انتگرال دوگانه در مختصات قطبی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

همان‌طور که در آموزش مربوط به انتگرال دوگانه گفتیم، انتگرال دوگانه تابع $$f$$ روی سطح $$R$$ به‌صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن، $$dA$$ دیفرانسیل سطح است. حال اگر بخواهیم تابع $$f$$ و ناحیه $$R$$ را در مختصات قطبی $$(r, \theta)$$ بنویسیم، باید ناحیه کوچک $$dA$$ را به‌صورت زیر توصیف کنیم:

توجه کنید که متغیر $$r$$، بخشی از این توصیف است. رابطه بالا، فرمول کلیدی انتگرال‌گیری دوگانه است و با استفاده از این رابطه می‌توان مسائل مختصات قطبی را مشابه مختصات کارتزین حل کرد. در دستگاه مختصات کارتزین، $$dA=dxdy$$ است.

شاید این پرسش پیش آید که رابطه بالا چگونه به‌دست آمده است. در ادامه، نحوه رسیدن به فرمول مورد نظر را بیان می‌کنیم. همان‌گونه که می‌دانیم، یکی از حالت‌های خاص تغییر متغیر، تبدیل از دستگاه مختصات کارتزین به دستگاه مختصات قطبی است:

$$\large x = r\cos \theta ,\;\;y = r\sin \theta .$$

$$\large {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta } \right)}} }<br /> = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\frac{{\partial x}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial x}}{{\partial \theta }}}\\<br /> {\frac{{\partial y}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial \theta }}}<br /> \end{array}} \right| } \\ \large<br /> = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\frac{{\partial \left( {r\cos \theta } \right)}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial \left( {r\cos \theta } \right)}}{{\partial \theta }}}\\<br /> {\frac{{\partial \left( {r\sin \theta } \right)}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial \left( {r\sin \theta } \right)}}{{\partial \theta }}}<br /> \end{array}} \right| }<br /> = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\cos \theta }&{ – r\sin \theta }\\<br /> {\sin\theta }&{r\cos \theta }<br /> \end{array}} \right| } \\ \large<br /> = {\cos \theta \cdot r\cos \theta }-{ \left( { – r\sin \theta } \right) \cdot \sin \theta } \\ \large<br /> = {r\,{\cos ^2}\theta + r\,{\sin ^2}\theta }<br /> = {r\left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right) }={ r.} $$