انتگرال گاوسی – از صفر تا صد

۶۲۸۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۷ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۲ دقیقه
دانلود PDF مقاله
انتگرال گاوسی – از صفر تا صدانتگرال گاوسی – از صفر تا صد

تابع گاوسی f(x)=ex2f ( x ) = e ^ {-x ^ 2 } یکی از مهم‌ترین توابع در ریاضیات و علوم دیگر است. نمودار زنگوله‌ای شکل این تابع، از توزیع نرمال در آمار تا موقعیت بسته‌های موج ذره در مکانیک کوانتومی وجود دارد. در این آموزش، با انتگرال گاوسی آشنا می‌شویم.

997696

انتگرال‌گیری از توابع گاوسی، یک کار بسیار معمول و رایج است، اما انجام آن با روش‌های حسابان مقدماتی کار دشواری است. به عبارت بهتر، با هیچ‌یک از روش‌های تغییر متغیر، انتگرال‌گیری جزء به جزء، جانشینی مثلثاتی و... نمی‌توان این انتگرال‌ها را به سادگی محاسبه کرد. در واقع، پادمشتق گاوسی، یعنی تابع خطا (Error Function) را نمی‌توان برحسب توابع مقدماتی نوشت. با وجود این، یک جواب دقیق برای انتگرال معین این تابع وجود دارد. در ادامه، روش محاسبه انتگرال گاوسی را بیان می‌کنیم.

انتگرال گاوسی

در این بخش، طی چند مرحله، انتگرال تابع گاوسی را محاسبه می‌کنیم:

ex2dx\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - x ^ 2 } \, d x

انتگرال را به صفحه xyx y گسترش می‌دهیم. دلیل این امر آن است که می‌خواهیم مسئله را به حل یک انتگرال دوگانه تبدیل کنیم که به آسانی قابل حل است. بنابراین، انتگرال را به صورت زیر نوشته و در پایان، از آن جذر می‌گیریم:

(ex2dx)2=ex2dxey2dy\large \left ( \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { -x ^ 2 } \, d x \right ) ^ 2 = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - x ^ 2 } \, d x \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - y ^ 2 } \, d y

در انتگرال بالا، برای ساده‌سازی می‌توانیم از رابطه r2=x2+y2r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 استفاده کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، انتگرال سطحی یک مستطیل قطبی به فرم rdrdθr d r d \theta است که در آن، rr برای تطابق مقیاس زاویه با طول‌ها است. این rr انتگرال را بسیار ساده می‌کند. بنابراین، انتگرال را به صورت زیر می‌نویسیم (برای مطالعه بیشتر، می‌توانید به آموزش انتگرال در مختصات قطبی مراجعه کنید):

ex2dxey2dy=dxdye(x2+y2)=0rdr02π  dθer2\large \begin {align*} \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - x ^ 2 } \, d x \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - y ^ 2 } \, d y & = \int _ { - \infty } ^ {\infty} d x \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \, d y e ^ { -( x ^ 2 + y^ 2 ) } \\ &= \int _ { 0 } ^ { \infty } r \, d r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \; d \theta e ^ { - r ^ 2 } \end {align*}

اکنون از تغییر متغیر u=r2u = r ^ 2 استفاده می‌کنیم. در نتیجه، دیفرانسیل du=2rdrd u = 2 r dr را خواهیم داشت. از آنجایی که انتگرال‌ده به θ\theta وابسته نیست، می‌توانیم مقدار انتگرال θ\theta را سریعاً محاسبه کنیم:

0rdr02πdθer2=2π0rer2dr,      u=r2=π0eudu=π(e+e0)=π\large \begin {align*} \int _ { 0 } ^ { \infty } r \, d r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta e ^ { - r ^ 2 } & = 2 \pi \int _ { 0 } ^ {\infty } r e ^ {- r ^ 2 } d r , \; \; \; u = r ^ 2 \\ &= \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ {-u} d u \\ & = \pi (-e ^ {- \infty } + e ^ 0 ) \\ & = \pi \end {align*}

