انتگرال سه گانه در مختصات کروی – به زبان ساده

در ادامه معرفی مفاهیم مرتبط با انتگرال، در این مطلب قصد داریم تا نحوه محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات کروی را توضیح دهیم. البته مفاهیم انتگرال به صورت جامع، در مطلب مجموعه مقالات وبلاگ ارائه شده است. هم‌چنین پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، مطالب مختصات استوانه‌ای، مختصات کروی و انتگرال سه گانه را مطالعه فرمایید.

محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات کروی

پیش‌تر در مطلب انتگرال در مختصات استوانه‌ای، نحوه محاسبه انتگرال را در این مختصات بیان کردیم. همان‌طور که دیدید تنها چالش این محاسبه، تبدیل مختصات از دکارتی به استوانه‌ای است. در محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات کروی نیز دقیقا همین چالش وجود دارد.

در ابتدا اجازه دهید تا مفهوم مختصات استوانه‌ای را یادآوری کنیم. از این رو مطابق با شکل زیر یک نقطه را در فضا در نظر بگیرید.

بنابراین در مختصات کروی، $$\large \rho$$ فاصله از مبدا، $$\large \phi$$ زاویه با محور z و $$\large \theta$$ زاویه تصویرِ $$\large \rho$$ با محور x است. با توجه به شکل فوق و با استفاده از روابط زیر می‌توان مختصات‌ دکارتی را به صورت کروی بیان کرد:

$$\Large \begin {array} { c } x = \rho \sin \varphi \cos \theta \hspace {0.25in} , \ y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace {0.25in} , \ z = \rho \cos \varphi \\ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = { \rho ^ 2 } \end {array}$$

توجه داشته باشید که دو مقدار $$\large \rho , \varphi$$ در بازه‌های زیر محدود هستند.

$$\Large \rho \ge 0 \ \ \ , \hspace {0.5in} 0 \le \varphi \le \pi$$

توجه داشته باشید که به منظور محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات کروی دیفرانسیل‌های حجم یا همان dV به صورت گوه‌ای در نظر گرفته می‌شوند. در ابتدا بازه‌ زیر را در نظر بگیرید.

$$\Large \begin {array} { c } a \le \rho \le b\\ \alpha \le \theta \le \beta \\ \delta \le \varphi \le \gamma \end {array}$$

در شکل زیر محدوده در نظر گرفته شده، ترسیم شده است.

بنابراین ناحیه انتگرال‌گیری در مختصات کروی، در حقیقت نشان دهنده مقطع برخورد یک مخروط با کره است. به منظور محاسبه انتگرال در مختصات کروی در ابتدا باید دیفرانسیل حجمی dV را در این مختصات بیان کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ + حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

در شکل زیر یک دیفرانسیل حجمی نشان داده شده است.

با توجه به شکل فوق به راحتی می‌توان دید که دیفرانسیل حجم برابر است با:

$$\Large d V = { \rho ^ 2 } \sin \varphi \, d \rho \, d \theta \, d \varphi$$

بنابراین حاصل انتگرال سه گانه در مختصات کروی به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \iiint \limits _ { E } { { f \left ( { x , y , z } \right ) \, d V } } = \int _ { { \, \, \delta } } ^ { { \, \gamma } } { { \int _ { { \, \alpha } } ^ { { \,\beta } } { { \int _ { { \,a } } ^ { b } { { { \rho ^ 2 } \sin \varphi \, \, f \left ( { \rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi } \right ) \, d \rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } }$$

شاید ظاهر رابطه فوق پیچیده به نظر برسد، اما می‌توانید با مطالعه مثال‌های زیر به موضوع مسلط شوید.

مثال ۱

حاصل انتگرال زیر را روی نیم‌ کره بالای $$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 1$$ بیابید.

$$\Large \displaystyle \iiint \limits _ { E } { { 1 6 z \, d V } }$$

با توجه به این‌که ناحیه انتگرال‌گیری به صورت نیمکره است، لذا بازه‌ انتگرال‌گیری در مختصات کروی را باید به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\Large \begin {array} { c } 0 \le \rho \le 1\\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ \displaystyle 0 \le \varphi \le \frac { \pi } { 2 } \end {array}$$

در نتیجه حاصل انتگرال سه گانه در مختصات کروی به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$\Large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { 1 6 z \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { { \, \frac { \pi }{ 2 } } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { \int _ { { \, \, 0 } } ^ { 1 } { { { \rho ^ 2 } \sin \varphi \left ( { 1 6 \rho \cos \varphi } \right ) \, d \rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { \pi } { 2 } } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { \int _ { { \, \, 0 } } ^ { { \, 1 } } { { 8 { \rho ^ 3 } \sin \left ( { 2 \varphi } \right ) \, d \rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { \pi } { 2 } } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { 2 \sin \left ( { 2 \varphi } \right ) \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { \pi } { 2 } } } { { 4 \pi \sin \left ( { 2 \varphi } \right ) \, d \varphi } } \\ & = \left. { - 2 \pi \cos \left ( { 2 \varphi } \right ) } \right | _ 0 ^ { \frac { \pi } { 2 } } \\ & = 4 \pi \end {align*}$$

مثال ۲

حاصل انتگرال سه گانه در مختصات کروی را روی ناحیه E بدست آورید. این انتگرال به صورت $$\large \displaystyle \iiint \limits _ { E } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } \, d V } }$$ است. هم‌چنین ناحیه E بخشی از کره $$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 4$$ در نظر گرفته شده که در آن $$\large y \ge 0$$ است. ناحیه بیان شده به صورت زیر است.

در نتیجه بازه‌های انتگرال‌گیری به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند.

$$\large \begin {array} { c } 0 \le \varphi \le \pi \\ 0 \le \theta \le \pi \\ 0 \le \rho \le 2 \end {array}$$

توجه داشته باشید $$\large \varphi$$، زاویه با جهت مثبت محور z و $$\large \theta$$ مقداری است که حول z دوران شده است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با قرار دادن حدود فوق در انتگرال، به عبارت زیر می‌رسیم.

$$\Large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { \pi }{ { \int _ {0 }^{\pi }{{\int_{0}^{2}{{\left[ {{{\left( {\rho \sin \varphi \cos \theta } \right)}^2} + {{\left( {\rho \sin \varphi \sin \theta } \right ) } ^ 2 } } \right]\left( {{\rho ^2}\sin \varphi } \right)\,d\rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int_{0}^{\pi }{{\int_{0}^{\pi }{{\int_{0}^{2}{{\left[ {{\rho ^2}{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\theta + {\rho ^2}{{\sin }^2}\varphi { { \sin } ^ 2 } \theta } \right ] \left ( { { \rho ^ 2 } \sin \varphi } \right ) \, d \rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { \pi }{{\int_{0}^{\pi }{{\int_{0}^{2}{{\left[ {{\rho ^2}{{\sin }^2}\varphi \left ( { { { \cos } ^ 2 } \theta + { { \sin } ^ 2 } \theta } \right ) } \right ] \left ( { { \rho ^ 2 } \sin \varphi } \right ) \, d \rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { \pi } { { \int _ { 0 } ^ { \pi } { { \int _ { 0 } ^ { 2 } { { { \rho ^ 4 } { { \sin } ^ 3 } \varphi \, d \rho } } \, d \theta } } \, d \varphi } } \end {align*}$$

در ابتدا با انتگرال‌گیری روی ρ داریم:

$$\Large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { { x ^ 2 } + { y ^2 } \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { \pi }{ { \int _ { 0 } ^ { \pi } { { \left. { \left ( { \frac { 1 } { 5 } { \rho ^ 5 } { { \sin } ^ 3 } \varphi } \right ) } \right | _ 0 ^ 2 \, d \theta } } \, d \varphi } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { \pi } { { \int _ { 0 } ^ { \pi } { { \frac { { 3 2 } } { 5 } { { \sin } ^ 3 } \varphi \, d \theta } } \, d \varphi } } \end {align*}$$

حال از حاصل بدست آمده نسبت به θ انتگرال می‌گیریم.

$$\Large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { \pi }{ { \left. { \left ( { \frac { { 3 2 } } { 5 } \theta { { \sin } ^ 3 } \varphi } \right ) } \right| _ 0 ^ \pi \, d \varphi } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { \pi } { { \frac { { 3 2 } } { 5 } \pi { { \sin } ^ 3 } \varphi \, d \varphi } } \end {align*}$$

نهایتا با انتگرال‌گیری روی φ پاسخ نهایی انتگرال سه گانه در مختصات کروی به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { \pi }{ { \frac { { 3 2 } } { 5 } \pi { { \sin } ^ 2 } \varphi \sin \varphi \, d \varphi } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { \pi }{ { \frac { { 3 2 } } { 5 } \pi \left ( { 1 - { { \cos } ^ 2 } \varphi } \right ) \sin \varphi \, d \varphi } } \\ & = \left. { \left ( { - \frac { { 3 2 } } { 5 } \pi \left ( { \cos \varphi - \frac { 1 } { 3 } { { \cos } ^ 3 } \varphi } \right ) } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi = { { \frac { { 1 2 8 } } { { 1 5 } } \pi } } \end {align*}$$

در این مطلب نحوه بدست آوردن حاصل یک انتگرال سه گانه در مختصات کروی توضیح داده شد. برای حل چنین انتگرالی در ابتدا باید دامنه، در دستگاه مختصات دکارتی را تشخیص داده، سپس آن را در دستگاه مختصات کروی بیان کرد. در مرحله بعد با در نظر گرفتن دیفرانسیل حجم به صورت $$\large d V = { \rho ^ 2 } \sin \varphi \, d \rho \, d \theta \, d \varphi$$ می‌توان حاصل انتگرال را بدست آورد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضی
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• انتگرال سه‌ گانه — از صفر تا صد
• مختصات کروی - به زبان ساده
• انتگرال دوگانه در مختصات قطبی — به زبان ساده
• انتگرال در مختصات استوانه‌ ای - به زبان ساده
• فهرست کامل مطالب ریاضی وبلاگ فرادرس

^^