تقریب مرتبه دوم تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب گذشته مجله فرادرس در مورد مفهوم بسط تیلور و همچنین مشتق بحث شد. یکی از کابرد‌های بسط تیلور، استفاده از آن در محاسبه تقریب توابع است. با استفاده از تقریب تابع می‌توان شکل یک تابع را به صورتی ساده‌تر بیان کرد. ساده‌تر شدن تابع نیز در مسائل فیزیکی و ریاضی، خصوصا رفع ابهام حد، کاربرد بسیاری دارد. بدیهی است که هرچه مرتبه تقریب یک تابع بیشتر باشد، دقت تقریب نیز بالاتر خواهد بود. از این رو در این مطلب قصد داریم تا تقریب مرتبه دوم تابع را توضیح دهیم.

تقریب خطی

به‌منظور بدست آوردن تقریب خطی در ابتدا تابعی به شکل زیر را در نظر بگیرید.

خط‌چین‌های قرمز رنگ در شکل فوق نشان‌دهنده تقریب خطی تابع سبز‌ رنگ است. در حقیقت خط $$y$$ تقریبی مناسب از تابع $$f$$ را در نزدیکی نقطه $$x _ 0$$ ارائه می‌دهد. هرچه که از نقطه مذکور دورتر شوید، فاصله مقدار تخمینی با مقدار اصلی ($$f$$) نیز بیشتر است.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

رابطه مربوط به تقریب خطی تابع $$f ( x )$$ در نقطه $$x _ 0$$ نیز برابر است با:

$$f ( x ) \approx f \left( x _ { 0 } \right) + f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) \left ( x - x _ { 0 } \right)$$

مثال ۱

تقریب خطی تابع $$y = \ln x$$ را در نقطه $$x _ 0 = 1$$ بدست آورید.

برای بدست آوردن تقریب خطی، در ابتدا باید مقدار تابع و همچنین مشتق آن را در نقطه $$x _ 0$$ بیابید. در قدم بعد، با استفاده از رابطه بیان شده در بالا، تقریب خطی مربوط به آن بدست می‌‌آید. در نتیجه تقریب خطی این تابع در نقطه مذکور برابر است با:

$$\begin {aligned} f ( 1 ) & = \ln 1 = 0 ; \quad f ^ { \prime }( 1 ) = \left. \frac { 1 } { x } \right| _ { x = 1 } = 1 \\ \ln x & \approx f ( 1 ) + f ^ { \prime}( 1 ) ( x - 1 ) = 0 + 1 \cdot ( x - 1 ) = x - 1 \end {aligned}$$

در ادامه $$5$$ مورد از تقریب‌های پرکاربرد با فرض $$x _ 0 = 0$$ و $$| x | < < 1$$ ارائه شده‌اند.

$$\begin {array} { l } { \text { 1. } \sin x \approx x \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \\ { \text { 2. } \cos x \approx 1 \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \\ {\text { 3. } e ^ { x } \approx 1 + x \quad \text { (if } x \approx 0 )} \\ {\text { 4. } \ln ( 1 + x ) \approx x \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \\ {\text { 5. } ( 1 + x ) ^ { r } \approx 1 + r x \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \end {array}$$

برای درک بهتر، تقریب شماره $$1$$ یا $$\sin x$$ را در این جا اثبات می‌کنیم. بدین منظور در ابتدا تابع $$f ( x ) = \sin x$$ را در نظر بگیرید. در این صورت مشتق آن نیز برابر با $$f ^ { \prime } ( x ) = \cos x$$ است. همچنین مقدار تابع در صفر برابر با $$f ( 0 ) = 0$$ محاسبه می‌شود. در نتیجه می‌توان گفت:

$$f ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , f ( x ) \approx f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) ( x - 0 ) = 0 + 1 . x$$

حال با فرض $$f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$$ تابع $$f$$ برابر می‌شود با:

$$\color {white} {f ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , f ( x ) \approx f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) ( x - 0 ) = 0 + 1 . x} f ( x ) = x \color {white} {f ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , f ( x ) \approx f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) ( x - 0 ) = 0 + 1 . x}$$

به‌منظور اثبات مورد $$5$$ نیز می‌توان به‌ترتیب زیر عمل کرد:

$$\begin{aligned} f ( x ) & = ( 1 + x ) ^ { r } ; \quad f ( 0 ) = 1 \\ f^{\prime}(0) & = \left.\frac { d } { d x } ( 1 +x ) ^ { r } \right| _ { x = 0 } =\left.r(1+x)^{r-1}\right| _ { x = 0 } = r \\ f(x) & = f ( 0 ) + f ^ { \prime} ( 0 ) x = 1 + r x \end{aligned}$$

در شکل زیر نیز تقریب خطی دو تابع $$\sin x$$ و $$\cos x$$ در نقطه $$x _ 0 = 0$$ نشان داده شده‌اند.

مثال ۲

تقریب خطی تابع زیر را در نزدیکی نقطه $$x = 0$$ بدست آورید.

$$\color {white} {f ( x ) = \frac { e ^ { - 2 x } } { \sqrt { 1 + x } } } f ( x ) = \frac { e ^ { - 2 x } } { \sqrt { 1 + x } } \color {white} {f ( x ) = \frac { e ^ { - 2 x } } { \sqrt { 1 + x } } }$$

همان‌طور که گفته شد در ابتدا باید مشتق تابع در نقطه $$0 = x$$ یافته شود. بدین منظور می‌توان مشتق $$f$$ را محاسبه کرده و مقدار آن را در صفر بدست آورد. اما روش دوم به‌منظور بدست آوردن تقریب تابع، نوشتن جداگانه تقریب‌های صورت و مخرج و جایگذاری آن‌ها است. در نتیجه در ابتدا تقریب صورت را مطابق با رابطه زیر می‌نویسیم.

$$\color {white} {e ^ { - 2 x } \approx 1 + ( - 2‌ x ) } e ^ { - 2 x } \approx 1 + ( - 2‌ x ) \color {white} {e ^ { - 2 x } \approx 1 + ( - 2‌ x ) }$$

بطور مشابه تقریب مخرج نیز برابر است با:

$$\sqrt { 1 + x } = ( 1 + x ) ^ { 1 / 2 } \approx 1 + \frac { 1 } { 2 } x$$

با جایگذاری تقریب‌های صورت و مخرج، به عبارت زیر خواهیم رسید.

$$\sqrt { 1 + x } = ( 1 + x ) ^ { 1 / 2 } \approx 1 + \frac { 1 } { 2 } x$$

از طرفی ترم سمت راست که به توان منفی رسیده را نیز می‌توان به صورت زیر در نزدیکی $$x = 0$$ تقریب زد (برای نوشتن تقریب زیر از تقریب $$( 1 + u ) ^ { - 1 } \approx 1 - u$$ در نزدیکی صفر استفاده شده).

$$\left( 1 + \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { - 1 } \approx 1 - \frac { 1 } { 2 } x$$

با استفاده از تقریب فوق، عبارت کسری حذف شده و نهایتا تقریب تابع در نزدیکی $$x = 0$$، مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\frac { e ^ { - 2 x } } { \sqrt { 1 + x } } \approx ( 1 - 2 x ) \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } x \right) = 1 - 2 x - \frac { 1 } { 2 } x + 2 \left( \frac { 1 } { 2 } \right) x ^ { 2 }‌$$

تقریب‌ها می‌توانند مراتب مختلفی داشته باشند. هرچه مرتبه تقریب بالاتر باشد، دقت آن نیز بیشتر است. حال که با مفهوم تقریب یک تابع در نزدیکی یک نقطه آشنا شدید، تقریب مرتبه دوم را توضیح می‌دهیم.

تقریب مرتبه دوم تابع

بدیهی است که بدست آوردن تقریب مرتبه دوم یک تابع، مشکل‌تر به‌نظر می‌رسد. این تقریب تنها زمانی استفاده می‌شود که به دقت بالاتری نیاز باشد. فرمول کلی محاسبه تقریب مرتبه دوم یک تابع در نقطه‌ای همچون $$x _ 0$$ به شکل زیر است.

$$f ( x ) \approx f \left( x _ { 0 } \right) + f ^ { \prime} \left( x _ { 0 } \right) \left( x - x _ { 0 } \right) + \frac { f ^ { \prime \prime } \left( x _ { 0 } \right) } { 2 } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } \quad \left( x \approx x _ { 0 } \right)$$

فیلم آموزش محاسبات عددی با متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

تفسیر هندسی رابطه فوق به این صورت است که فرمول تقریب مرتبه دوم بهترین و نزدیک‌ترین سهمی به تابع را در نقطه $$x _ 0$$ به ما می‌دهد (در ادامه نمودار تقریب مرتبه دوم تابع $$\cos x$$ ترسیم شده است).

برای نمونه فرض کنید هدف بدست آوردن تقریب مرتبه دوم تابع $$f ( x ) = \cos ( x )$$ است. این تقریب برابر است با:

$$\begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = - \sin (x) \quad \Longrightarrow \quad f ^ { \prime} ( 0 ) = - \sin ( 0 ) = 0 \\ f ^ { \prime \prime } ( x ) & = -\cos ( x ) \quad \Longrightarrow \quad f ^ { \prime \prime} ( 0 ) = - \cos ( 0 ) = - 1 \\ \cos (x) & \approx 1+0 \cdot x-\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } = 1 - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \end {aligned}$$

شاید از خود سئوال کنید که ضریب $$\frac { 1 } { 2 }$$ قرار گرفته پشت $$x ^ 2$$ از کجا آمده است. این ضریب در حقیقت در ترم مرتبه دوم بسط تیلور کسینوس نیز ظاهر می‌شود. برای درک بهتر، تابع زیر به همراه مشتقاتش را در نظر بگیرید.