از آنجایی که مقدارِ به دست آمده برای مجذور انتگرال گاوسی است، باید از آن جذر بگیریم. بنابراین، داریم:

ex2dx=π\large \int _ { -\infty } ^ { \infty } e ^ {-x ^ 2} dx = \sqrt {\pi}

یکی از ویژگی‌های مهم تابع گوسی، زوج بودن آن است. در نتیجه، می‌توان نوشت:

ex2dx=20ex2dx=2π2\large \int _ { -\infty } ^ { \infty } e ^ {-x ^ 2} dx = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ {-x ^ 2} dx = 2 \cdot \frac { \sqrt {\pi}}{2}

انتگرال تابع گاوسی عمومی

تابع گاوسی عمومی با پارامترهای aa و σ\sigma تعیین می‌شود که aa یک ثابت (بهنجارش) است و ارتفاع منحنی زنگوله‌ای را مشخص می‌کند. همچنین، σ\sigma انحراف معیار است که پهنای منحنی را نشان می‌دهد:

f(x)=aex22σ2\large f ( x ) = a e ^ {- \frac { x ^ 2 } { 2 \sigma ^ 2 } }

با طی فرایندی مشابه مراحل بالا، می‌توان نشان داد که انتگرال تابع گاوسی عمومی به صورت زیر است:

aex22σ2dx=aσ2π\large \int _ { -\infty } ^ { \infty } a e ^ {- \frac {-x ^ 2}{ 2 \sigma ^ 2} } dx = a \sigma \sqrt {2 \pi}

یک راه دیگر برای فرمول‌بندی مسئله، این است که اگر یک گاوسی به فرم eαx2e ^ {- \alpha x ^ 2 } داشته باشیم، انتگرال آن به صورت زیر خواهد بود:

eαx2dx=πα\large \int _ { -\infty } ^ { \infty } e ^ {{- \alpha x ^ 2} } dx = \sqrt \frac {\pi} { \alpha }

در بسیاری از کاربردها، لازم است که مساحت گاوسی را برابر با ۱ قرار دهیم. در این حالت، aσ2π=1a \sigma \sqrt { 2 \pi} = 1 و آن را برای aa حل می‌کنیم:

a=1σ2π\large a = \frac { 1 } { \sigma \sqrt {2 \pi}}

عبارت بالا، گاوسیِ نرمال شده است و در بسیاری از کاربردها مانند نظریه احتمال و مکانیکی کوانتومی کاربرد دارد:

f(x)=1σ2πex22σ2\large f ( x ) = \frac { 1 } { \sigma \sqrt {2 \pi} } e ^ {{- \frac {x ^ 2 } { 2 \sigma ^ 2 }}}

فرمول‌های انتگرال توابع گاوسی

در این بخش، فهرستی از انتگرال‌هایی را بیان می‌کنیم که کاربردهای فراوانی در مسائل مختلف دارند.

در این انتگرال‌ها که در ادامه می‌آیند، تابع توزیع نرمال چگالی احتمال به صورت زیر است:

ϕ=12πe12x2\large \phi = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi} } e ^ {- \frac {1} { 2} x ^ 2 }

همچنین، تابع زیر، تابع توزیع تجمعی مربوط به آن است:

Φ(x)=xϕ(t)dt=12(1+erf(x2))\large \Phi ( x ) = \int _ { – \infty} ^ x \phi ( t ) d t = \frac 1 2 \big ( 1 + \operatorname {erf} \big ( \frac { x }{ \sqrt { 2 } } \big ) \big )

که در آن erf\text{erf}، تابع خطا و T(h,a)=ϕ(h)0aϕ(hx)1+x2dxT ( h , a ) = \phi ( h ) \int _ 0 ^ a \frac { \phi ( h x ) } { 1 +x ^ 2 } \, d x است.

