یعنی $$ {y^{\left( n \right)}} = f\left( x \right) $$، است. اگر فرض کنیم $$ n$$ می‌تواند یک عدد حقیقی باشد، آنگاه به مفهوم مشتق مرتبه کسری خواهیم رسید.

به جای $$ \left( {n – 1} \right)! $$ در فرمول کوشی، می‌توانیم تابع گاما یا $$ \Gamma \left( z \right) $$ را بنویسیم، که پیوسته بوده و به فرم انتگرال ناسره زیر بیان می‌شود:

$$ \large \Gamma \left ( z \right ) = \int \limits _ 0 ^ \infty { { e ^ { – t } } { t ^ { z – 1 } } d t } . $$

یک نمای شماتیکی از تابع گامای $$ \Gamma \left( z \right) $$ برای مقادیر حقیقی $$ z $$ در شکل زیر نشان داده شده است.

تابع گاما
شکل ۲

برای مقادیر طبیعی $$n$$، تساوی زیر برقرار است:

$$ \large \Gamma \left ( n \right ) = \left ( { n – 1 } \right ) ! $$

و در نتیجه، فرمول کوشی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$ \large { y \left ( { x , z } \right ) } = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \frac { { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ { z – 1 } } } } { { \Gamma \left ( z \right ) } } f \left ( \tau \right ) d \tau } } $$

که در آن، $$ z $$ یک عدد حقیقی است.

اگر تابع اصلی $$ y ( x ) $$ معلوم باشد، این فرمول را می‌توان به عنوان تعریف مشتق مرتبه کسری $$ z $$ در نظر گرفت، یا اگر مشتق متناظر با آن مشخص باشد، می‌توان آن را به عنوان تعریف انتگرال یا مرتبه کسری $$ z $$ در نظر گرفت.

جواب معادله دیفرانسیل صریح $$ {y^{\left( n \right)}} = f\left( x \right) $$ را مورد بررسی قرار دادیم. از معادله دیفرانسیل ضمنی $$ F\left( {x,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0 $$ نیز می‌توان انتگرال گرفت. این کار در صورتی قابل انجام است که بتوان آن را نسبت به $$ x $$ حل کرد یا به طور عمومی‌تر، به فرم پارامتری زیر نشان داد:

$$ \large { x = \varphi \left ( t \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { { y ^ { \left ( n \right ) } } = \psi \left ( t \right ) . } $$

با داشتنِ

$$ \large { d { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } = { y ^ { \left ( n \right ) } } d x } = { \psi \left ( t \right ) \varphi’ \left ( t \right ) d t } $$

خواهیم داشت:

$$ \large { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } \left ( x \right ) } = { \int { \psi \left ( t \right ) \varphi’ \left ( t \right ) d t } + { C _ 1 } . } $$

به طور مشابه، سایر مشتقات و تابع $$ y ( x ) $$ را به دست می‌آوریم. در نتیجه، جواب عمومی معادله را به فرم پارامتری به دست خواهیم آورد:

$$ \large { x = \varphi \left ( t \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { y = \Phi \left ( { t , { C _ 1 } , { C _ 2 } , \ldots , { C _ n } } \right ) . } $$

حالت ۲. معادله $$ \LARGE F\left( {{y^{\left( {n – 1} \right)}},{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0 $$

حالت اول را وقتی که بتوان معادله را برای $$ {{y^{\left( n \right)}}} $$ حل کرد، در نظر بگیرید:

$$ \large { y ^ { \left ( n \right ) } } = f \left ( { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } } \right ) . $$

این معادله را به صورتی که در ادامه می‌آید، حل می‌کنیم. ابتدا متغیر جدید $$ z = {{y^{\left( {n – 1} \right)}}} $$ را معرفی می‌کنیم. در نتیجه، معادله به صورت زیر در می‌آید:

$$ \large z’ = f\left( z \right). $$

با تفکیک متغیرها، جواب عمومی به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large { \int { \frac { { d z } } { { f \left ( z \right ) } } } = x + { C _ 1 } , \; \; } \Rightarrow { z = \varphi \left ( { x , { C _ 1 } } \right ) . } $$

اکنون به متغیر $$ y $$ باز می‌گردیم و معادله دیفرانسیل مرتبه $$ ( n – 1 ) $$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } = \varphi \left ( { x , { C _ 1 } } \right ) . $$

که با روشی که در حالت ۱ بالا بیان شد، حل می‌شود.