$$f ( x ) = a + b x + c x ^ { 2 } ; \quad f ^ { \prime } ( x ) = b + 2‌ c x; \quad f ^ { \prime \prime } ( x ) = 2 c$$

با فرض $$x _ 0 = 0$$، داریم:

$$\begin {aligned} f ( 0 ) & = a + b \cdot 0+c \cdot 0 ^ { 2 } \quad \Longrightarrow \quad a = f ( 0 ) \\ f ^ { \prime} ( 0 ) & = b + 2 c \cdot‌ 0 = b \\ f ^ { \prime \prime} ( 0 ) & = 2 c \quad \Longrightarrow \quad c = \frac{f^{\prime \prime } ( 0 ) } { 2 } \end {aligned}$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید با فرض تابع کسینوس از مرتبه دو، ضریب $$c$$ برابر با $$\frac { 1 } { 2 }$$ بدست می‌‌آید. در شکل زیر تابع $$\cos x$$ به همراه تقریب مرتبه دوم آن نشان داده شده است.

در ادامه نیز تقریب مرتبه دوم چند تابع ارائه شده است.

$$\begin {array} { l } { \text { 1. } \sin x \approx x \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \\ {\text { 2. } \cos x \approx 1-\frac { x ^ { 2 } } { 2 } \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \\ {\text { 3. } e^{x} \approx 1 + x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \\ {\text { 4. } \ln (1+x) \approx x-\frac{1}{2} x ^ { 2 } \quad \text { (if } x \approx 0 )} \\ {\text { 5. } ( 1 + x ) ^ { r } \approx 1 + r x + \frac { r ( r - 1 ) } { 2 } x ^ { 2 } \quad \text { (if } x \approx 0 ) } \end{array}$$

برای اثبات هریک از موارد فوق کافی است مشتقات مرتبه اول و دوم آن‌ها را محاسبه کنید. برای نمونه مورد تقریب شماره ۴ در ادامه اثبات شده است.

$$\begin {aligned} f ( x ) & = \ln ( 1 + x ) \quad \Longrightarrow \quad f ( 0 ) = \ln 1 = 0 \\ f ^ { \prime } ( x ) & = [\ln (1+x)]^{\prime}=\frac{1}{1+x} \quad \Longrightarrow \quad f ^ { \prime } ( 0 ) = 1 \\ f ^ { \prime \prime}(x) &=\left ( \frac { 1 } { 1 + x } \right) ^ { \prime } = \frac { - 1 } { ( 1 + x ) ^ { 2 } } \quad \Longrightarrow \quad f ^ { \prime \prime} ( 0 ) = - 1 \end {aligned}$$

$$\Rightarrow \ln ( x + 1 ) = x - \frac { 1 } { 2 } x ^ 2$$

مثال ۳

تقریبِ مرتبه دوم تابعِ ارائه شده در مثال ۲ را در نزدیکی نقطه $$x = 0$$ بیابید.

فیلم آموزش محاسبات عددی و آماری با برنامه نویسی در R – مقدماتی در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که بیان شد به منظور محاسبه تقریب، در ابتدا باید مشتقات تابع را بیابید. اما همچون مثال ۲ می‌توان تقریب هریک از ترم‌ها را تا مرتبه دو بیان کرده و با قرار دادن آن‌ها در تابع اصلی، تقریب مرتبه دومِ کل کسر را بدست آورد. بدین منظور در ابتدا تابع را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$f ( x ) = e ^ { - 2 x }( 1 + x ) ^ { - 1 / 2 }$$

در مرحله بعد تقریب‌های مرتبه دوم هریک از ترم‌های ضرب شده در هم را بدست می‌آوریم.

توجه داشته باشید که در نوشتن تقریب هریک از عبارات، از جمله مرتبه سوم صرف نظر شده است. با انجام این کار تقریب مرتبه دوم تابع $$f ( x )$$ برابر می‌شود با:

$$\begin {aligned} f ( x ) & \approx \left( 1 - 2 x + \frac { 1 } { 2 } ( - 2 x ) ^ { 2 } \right) \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } x + \left( \frac { \left( - \frac { 1 }{ 2 } \right) \left( - \frac { 1 } { 2 } - 1 \right) } { 2 } \right) x ^ { 2 } \right) \\ f ( x ) & \approx 1-2 x - \frac { 1 } { 2 } x + ( - 2 )\left(-\frac{1}{2}\right) x^{2}+2 x ^{ 2 } + \frac { 3 }{ 8 } x ^ { 2 } = 1 - \frac { 5 } { 2 } x + \frac { 27 } { 8 } x ^ { 2 } \end{aligned}$$

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس فیزیک
• سری تیلور — از صفر تا صد
• مشتق — به زبان ساده
• مشتق ضمنی — به زبان ساده

^^