انتگرال‌های نامعین

در فرمول‌های زیر، !!!! فاکتوریل دوگانه را نشان می‌دهد.

ϕ(x)dx=Φ(x)+C\large \int \phi ( x ) \, d x = \Phi ( x ) + C

xϕ(x)dx=ϕ(x)+C\large \int x \phi ( x ) \, d x = - \phi ( x ) + C

x2ϕ(x)dx=Φ(x)xϕ(x)+C\large \int x ^ 2 \phi ( x ) \, d x = \Phi ( x ) - x \phi ( x ) + C

x2k+1ϕ(x)dx=ϕ(x)j=0k(2k)!!(2j)!!x2j+C\large \int x ^ { 2 k + 1 } \phi ( x ) \, d x = -\phi ( x ) \sum _ { j = 0 } ^ k \frac { ( 2 k ) ! ! } { ( 2 j ) ! ! } x ^ { 2 j } + C

x2k+2ϕ(x)dx=ϕ(x)j=0k(2k+1)!!(2j+1)!!x2j+1+(2k+1)!!Φ(x)+C\large \int x ^ { 2 k + 2 } \phi ( x ) \, d x = -\phi ( x ) \sum _ { j = 0 } ^ k \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { ( 2 j + 1 ) ! ! } x ^ { 2 j + 1 } + ( 2 k + 1 ) ! ! \, \Phi ( x ) + C

ϕ(x)2dx=12πΦ(x2)+C\large \int \phi ( x ) ^ 2 \, d x = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } \Phi \left ( x \sqrt { 2 } \right ) + C

ϕ(x)ϕ(a+bx)dx=1tϕ(at)Φ(tx+abt)+C,t=1+b2\large \int \phi ( x ) \phi ( a + b x ) \, d x = \frac { 1 } { t } \phi \left ( \frac { a } { t } \right ) \Phi \left ( t x + \frac { a b }{ t } \right ) + C , \qquad t = \sqrt { 1 + b ^ 2 }

xϕ(a+bx)dx=1b2(ϕ(a+bx)+aΦ(a+bx))+C\large \int x \phi ( a + b x ) \, d x = - \frac { 1 }{ b ^ 2 } \left ( \phi ( a + b x ) + a \Phi ( a + b x ) \right ) + C

x2ϕ(a+bx)dx=1b3((a2+1)Φ(a+bx)+(abx)ϕ(a+bx))+C\large \int x ^ 2 \phi ( a + b x ) \, d x = \frac { 1 } { b ^ 3 } \left ( ( a ^ 2 + 1 ) \Phi ( a + b x ) + ( a - b x ) \phi ( a + b x ) \right ) + C

ϕ(a+bx)ndx=1bn(2π)n1Φ(n(a+bx))+C\large \int \phi ( a + b x ) ^ n \, d x = \frac { 1 } { b \sqrt { n ( 2 \pi ) ^ { n - 1 } } } \Phi \left ( \sqrt { n } ( a +b x ) \right ) + C

Φ(a+bx)dx=1b((a+bx)Φ(a+bx)+ϕ(a+bx))+C\large \int \Phi ( a + b x ) \, d x = \frac { 1 } { b } \left ( ( a + b x ) \Phi ( a + b x ) + \phi ( a + b x ) \right ) + C

xΦ(a+bx)dx=12b2((b2x2a21)Φ(a+bx)+(bxa)ϕ(a+bx))+C\large \int x \Phi ( a + b x ) \, d x = \frac { 1 }{ 2 b ^ 2 } \left ( ( b ^ 2 x ^ 2 - a ^ 2 - 1 ) \Phi ( a + b x ) + ( b x -a ) \phi ( a + b x ) \right ) + C