از معادله ضمنی عمومی $$ F\left( {{y^{\left( {n – 1} \right)}},{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0 $$ می‌توان انتگرال گرفت، اگر به فرم پارامتری زیر بیان شود:

$$ \large { { y ^ { \left ( n \right ) } } = \varphi \left ( t \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } = \psi \left ( t \right ) . } $$

از آنجایی که $$ d{y^{\left( {n – 1} \right)}} = {y^{\left( n \right)}}dx$$، عبارت $$ x ( t) $$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large { { d x = \frac { { d { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } } } { { { y ^ { \left ( n \right ) } } } } } = { \frac { { \psi’ \left ( t \right ) d t } } { { \varphi \left ( t \right ) } } , \; \; } } \Rightarrow { x = \int { \frac { { \psi’ \left ( t \right ) d t } }{ { \varphi \left ( t \right ) } } } + { C _ 1 } . } $$

عبارت $$ y ( t) $$ را می‌توان با استفاده از انتگرال‌گیری به دست آورد:

$$ \large \begin {align*}
&{ d { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } = { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } d x } = { \frac { { \psi \left ( t \right ) \psi’ \left ( t \right ) d t } } { { \varphi \left ( t \right ) } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } } = { \int { \frac { { \psi \left ( t \right ) \psi’ \left ( t \right ) d t } } { { \varphi \left ( t \right ) } } } } + { { C _ 2 } , } } \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& d y = y’ d x , \; \; \Rightarrow { y = \int { y’ d x } + { C _ n } . }
\end {align*} $$

در نتیجه، جواب عمومی به فرم پارامتری به دست آمد.

حالت ۳. معادله نوع $$ \LARGE F\left( {{y^{\left( {n – 2} \right)}},{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0 $$

فرض کنید معادله برای $$ {{y^{\left( n \right)}}} $$ حل شده است:

$$ \large { y ^ { \left ( n \right ) } } = f \left ( { { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } } \right ) . $$

با معرفی متغیر جدید $$ {{y^{\left( {n – 2} \right)}}} = z $$، خواهیم داشت:

$$ \large z ^ { \prime \prime } = f \left ( z \right ) . $$

با ضرب دو طرف در $$ z’$$ (با فرض اینکه معادله جواب $$ z’ = 0$$ ندارد)، داریم:

$$ \large \begin {align*}
& z’ z ^ { \prime \prime } = f \left ( z \right ) z’ , \; \; \Rightarrow { d \left [ { { { \left ( { z’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] = 2 f \left ( z \right ) d z , \; \; } \Rightarrow { { \left ( { z’ } \right ) ^ 2 } = 2 \int { f \left ( z \right ) d z } + { C_ 1 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { z’ } = { \sqrt { 2 \int { f \left ( z \right ) d z } + { C _ 1 } } , \; \; } } \Rightarrow { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } } = { \sqrt { 2 \int { f \left ( { { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } } \right ) d { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } } + { C _ 1 } } . }
\end {align*} $$

واضح است که معادله‌ای به فرم $$ {y^{\left( {n – 1} \right)}} = f\left( {{y^{\left( {n – 2} \right)}}} \right) $$ داریم، که در حالت ۲ آن را بررسی کردیم و می‌توان آن را با انتگرال‌گیری حل کرد.

اگر معادله $$ z^{\prime\prime} = f\left( z \right) $$ دارای جواب $$ z’ = 0 $$ باشد، آنگاه جواب عمومی به فرم زیر خواهد بود:

$$ \large { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } = 0 , \; \; } \Rightarrow { y = { C _ 1 } { x ^ { n – 2 } } } + { { C _ 2 }{ x ^ { n – 3 } } + \cdots } + { { C _ { n – 1 } } . } $$

در حالتی که معادله دیفرانسیل $$ F\left( {{y^{\left( {n – 2} \right)}},{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0 $$ باشد، معادله پارامتری زیر را خواهیم داشت:

$$ \large { { y ^ { \left ( n \right ) } } = \varphi \left ( t \right ) , \; \; } \kern0pt { { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } = \psi \left ( t \right ) } $$

جواب از روابط زیر تبعیت می‌کند:

$$ \large { d { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } = { y ^ { \left ( n \right ) } } d x , \; \; } \kern0pt { d { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } = { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } d x } $$

که

$$ \large { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } d { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } } = { { y ^ { \left ( n \right ) } } d { y ^ { \left ( { n – 2 } \right ) } } , } $$

یا به فرم پارامتری زیر خواهد بود:

$$ \large { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } d{ y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } } = { \varphi \left ( t \right ) \psi’ \left ( t \right ) d t . } $$

با استفاده از انتگرال‌گیری، خواهیم داشت:

$$ \large { { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } } = { \sqrt { 2 \int { \varphi \left ( t \right ) \psi’ \left ( t \right ) d t } + { C _ 1 } } . } $$

اکنون می‌دانیم توصیف پارامتری مشتقات $$ {y^{\left( {n – 2} \right)}} $$ و $$ {y^{\left( {n – 1} \right)}} $$ را می‌دانیم، که مسئله به حالت ۲ کاهش می‌یابد.

مثال‌هایی از حل معادله دیفرانسیل با انتگرال گیری

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

جواب عمومی معادله $$ y^{\prime\prime\prime} = {x^2} – 1 $$ را بیابید.

حل: این معادله از نوع $$ {y^{\left( n \right)}} = f\left( x \right) $$ برای $$ n = 3 $$ است. جواب عمومی این معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \int \limits _ { { x_ 0 } } ^ x { \frac { { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } \left ( { { \tau ^ 2 } – 1 } \right ) d \tau } }
+ { { C _ 1 } \frac { { { { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } }
+ { { C _ 2 } \left ( { x – { x _ 0 } } \right) } + { { C _ 3 } . } $$

انتگرال فرمول بالا به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \require {cancel} \begin {align*}
I & = \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { { { \left ( { x – \tau } \right ) } ^ 2 } \left ( { { \tau ^ 2 } – 1 } \right ) d \tau } = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \left ( { { x ^ 2 } – 2 x \tau + { \tau ^ 2 } } \right ) } \kern0pt { \left ( { { \tau ^ 2 } – 1 } \right ) d \tau } } } \\ & = { { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { { { x ^ 5 } } } { 3 } – \frac { { { x ^ 5 } } } { 2 } + \frac { { { x ^ 5 } } } { 5 } – \cancel { x ^ 3 } } \right . } } + { { \left . { \cancel { x ^ 3 } – \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + \alpha { x ^ 2 } + \beta x + \gamma } \right ) } }
\end {align*} $$

که در آن، $$ \alpha$$، $$\beta$$ و $$ \gamma$$ ضرایبی هستند که به $$ x _ 0 $$ بستگی دارند.

جواب عمومی معادله به صورت زیر است:

$$ \large \require {cancel} \begin {align*}
y \left ( x \right ) & = { \frac { 1 } { 2 } \left [ { \left ( { \frac { 1 } { 3 } – \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } {5 } } \right ){ x ^ 5 } } \right . } – { \left . { \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + \alpha { x ^ 2 } + \beta x + \gamma } \right ] }
\\ & \;\;\;\;\; + { { C _ 1 } \frac { { { { \left ( { x – { x _ 0} } \right ) } ^ 2 } } } { 2 } }
+ { { C _ 2 } \left ( { x – { x _ 0 } } \right) } + { { C _ 3 } . }
\end {align*} $$

با توجه به اینکه $$ C_ 1 $$ و $$ x _ 0 $$ اعداد دلخواهی هستند، جواب عمومی $$ y ( x) $$ را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \frac { { { x ^ 5 } } } { { 6 0 } } – \frac { { { x ^ 3 } } } { 6 } } + { { C _ 1 } { x ^ 2 } } + { { C _ 2 } x } + { { C _ 3 } . } $$

جواب مشابهی را می‌توان با انتگرال‌گیری از معادله دیفرانسیل به دست آورد.

مثال ۲

جواب خصوصی معادله $$ {y^{IV}} = \sin x + 1 $$ را با شرایط اولیه $$ x _ 0 $$، $$ y _ 0 = 1 $$ و $$ {y’_0} = {y^{\prime\prime}_0} = {y^{\prime\prime\prime}_0} = 0 $$ به دست آورید.

حل: ابتدا جواب عمومی را تشکیل می‌دهیم و از آن انتگرال پیاپی می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime \prime } & = – \cos x + x + { C _ 1 } , \\
y ^ { \prime \prime } & = – \sin x + \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + { { C _ 1 } x } + { { C _ 2 } , } \\
y’ & = \cos x + \frac { { { x ^ 3 } } } { 6 } + \frac { { { C _ 1 } { x ^ 2 } } } { 2 } + { { C _ 2 } x } + { { C _ 3 } , } \\
y & = \sin x + \frac { { { x ^ 4 } }} { { 2 4 } } + \frac { { { C _1 } {x ^ 3 } } } { 6 }
+ { \frac { { { C _ 2 } { x ^ 2 } } } { 2 } }
+ { { C _ 3 } x + { C _ 4 } . }
\end {align*} $$

با جایگذاری شرایط اولیه، ضرایب $$ C_ 1 $$ تا $$ C_ 4 $$ را از دستگاه معادلات زیر تعیین می‌کنیم:

$$ \large { \left \{ \begin {array} { l }
0 = – 1 + { C _ 1 } \\
0 = { C _ 2 } \\
0 = 1 + { C _ 3 } \\
1 = { C _ 4 }
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ \begin {array} { l }
{ C _ 1 } = 0 \\
{ C _ 2 } = 0 \\
{ C _ 3 } = – 1 \\
{ C _ 4 } = 1
\end {array} \right . . } $$

بنابراین، جواب خصوصی که در شرایط اولیه صدق می‌کند، به فرم زیر است:

$$ \large { y \left ( x \right ) = \sin x + \frac { { { x ^ 4 } } } { { 2 4 } } } + { \frac { { { x ^ 3 } } } { 6 } } – { x + 1 . } $$

مثال ۳

جواب عمومی معادله $$ { \left ( { y ^ { \prime \prime } } \right ) ^ 2 } – { \left ( { y ^ { \prime \prime } } \right ) ^ 3 } = x $$ را بیابید.

حل: این معادله را می‌توان با استفاده از روش پارامتری حل کرد. $$ y^{\prime\prime} = t $$ را در معادله قرار می‌دهیم. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large x = { t ^ 2 } – { t ^ 3 } . $$

با توجه به اینکه $$ d\left( {y’} \right) = y^{\prime\prime}dx $$، مشتق $$ y’ $$ را برحسب پارامتر $$t$$ به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*} & d \left ( { y’ } \right ) = y ^ { \prime \prime } d x = { t \left ( { 2 t – 3 { t ^ 2 } } \right ) d t } = { \left ( { 2 { t ^ 2 } – 3 { t ^ 3 } } \right ) d t , \; \; } \\ & \Rightarrow { { y’ = \int { \left ( { 2 { t ^ 2 } – 3 { t ^ 3 } } \right ) d t } } } = { { \frac { { 2 { t ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { 3 { t ^ 4 } } } { 4 } + { C _ 1 } . } } \end {align*} $$

به طور مشابه، از یک انتگرال‌گیری دیگر نیز استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
d y & = y’ d x = { { \left ( { \frac { { 2 { t ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { 3 { t ^ 4 } } } { 4 } + { C _ 1 } } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { 2 t – 3 { t ^ 2 } } \right ) d t } } \\ & = { { \left ( { \frac { { 4 { t ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { 3 { t ^ 4 } } } { 2 } + 2 { C _ 1 } t } \right . } } – { { \left . { { t ^ 5 } + \frac { { 9 { t ^ 6 } } } { 4 } – 3 { C _ 1 } { t ^ 2 } } \right ) d t , } }
\end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} \Rightarrow y & = \int { \left ( { \frac { { 4 { t ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { 3 { t ^ 4 } } } { 2 } + 2 { C _ 1 } t } \right . } – { { { \left . { { t ^ 5 } + \frac { { 9 { t ^ 6 } } } { 4 } – 3 { C _ 1 } { t ^ 2 } } \right ) d t } } } \\ & = { { \frac { { { t ^ 4 } } } { 3 } – \frac { { 3 { t ^ 5 } } } { { 1 0 } } + { C _ 1 } { t ^ 2 } } – { \frac { { { t ^ 6 } } } { 6 } + \frac { { 9 { t ^ 7 } } } { { 2 8 } } } } – { { { C _ 1 } { t ^ 3 } + { C _ 2 } } } \\ & = { { \frac { { 9 { t ^ 7 } } } { { 2 8 } } – \frac { { { t ^ 6 } } } { 6 } – \frac { { 3 { t ^ 5 } } } { { 1 0 } } } + { \frac { { { t ^ 4 } } } { 3 } – { C _ 1 } { t ^ 3 } } } + { { { C _ 1 } { t ^ 2 } + { C _ 2 } . } } \end {align*} $$

بنابراین، جواب عمومی به فرم پارامتری زیر خواهد بود:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
{ x = { t ^ 2 } – { t ^ 3 } } \\
{ y = \frac { { 9 { t ^ 7 } } } { { 2 8 } } – \frac { { { t ^ 6 } } } { 6 } } – { \frac { { 3 { t ^ 5 } } } { { 1 0 } } } + { \frac { { { t ^ 4 } } } { 3 } } – { { C _ 1 } { t ^ 3 } } + { { C _ 1 } { t ^ 2 } + { C _ 2 } }
\end {array} \right. $$

که در آن، $$ C_ 1 $$ و $$ C_ 2$$ ثابت‌های دلخواه هستند.

مثال ۴

جواب خصوصی معادله $$ {y^{IV}} – y^{\prime\prime\prime} = 1 $$ را با شرایط اولیه صفر $$ {x_0} = 0$$ و $${y_0} = {y’_0} = {y^{\prime\prime}_0} = {y^{\prime\prime\prime}_0} = 0$$ به دست آورید.

حل: این معادله مربوط به حالت ۲ است. متغیر واسطه یا کمکی $$ z = y^{\prime\prime\prime} $$ را تعریف می‌کنیم. در نتیجه، یک معادله مرتبه اول خطی به دست می‌آید:

$$ \large z’ – z = 1 . $$

جواب عمومی این معادله با تابع زیر قابل بیان است:

$$ \large z = {C_1}{e^x} – 1. $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large y ^ { \prime \prime \prime } = { C _ 1 } { e ^ x } – 1 $$

این معادله به حالت ۱ تبدیل شده است و می‌توان آن را با انتگرال‌گیری مکرر حل کرد:

$$ \large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } & = { C _ 1 }{ e ^ x } – x + { C _ 2 } , \\
y’ & = { C _ 1 } { e ^ x } – \frac { { {x ^ 2 } } } { 2 } + { { C _ 2 } x } + { { C _ 3 } , } \\
y &= { C _ 1 } { e ^ x } – \frac { { { x ^ 3 } } } { 6 } + { \frac { { { C _ 2 } { x ^ 2 } } } { 2 } } + { { C _ 3 } x } + { { C _ 4 } . } \end {align*} $$

ضرایب $$ C_ i $$ از شرایط اولیه به دست می‌آیند:

$$ \large { \left \{ \begin {array} { l }
0 = { C _ 1 } – 1 \\
0 = { C _ 1 } + { C _ 2 } \\
0 = { C _ 1 } + { C _ 3 } \\
0 = { C _ 1 } + { C _ 4 }
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left \{ \begin {array} { l }
{ C _ 1 } = 1 \\
{ C _ 2 } = – 1 \\
{ C _ 3 } = – 1 \\
{ C _ 4 } = – 1
\end {array} \right . . } $$

بنابراین، یک جواب خصوصی برای شرایط اولیه داده شده، به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y \left ( x \right ) = { e ^ x } – \frac { { { x ^ 3 } } }{ 6 } – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – x – 1 . $$

مثال ۵

جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$ y ^ { \prime \prime \prime } = \sqrt { 1 – { { \left ( { y ^ { \prime \prime } } \right ) } ^ 2 } } $$ را بیابید.

حل: این معادله مطابق حالت ۲ است. متغیر جدید $$ z = y^{\prime\prime} $$ را معرفی می‌کنیم. با این تغییر متغیر، به معادله مرتبه اول زیر می‌رسیم:

$$ \large z’ = \sqrt { 1 – { z ^ 2 } } . $$

فرض می‌کنیم تابع $$ z $$ در بازه $$ [ – 1 , 1 ] $$ تعریف شده باشد. با انتگرال‌گیری، داریم:

$$ \large
\frac { { d z } }{ { d x } } = \sqrt { 1 – { z ^ 2 } } , \; \; \kern-0.3pt { \frac { { d z } } { { \sqrt { 1 – { z ^ 2 } } } } = d x , \; \; } \kern-0.3pt { \int { \frac { { d z } } { { \sqrt { 1 – { z ^ 2 } } } } } = \int { d x } , \; \; } \\ \large \kern-0.3pt { \arcsin z = x + { C _ 1 } , \; \; } \kern-0.3pt { z = \sin \left ( { x + { C _ 1 } } \right ) . }
$$

در واقع، معادله اولیه را به یک معادله حالت ۱ تبدیل کرده‌ایم. جواب عمومی $$ y ( x) $$ به سادگی با دو بار انتگرال‌گیری از $$ z $$ به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } & = \sin \left ( { x + { C _ 1 } } \right ) , \\
y’ & = – \cos \left ( { x + { C _ 1 } } \right ) + { C _ 2 } , \\
y & = – \sin \left ( { x + { C _ 1 } } \right ) + { { C _ 2 } x } + { { C _ 3 } }
\end {align*} $$

که در آن، $$ C_ 1 $$، $$ C_ 2 $$ و $$ C_ 3 $$ ثوابت دلخواهی هستند.

مثال ۶

جواب عمومی معادله $$ y^{\prime\prime\prime}y^{\prime\prime} = 1 $$ را با استفاده از انتگرال به دست آورید.

حل: این معادله به فرم ۳ است. تابع جدید $$ z = y’ $$ را تعریف می‌کنیم، بنابراین، معادله به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ \large { z ^ { \prime \prime } z = 1 , \; \; } \Rightarrow { z ^ { \prime \prime } = \frac { 1 } { z } . } $$

واضح است که $$ z = y’ \ne 0 $$ و $$ z’ = y^{\prime\prime} \ne 0 $$. دو طرف این معادله را در $$ 2z’$$ ضرب کرده و یک بار از آن انتگرال می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*}
& 2z’z ^ { \prime \prime } = \frac { { 2 z’ } } { z } , \; \; \Rightarrow { d { \left ( { z’ } \right ) ^ 2 } = \frac { { 2 d z } }{ z } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { { \left ( { z’ } \right ) ^ 2 } = 2 \ln \left | z \right | + \ln { C _ 1 } } = { \ln \left ( { { C _ 1 }{ z ^ 2 } } \right ) . } }
\end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، این معادله به نوع ۱ تبدیل شده است. علاوه بر این، می‌توان آن را به سادگی با استفاده از روش پارامتری حل کرد. تغییر متغیر $$z’ = t$$ را در نظر می‌گیریم که در آن، متغیر $$ t $$ به عنوان یک پارامتر در نظر گرفته شده است. تابع $$ z $$ بر حسب $$ t $$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { { t ^ 2 } = \ln \left ( { { C _ 1 } { z ^ 2 } } \right ) , \; \; } \Rightarrow { { C _ 1 } { z ^ 2 } = { e ^ { { t ^ 2 } } } , \; \; } \Rightarrow { z = \pm \frac { 1 } { { { C _ 1 } } } { e ^ { { t ^ 2 } } } . } $$

بنابراین، تابع $$ z $$ به صورت $$ z = \varphi \left( {t,{C_1}} \right) $$ نمایش داده می‌شود. وابستگی $$ x $$ به پارامتر $$ t $$ را نیز می‌توان با یک انتگرال به صورت زیر توصیف کرد:

$$ \large \begin {align*} & t = z’ = \frac { { d z } } { { d x } } , \; \; \Rightarrow { d x = \frac { { d z } } { t } = \frac { { \varphi’ \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) d t } } { t } , \; \; } \\ & \Rightarrow { x = \int { \frac { { \varphi’ \left ( { t , { C _1 } } \right ) d t } } { t } } + { C _ 2 } . } \end {align*} $$

تنها چیزی که باقی می‌ماند، این است که یک عبارت پارامتری برای تابع $$ y $$ به دست آوریم. از آنچه قبلاً‌ گفتیم، داریم:

$$ \large { z = \frac { { d y } } { { d x } } , \; \; } \Rightarrow { { d y = z d x } = { \frac { { \varphi \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) \varphi’ \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) d t } } { t } } } $$

بعد از انتگرال‌گیری خواهیم داشت:

$$ \large { y = \int { \frac { { \varphi \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) \varphi’ \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) } } { t } d t } } + { { C _ 3 } . } $$

بنابراین، جواب عمومی معادله اصلی به فرم پارامتری به صورت زیر است:

$$ \large { x = \int { \frac { { \varphi’ \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) } } { t } d t } + { C _ 2 } , \; \; \; } \kern-0.3pt { y = \int { \frac { { \varphi \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) \varphi’ \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) } } { t } d t } } + { { C _ 3 } . } $$

که در آن، $$ \varphi \left ( { t , { C _ 1 } } \right ) = \pm { \large \frac { 1 } { { { C _ 1 } } } \normalsize } { e ^ { { t ^ 2 } } } $$ و $$ C_1$$، $$ C_ 2 $$ و $$ C_ 3 $$ ثوابت انتگرال‌گیری هستند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

سید سراج حمیدی (+)

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. او مدتی در زمینه انرژی‌های تجدیدپذیر فعالیت کرده، و در حال حاضر، آموزش‌های ریاضیات، مهندسی برق و بورس مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *