جمع عبارت های جبری – به زبان ساده + حل تمرین و مثال

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با عبارت‌های جبری و ساده کردن آن‌ها آشنا شدیم. همچنین، مطالبی را درباره ضرب و تقسیم عبارت های جبری بیان کردیم. در این آموزش، با جمع عبارت های جبری آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را بررسی خواهیم کرد.

عبارت جبری چیست؟

یک عبارت جبری ترکیبی از متغیرها و ثابت‌ها است که توسط چهار عمل اساسی حسابیِ جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به هم متصل می‌شوند.

شکل زیر یک عبارت جبری را نشان می‌دهد که بخش‌های مختلف آن مشخص شده‌اند.

• ثابت: به نمادی که مقدار عددی ثابتی دارد، ثابت می‌گویند. برای مثال، اعداد $$5$$ و $$- 6$$ و $$142$$ و... ثابت هستند.
• متغیر: نمادی است که مقادیر عددی مختلفی را به خود می‌گیرد. برای مثال، در عبارت جبری $$3 x + 5$$، جمله $$5$$ ثابت و $$x$$ متغیر است.
• جمله: بخش‌های مختلف یک عبارت جبری که با «+» یا «−» از هم جدا شده‌اند، جمله‌های عبارت نامیده می‌شوند. برای مثال، $$3x + 2 y$$ یک عبارت جبری است که از دو جمله تشکیل شده است.
• ضریب: در یک جمله عبارت جبری، ضریب معمولاً عددی است که در جمله ضرب می‌شود. برای مثال در عبارت $$2 x y ^ 2$$ ضریب عدد $$2$$ است. البته ضریب را به‌صورت حاصل‌ضرب عدد و متغیر نیز در نظر می‌گیرند. برای مثال، در جمله $$3 x y$$، ضریب $$y$$ عبارت $$3 x$$ است، همچنین، ضریب $$x$$ عبارت $$3 y$$ است، همچنین ضریب $$x y$$ عدد $$3$$ است.
• عامل: اگر یک عبارت جبری به‌صورت حاصل‌ضرب عبارت‌های جبری دیگری نوشته شود، به هر یک از این عبارات دیگر، عوامل عبارت جبری می‌گوییم. برای مثال، در عبارت جبری $$4 x ^ 2 + 2 x$$، عامل‌ها $$2 x$$ و $$(2x+1)$$ هستند، زیرا $$4 x ^ 2 + 2 x = 2 x (2x + 1 )$$.

جملات متشابه و غیرمتشابه

جمله‌های متشابه در یک عبارت جبری، جملاتی هستند که پیکربندی متغیرهای آن‌ها مشابه بوده و توان‌های یکسانی نیز دارند. به‌عبارت بهتر، دو جمله متشابه باشند، متغیر یا متغیرهای یکسانی دارند و هر متغیر به توان مشابهی رسیده است.

برای مثال، دو جمله $$3 x ^ 2$$ و $$4 x ^ 2$$ متشابه‌اند، زیرا هر کدام از این جملات دارای متغیر $$x$$ بوده و توان متغیر آن نیز $$2$$ است. اما جمله‌های $$x$$ و $$x ^ 2$$ متشابه نیستند، زیرا توان‌های متفاوتی دارند. دو جمله $$- 3 y x$$ و $$5 x z$$ نیز جمله‌های متشابه نیستند، زیرا ساختار متغیرهای دو جمله با هم تفاوت دارد.

به‌عنوان یک مثال دیگر، در عبارت جبری $$2xy – 3x + 5xy – 4$$، جملات $$2 x y$$ و $$5 x y$$ جملات متشابه هستند، زیرا هر دو شامل عامل مشترک $$x y$$ هستند. اما دو جمله $$2 x y$$ و $$- 3 x$$ غیرمتشابه هستند، زیرا عوامل مشترکی ندارند و عوامل آن‌ها به‌ترتیب $$x y$$ و $$x$$ هستند. به‌عنوان یک مثال دیگر، در عبارت $$2 a^{2} b-7 a b-4 b a^{2}$$، جملات $$2 a^{2} b$$ و $$-4 b a^{2}$$ متشابه هستند، اما جملات $$-7 a b$$ و $$2 a^{2} b$$ غیرمتشابه‌اند.

جمع عبارت های جبری ساده

برای جمع عبارت های جبری، ابتدا جملات متشابه و غیرمتشابه را تعیین کرده، سپس جمله‌های متشابه را با هم جمع می‌کنیم. با چند مثال، این فرایند را شرح می‌دهیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول جمع عبارت های جبری ساده

فرض کنید می‌خواهیم دو عبارت $$2x + 1$$ و $$4x +3$$ را با هم جمع کنیم. ابتدا جملات متشابه را مشخص می‌کنیم:

• دو جمله $$2x$$ و $$4x$$ متشابه هستند، زیرا متغیر هر دو جمله $$x$$ است.
• همچنین، دو جمله ثابت $$1$$ و $$3$$ متشابه هستند.

اکنون، جملات متشابه را در کنار یکدیگر نوشته و آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم:

$$\begin {align}(2x + 1 ) + (4x + 3) & = \underline{2x} + \underline{\underline {1}} + \underline { 4 x } + \underline{\underline {3}} \\ & = \underline{2x} + \underline{4x} + \underline{\underline {1}} + \underline{\underline { 3 }} \\ & =6 x + 4 \end {align}$$

مثال دوم جمع عبارت های جبری ساده

یک مثال دیگر را با هم بررسی می‌کنیم. فرض کنید می‌خواهیم دو عبارت $$2 x + 3 y - 1$$ و $$-4 x + 8$$ را با هم جمع کنیم. برای این کار، ابتدا جملات متشابه و غیرمتشابه را تعیین می‌کنیم:

• دو جمله $$2x$$ و $$-4x$$ متشابه هستند.
• دو جمله ثابت $$-1$$ و $$8$$ نیز متشابه‌اند.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، جمله $$3y$$ متشابه ندارد. بنابرین، جملات متشابه را با هم جمع کرده و جمله متشابه را به‌تنهایی می‌نویسیم:

$$\begin {align} (2 x + 3 y - 1 )+ (-4 x + 8) & = \underline{ 2 x }\;\; \underline{-4 x}\;\; \underline{\underline{-1}}\;\;\underline{\underline{+8}} + 3y \\ & = 2x -4x -1 + 8 + 3 y \\ & = -2x + 7 + 3 y \end {align}$$

جمع عبارت های جبری توان دار

جمع عبارت های جبری توان‌دار تفاوت آنچنانی با جمع عبارت های جبری ساده ندارد و تنها نکته‌ای که وجود دارد، این است که متغیرها در جملات این عبارت‌ها دارای توان هستد. در ادامه، با مثال‌هایی این موضوع را بررسی می‌کنیم.

مثال اول جمع عبارت های جبری توان دار

اکنون می‌خواهیم ببینیم جمع دو عبارت جبری $$x + 3x y ^ 2+ x y - y^3 +5$$ و $$3 y^3 +8 -10 x y ^2$$ چگونه محاسبه می‌شود. همان‌ گام‌های ساده را طی می‌کنیم. ابتدا باید جملات متشابه را بنویسیم:

• دو جمله $$3x y ^ 2$$ و $$-10 x y ^2$$ متشابه هستند.
• دو جمله $$- y^3$$ و $$3 y^3$$ نیز متشابه هستند.
• دو جمله ثابت $$5$$ و $$8$$ نیز متشابه هستند.

اکنون باید جملات متشابه را با هم جمع کنیم و جملات غیرمتشابه را بدون تغییر بنویسیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\begin {align} &( x + 3x y ^ 2+ x y - y^3 +5) + ( 3 y^3 +8 -10 x y ^2 ) \\ & =( x + \;\underline{3x y ^ 2}\;+ x y\;\underline{\underline{ - y^3}} \;\underline{\underline{\underline{+5}}}) + ( \underline{\underline{3 y^3}} \;\underline{\underline{\underline{+8}}}\; \underline{-10 x y ^2} )\\ & =(3xy^2-10xy^2 ) +(-y^3+3y^3)+(5+8)+x+xy \\& =-7xy^2+2y^3+13+x+xy \end {align}$$

مثال دوم جمع عبارت های جبری توان دار

به‌عنوان یک مثال دیگر، فرض کنید می‌خواهیم دو عبارت $$3 x ^ 2 y z ^ 3 + 2 x yz + 3 y - x^2 y z$$ و $$-4 xyz + x^ 2 y z^ 3 + 4x$$ را با هم جمع کنیم. ابتدا باید عبارت‌های متشابه را مشخص کنیم:

• دو جمله $$3 x ^ 2 y z ^ 3$$ و $$x^ 2 y z^ 3$$ متشابه هستند.
• جملات $$2 x yz$$ و $$-4 xyz$$ نیز متشابه‌اند.

در ادامه، جملات متشابه را با هم جمع می‌کنیم و جملات غیرمتشابه را بدون تغییر می‌نویسیم. بنابراین، داریم:

$$\begin {align} & ( 3 x ^ 2 y z ^ 3 + 2 x yz + 3 y - x^2 y z) + ( -4 xyz + x^ 2 y z^ 3 + 4x ) \\ & = ( 3 x ^ 2 y z ^ 3+x ^ 2 y z ^ 3)+( 2 x yz-4 xyz)+3y-x^2yz+4x \\ & = 4 x ^ 2 y z ^ 3-2xyz+3y-x^2yz+4x \end {align}$$

جمع عبارت های جبری کسری

برای جمع عبارت های جبری کسری باید مخرج مشترک بگیریم، سپس آن‌ها را با هم جمع کنیم. در ادامه، با مثال‌هایی این موضوع را شرح می‌دهیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول جمع عبارت های جبری کسری

می‌خواهیم دو عبارت $$\frac {x + 1 } { 2 }$$ و $$\frac { 2x -3 } { 4}$$ را جمع کنیم. ابتدا باید مخرج مشترک بگیریم. بدین منظور، کوچک‌ترین مضرب مشترک یا همان ک.م.م. دو عدد مخرج، یعنی $$2$$ و $$4$$‌ به‌دست می‌آوریم. ک.م.م. این دو عدد $$4$$ است. بنابراین، جمع را این‌گونه می‌نویسیم:

$$\begin {align} \frac {x + 1 } { 2 }+ \frac { 2x -3 } { 4}& = \frac {2 \times (x+1)}{2\times 2} + \frac {2x-3}{4}\\ & = \frac {2x+2}{ 4 } + \frac {2x-3}{4}\\ \end {align}$$

برای آشنایی با مخرج مشترک گرفتن، آموزش «مخرج مشترک چیست ، چگونه مخرج مشترک بگیریم؟ — به زبان ساده» را ببینید.

حال به دو عبارت جبری کسری رسیده‌ایم که مخرج برابر دارند و به‌سادگی می‌توانیم آن‌ها را جمع کنیم. بدین منظور، مخرج را می‌نویسیم و صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم. برای آشنایی با جمع کسرها، به آموزش «جمع کسرها — آموزش کامل به زبان ساده + حل تمرین» مراجعه کنید.

برای جمع صورت‌ها، مانند جمع‌ عبارت‌های جبری ساده عمل می‌کنیم و جملات متشابه را مشخص کرده، سپس با هم جمع می‌کنیم. در واقع، اکنون دو عبارت $$\frac {2x+2}{ 4 }$$ و $$\frac {2x-3}{4}$$‌ را داریم. جمله‌های متشابه صورت را می‌نویسیم:

• دو جمله $$2x$$ و $$2 x$$ متشابه هستند.
• دو جمله ثابت $$2$$ و $$-3$$ نیز متشابه‌اند.

اکنون جملات متشابه را با هم جمع می‌کنیم:

$$\begin {align} \frac {x + 1 } { 2 }+ \frac { 2x -3 } { 4}& = \frac {2x+2}{ 4 } + \frac {2x-3}{4}\\ &= \frac{(2x +2)+(2x-3)}{4} \\& =\frac {(2x +2x)+(2-3) }{4}\\& = \frac {4x-1}{4} \end {align}$$

مثال دوم جمع عبارت های جبری کسری

می‌خواهیم جمع زیر را انجام دهیم:

$$\frac {xy +x ^2 + y } { 3 }+ \frac { x^2 -xy +3 } { 4}$$

ابتدا مخرج مشترک می‌گیریم تا مخرج دو کسر برابر شود. ک.م.م. دو عدد $$3$$ و $$4$$ عدد $$12$$ است. بنابراین، دو کسر به‌صورت زیر در می‌آیند:

$$\begin {align}\frac {xy +x ^2 + y } { 3 }+ \frac { x^2 -xy +3 } { 4} & = \frac {4\times (xy +x ^2 + y) } { 4\times 3}+ \frac {3 \times ( x^2 -xy +3 )} {3\times 4}\\ & = \frac {4xy +4x ^2 +4 y } { 12}+ \frac {3x^2 -3xy +9 } {12} \end{align}$$

اکنون دو کسر $$\frac {4xy +4x ^2 +4 y } { 12}$$ و $$\frac {3x^2 -3xy +9 } {12}$$ را با مخرج برابر داریم که برای جمعشان کافی است مخرج را بنویسیم و صورت‌ها را جمع کنیم. برای جمع صورت‌ها، جملات متشابه را می‌نویسیم:

• دو جمله $$4xy$$ و $$-3xy$$ با هم متشابه‌اند.
• دو جمله $$4 x ^ 2$$ و $$3 x ^ 2$$ نیز متشابه هستند.

بنابراین، جمع این دو کسر به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\begin {align} \frac {4xy +4x ^2 +4 y } { 12}+ \frac {3x^2 -3xy +9 } {12} & = \frac {(4xy +4x ^2 +4 y)+(3x^2 -3xy +9)}{12}\\ & = \frac {(\underline {4xy} \;\underline {\underline {+4x ^2}}\; +4 y)+(\underline {\underline {3x^2}}\;\; \underline {-3xy} +9)}{12}\\ & = \frac {(4xy-3xy)+(4x^2+3x^2)+4y+9}{12}\\ & = \frac {xy+7x^2+4y+9}{12} \end{align}$$

مثال های جمع عبارت های جبری

در این بخش، چند مثال از جمع عبارت های جبری را بررسی می‌کنیم.

مثال اول جمع عبارت های جبری

عبارت جبری زیر را ساده کنید:

$$2 ( 4 m + n ) - ( 5 m + 3 n )$$

حل: این کار را به‌سادگی در سه گام انجام می‌دهیم.

۱. ابتدا می‌توانیم عبارت را این‌گونه بنویسیم:

$$\begin {align} & \phantom {000} 2 ( 4 m + n ) - (5 m + 3 n ) \\ & = ( 4 m + n ) + ( 4 m + n ) - ( 5 m + 3 n ) \\ \end {align}$$

۲. سپس، عبارت‌های درون پرانتزها را بیرون آورده و جایی که علامت پشت پرانز منفی است، جمله‌های داخل آن را قرینه می‌کنیم:

$$\begin {align} & \phantom {000} 2 ( 4 m + n ) - ( 5 m + 3 n ) \\ & = ( 4 m + n ) + ( 4 m + n ) - ( 5 m + 3 n ) \\ & = 4 m + n +4 m + n - 5 m - 3 n \\ \end {align}$$

۳. جمله‌های متشابه را ساده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\begin {align} & \phantom {000} 2 ( 4 m + n ) - ( 5 m + 3 n ) \\ & = ( 4 m + n ) + ( 4 m + n ) - ( 5 m + 3 n ) \\ & = 4 m + n + 4 m + n - 5 m - 3 n \\ & = 4 m + 4 m - 5 m + n + n - 3 n \\ & = 3 m - n \end {align}$$

مثال دوم جمع عبارت های جبری

عبارت جبری زیر را ساده کنید.

$$[ ( 3 - x ) ( x + 2 ) + ( - x + 4 ) ( 7 x + 2 ) - ( x - y ) ( 2 x - y ) ] - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 5$$

حل: طبق آنچه گفتیم، این عبارت به‌صورت زیر ساده می‌شود:

$$\begin {aligned} & [ ( 3 - x ) ( x+ 2 ) + ( - x + 4 ) ( 7 x + 2 ) - ( x - y ) ( 2 x - y ) ] - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 \\ & = \left [ \left ( 3 x + 6 - x ^ { 2 } - 2 x \right ) + \left ( - 7 x ^{ 2 } - 2 x + 2 8 x + 8 \right ) - \left ( 2 x ^ { 2 } - x y - 2 y x + y ^ { 2 } \right ) \right ] - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 \\ & = \left [ - x ^ { 2 } + x + 6 - 7 x ^ { 2 } + 2 6 x + 8 - 2 x ^ { 2 } + x y + 2 y x - y ^ { 2 } \right ] - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 \\ & = \left [ \left ( - x ^ { 2 } - 7 x ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right ) + ( x y + 2 y x ) + ( x + 2 6 x ) + 6 + 8 - y ^ { 2 } \right ] - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 \\ & = - 1 0 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 7 x - y ^ { 2 } + 1 4 - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 \\ & = - 1 3 x ^ { 2 } + 3 x y - y ^ { 2 } + 2 0 x + 1 9 \end {aligned}$$

مثال سوم جمع عبارت های جبری

جمع سه عبارت $$2 m ^ 2 + m n - 7 n$$ و $$3 m ^ 2 +7 m n + 5 n$$ و $$-5mn + n$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا جمع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$( 2 m ^ 2+m n - 7 n ) + ( 3 m ^ 2 + 7 m n + 5 n ) + ( -5m n +n )$$

سپس جمله‌های متشابه را در کنار هم می‌نویسیم:

$$( 2 m ^ 2 + 3 m ^ 2 ) + ( m n + 7 m n - 5 m n ) + ( - 7 n + 5 n + n )$$

در نهایت، جمله‌های متشابه را با هم جمع می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$5 m ^ 2 +3 m n - n$$

این جمع به‌شکل ساده به‌صورت زیر است:

مثال چهارم جمع عبارت های جبری

حاصل‌جمع دو عبارت $$2 x ^ 2 + 3 x − 4 y + 7$$ و $$5 x + 4 y − 3$$‌ را محاسبه کنید.

حل: این مثال را به‌شکل بصری دیگری می‌نویسیم. بدین صورت که جملات متشابه را زیر هم می‌نویسیم، سپس آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم.

مثال پنجم جمع عبارت های جبری

محیط مثلث شکل زیر را محاسبه کنید.

همان‌طور که می‌دانیم، محیط مثلث برابر با مجموع اضلاع آن است. در مثلث شکل بالا، اضلاع به‌صورت عبارات جبری داده شده است. برای محاسبه محیط مثلث، این اضلاع را با هم جمع می‌کنیم:

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم

برای آشنایی بیشتر با مباحث درس ریاضی پایه هفتم، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس را مشاهده کنید که در ۱۳ ساعت و ۳ دقیقه تدوین شده و همه مباحث ۱۴ درس کتاب درسی را به‌طور کامل پوشش می‌دهد. در فصل یکم این آموزش، راهبردهای حل مسئله معرفی می‌شود. فصل دوم درباره عددهای صحیح است. فصل سوم درباره جبر و معادله است. در فصل چهارم به هندسه و استدلال پرداخته شده است. موضوع فصل ششم سطح و حجم است. در فصل هفتم به توان و جذر پرداخته شده است. فصل هشتم به بردار و مختصات اختصاص یافته است و در نهایت، آمار و احتمال در فصل نهم معرفی می‌شود.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم + اینجا کلیک کنید.

جمع‌بندی

در این آموزش از مجله فرادرس، با نحوه جمع عبارت‌های جبری آشنا شدیم. همچنین، مثال‌های متنوعی را برای یادگیری بهتر این موضوع بیان کردیم.