x2Φ(a+bx)dx=13b3((b3x3+a3+3a)Φ(a+bx)+(b2x2abx+a2+2)ϕ(a+bx))+C\large \int x ^ 2 \Phi ( a + b x ) \, d x = \frac { 1 } { 3 b ^ 3 } \left ( ( b ^ 3 x ^ 3 + a ^ 3 + 3 a ) \Phi ( a + b x ) + ( b ^ 2 x ^ 2 - a b x + a ^ 2 + 2 ) \phi ( a + b x ) \right ) + C

xnΦ(x)dx=1n+1((xn+1nxn1)Φ(x)+xnϕ(x)+n(n1)xn2Φ(x)dx)+C\large \int x ^ n \Phi ( x ) \, d x = \frac { 1 } { n + 1 } \left ( \left ( x ^ { n + 1 } - n x ^ { n - 1 } \right ) \Phi ( x ) + x ^ n \phi ( x ) + n ( n - 1 ) \int x ^ { n - 2 } \Phi ( x ) \, d x \right ) + C

xϕ(x)Φ(a+bx)dx=btϕ(at)Φ(xt+abt)ϕ(x)Φ(a+bx)+C,t=1+b2\large \int x \phi ( x ) \Phi ( a + b x ) \, d x = \frac { b } { t } \phi \left ( \frac { a } { t } \right ) \Phi \left ( x t + \frac { a b } { t } \right ) - \phi ( x ) \Phi ( a + b x ) + C , \qquad t = \sqrt { 1 + b ^ 2 }

Φ(x)2dx=xΦ(x)2+2Φ(x)ϕ(x)1πΦ(x2)+C\large \int \Phi ( x ) ^ 2 \, d x = x \Phi ( x ) ^ 2 + 2 \Phi ( x ) \phi ( x ) - \frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \Phi \left ( x \sqrt { 2 } \right ) + C

ecxϕ(bx)ndx=ec22nb2bn(2π)n1Φ(b2xncbn)+C,b0,n>0\large \int e ^ { c x } \phi ( b x ) ^ n \, d x = \frac { e ^ { \frac { c ^ 2 } { 2 n b ^ 2 } } } { b \sqrt { n ( 2 \pi ) ^ { n - 1 } } } \Phi \left ( \frac { b ^ 2 x n -c } { b \sqrt { n } } \right ) + C , \qquad b \ne 0 , n > 0

انتگرال‌های معین

x2ϕ(x)ndx=1n3(2π)n1\large \int _ { - \infty } ^ \infty x ^ 2 \phi ( x ) ^ n \, d x = \frac { 1 } { \sqrt { n ^ 3 ( 2 \pi ) ^ { n - 1 } } }

0ϕ(ax)Φ(bx)dx=12πa(π2arctan(ba))\large \int _ { - \infty } ^ 0 \phi ( a x ) \Phi ( b x ) d x = \frac { 1 } { 2 \pi | a | } \left ( \frac { \pi } { 2 } -\arctan \left ( \frac { b } { | a | } \right ) \right )

0ϕ(ax)Φ(bx)dx=12πa(π2+arctan(ba))\large \int _ 0 ^ { \infty } \phi ( a x ) \Phi ( b x ) \, d x = \frac { 1 } { 2 \pi | a | } \left ( \frac { \pi } { 2 } + \arctan \left ( \frac { b } { | a | } \right ) \right )

0xϕ(x)Φ(bx)dx=122π(1+b1+b2)\large \int _ 0 ^ \infty x \phi ( x ) \Phi ( b x ) \, d x = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \left ( 1 + \frac { b } { \sqrt { 1 + b ^ 2 } } \right )

0x2ϕ(x)Φ(bx)dx=14+12π(b1+b2+arctan(b))\large \int _ 0 ^ \infty x ^ 2 \phi ( x ) \Phi ( b x ) \, d x = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \left ( \frac { b } { 1 + b ^ 2 } + \arctan ( b ) \right )

0xϕ(x)2Φ(x)dx=14π3\large \int _ 0 ^ \infty x \phi ( x ) ^ 2 \Phi ( x ) \, d x = \frac { 1 } { 4 \pi \sqrt { 3 } }

0Φ(bx)2ϕ(x)dx=12π(arctan(b)+arctan1+2b2)\large \int _ 0 ^ \infty \Phi ( b x ) ^ 2 \phi ( x ) \, d x = \frac { 1 } { 2 \pi } \left ( \arctan ( b ) + \arctan \sqrt { 1 + 2 b ^ 2 } \right )

Φ(a+bx)2ϕ(x)dx=Φ(a1+b2)2T(a1+b2,11+2b2)\large \int _ { - \infty } ^ \infty \Phi ( a + b x ) ^ 2 \phi ( x ) \, d x = \Phi \left ( \frac { a } { \sqrt { 1 + b ^ 2 } } \right ) - 2 T \left ( \frac { a } { \sqrt { 1 + b ^ 2 } } , \frac { 1 }{ \sqrt { 1 + 2 b ^ 2 } } \right )

xΦ(a+bx)2ϕ(x)dx=2b1+b2ϕ(at)Φ(a1+b21+2b2)\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x \Phi ( a + b x ) ^ 2 \phi ( x ) \, d x = \frac { 2 b } { \sqrt { 1 + b ^ 2 } } \phi \left ( \frac { a } { t } \right ) \Phi \left ( \frac { a }{ \sqrt { 1 + b ^ 2 } \sqrt { 1 + 2 b ^ 2 } } \right )

Φ(bx)2ϕ(x)dx=1πarctan1+2b2\large \int _ { - \infty } ^ \infty \Phi ( b x ) ^ 2 \phi ( x ) \, d x = \frac { 1 } { \pi } \arctan \sqrt { 1 + 2 b ^ 2 }

xϕ(x)Φ(bx)dx=xϕ(x)Φ(bx)2dx=b2π(1+b2)\large \int _ { - \infty } ^ \infty x \phi ( x ) \Phi ( b x ) \, d x = \int _ { - \infty } ^ \infty x \phi ( x ) \Phi ( b x ) ^ 2 \, d x = \frac { b } { \sqrt { 2 \pi ( 1 + b ^ 2 ) } }

Φ(a+bx)ϕ(x)dx=Φ(a1+b2)\large \int _ { - \infty } ^ \infty \Phi ( a + b x ) \phi ( x ) \, d x = \Phi \left ( \frac { a } { \sqrt { 1 + b ^ 2 } } \right )

xΦ(a+bx)ϕ(x)dx=btϕ(at),t=1+b2\large \int _ { - \infty } ^ \infty x \Phi ( a + b x ) \phi ( x ) \, d x = \frac { b } { t } \phi \left ( \frac { a } { t } \right ) , \qquad t = \sqrt { 1 + b ^ 2 }

0xΦ(a+bx)ϕ(x)dx=btϕ(at)Φ(abt)+12πΦ(a),t=1+b2\large \int _ 0 ^ \infty x \Phi ( a + b x ) \phi ( x ) \, d x = \frac { b } { t } \phi \left ( \frac { a } { t } \right ) \Phi \left ( -\frac { a b } { t } \right ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \Phi ( a ) , \qquad t = \sqrt { 1 + b ^ 2 }

ln(x2)1σϕ(xσ)dx=ln(σ2)γln2ln(σ2)1.27036\large \int _ { - \infty } ^ \infty \ln ( x ^ 2 ) \frac { 1 } { \sigma } \phi \left ( \frac { x } { \sigma } \right ) \, d x = \ln ( \sigma ^ 2 ) - \gamma - \ln 2 \approx \ln ( \sigma ^ 2 ) - 1.27036

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۲۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
WikipediaWikiHow
دانلود PDF مقاله
۲ دیدگاه برای «انتگرال گاوسی – از صفر تا صد»

سلام این تابع در این بخش به خوبی و خلاصه معرفی شده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *