انتگرال دوگانه در مختصات قطبی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، مفاهیم مربوط به انتگرال دوگانه و نحوه محاسبه آن را در دستگاه مختصات کارتزین بیان کردیم. در این آموزش، با ارائه مثال‌های مختلف، نحوه محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی را بیان خواهیم کرد. پیشنهاد می‌کنیم برای آشنایی بیشتر با مفاهیم پایه این آموزش، مباحث انتگرال دوگانه و مختصات قطبی را مطالعه کنید.

همان‌طور که در آموزش مربوط به انتگرال دوگانه گفتیم، انتگرال دوگانه تابع $$f$$ روی سطح $$R$$ به‌صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن، $$dA$$ دیفرانسیل سطح است. حال اگر بخواهیم تابع $$f$$ و ناحیه $$R$$ را در مختصات قطبی $$(r, \theta)$$ بنویسیم، باید ناحیه کوچک $$dA$$ را به‌صورت زیر توصیف کنیم:

توجه کنید که متغیر $$r$$، بخشی از این توصیف است. رابطه بالا، فرمول کلیدی انتگرال‌گیری دوگانه است و با استفاده از این رابطه می‌توان مسائل مختصات قطبی را مشابه مختصات کارتزین حل کرد. در دستگاه مختصات کارتزین، $$dA=dxdy$$ است.

شاید این پرسش پیش آید که رابطه بالا چگونه به‌دست آمده است. در ادامه، نحوه رسیدن به فرمول مورد نظر را بیان می‌کنیم. همان‌گونه که می‌دانیم، یکی از حالت‌های خاص تغییر متغیر، تبدیل از دستگاه مختصات کارتزین به دستگاه مختصات قطبی است:

$$\large x = r\cos \theta ,\;\;y = r\sin \theta .$$

دترمینان ماتریس ژاکوبی، یکی از ابزارهای تبدیل مختصات چندگانه است. با استفاده از دترمینان این ماتریس، می‌خواهیم رابطه بین $$dA$$ در دو دستگاه مختصات کارتزین و قطبی را پیدا کنیم. بنابراین، داریم:

$$\large {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta } \right)}} }<br /> = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\frac{{\partial x}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial x}}{{\partial \theta }}}\\<br /> {\frac{{\partial y}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial \theta }}}<br /> \end{array}} \right| } \\ \large<br /> = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\frac{{\partial \left( {r\cos \theta } \right)}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial \left( {r\cos \theta } \right)}}{{\partial \theta }}}\\<br /> {\frac{{\partial \left( {r\sin \theta } \right)}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial \left( {r\sin \theta } \right)}}{{\partial \theta }}}<br /> \end{array}} \right| }<br /> = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\cos \theta }&{ – r\sin \theta }\\<br /> {\sin\theta }&{r\cos \theta }<br /> \end{array}} \right| } \\ \large<br /> = {\cos \theta \cdot r\cos \theta }-{ \left( { – r\sin \theta } \right) \cdot \sin \theta } \\ \large<br /> = {r\,{\cos ^2}\theta + r\,{\sin ^2}\theta }<br /> = {r\left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right) }={ r.} $$

در نتیجه، دیفرانسیل در دستگاه مختصات قطبی، به‌صورت زیر است:

$$\large {dxdy }={ \left| {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta } \right)}}} \right|drd\theta } = {rdrd\theta .}$$

اکنون ناحیه $$R$$ را در دستگاه مختصات قطبی در نظر بگیرید که به‌صورت زیر تعریف شده است:

$$\large{0 \le g\left( \theta \right) \le r \le h\left( \theta \right),\;\;}\kern-0.3pt {\alpha \le \theta \le \beta ,\;\;}\kern-0.3pt {\;\;\beta – \alpha \le 2\pi .}$$

بنابراین، انتگرال دوگانه در مختصات قطبی را می‌توان با فرمول زیر بیان کرد:

$$\large {\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_{g\left( \theta \right)}^{h\left( \theta \right)} {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)rdrd\theta } } }$$

ناحیه انتگرال‌گیری، مستطیل قطبی نام دارد و در شرایط زیر صدق می‌کند:

$$\large {0 \le a \le r \le b,\;\;}\kern-0.3pt {\alpha \le \theta \le \beta ,\;\;}\kern-0.3pt {\;\;\beta – \alpha \le 2\pi .}$$

در این حالت، فرمول تغییر متغیر را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_{a}^{b} {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)rdrd\theta } } .}$$

توجه داشته باشید که ضریب $$r$$ (ژاکوبی) را در سمت راست فرمول بالا فراموش نکنید.

مثال‌هایی از انتگرال دوگانه در مختصات قطبی

در ادامه، مثال‌هایی بیان می‌شود که روش انتگرال‌گیری دوگانه را در مختصات قطبی به‌خوبی نشان می‌دهند.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

انتگرال دوگانه $$\iint\limits_R {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dydx}$$ را با تبدیل به مختصات قطبی حل کنید. ناحیه انتگرال‌گیری $$R$$، بخش $$0 \le \theta \le {\large\frac{\pi }{2}\normalsize}$$ از یک دایره به شعاع $$r = \sqrt 3$$ است.

حل: ناحیه $$R$$، یک مستطیل قطبی است و مجموعه زیر را مشخص می‌کند:

$$\large {R }={ \Big\{ {\left( {r,\theta } \right)|\;0 \le r \le \sqrt 3 ,\; }}\kern0pt{{ 0 \le \theta \le {\frac{\pi }{2}}} \Big\} }$$

با استفاده از فرمولِ

$$\large {\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_{a}^{b} {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)rdrd\theta } },}$$

می‌توان نوشت:

$$\large{\iint\limits_R {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dydx} } = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{r^2}\left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right)rdrd\theta } } } \\ \large = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\theta } \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{r^3}dr} } = {\left. \theta \right|_0^{\frac{\pi }{2}} \cdot \left. {\left( {\frac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } } = {\frac{\pi }{2} \cdot \frac{9}{4} }={ \frac{{9\pi }}{8}.}$$

مثال ۲

انتگرال $$\iint\limits_R {xydydx}$$ را محاسبه کنید که در آن، ناحیه $$R$$ بین دو دایره $${x^2} + {y^2} = 1$$ و $${x^2} + {y^2} = 5$$ قرار دارد.

حل: ناحیه انتگرال‌گیری $$R$$ در مختصات قطبی، به‌صورت مستطیل قطبی زیر است:

$$\large {R }={ \left\{ {\left( {r,\theta } \right)|\;1 \le r \le \sqrt 5 ,\;}\right.}\kern0pt {\left.{ 0 \le \theta \le 2\pi } \right\}.}$$

بنابراین، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_{a}^{b} {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)rdrd\theta } }}$$

در نتیجه، انتگرال به‌صورت زیر قابل محاسبه است:

$$\large {\iint\limits_R {xydydx} } = {\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_1^{\sqrt 5 } {r\cos \theta r\sin \theta rdrd\theta } } } \\ \large = {\int\limits_0^{2\pi } {\sin \theta \cos \theta d\theta } \int\limits_1^{\sqrt 5 } {{r^3}dr} } = {\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {\sin 2\theta d\theta } \int\limits_1^{\sqrt 5 } {{r^3}dr} } \\ \large = {\frac{1}{2}\left. {\left( { – \frac{{\cos 2\theta }}{2}} \right)} \right|_0^{2\pi } \cdot \left. {\left( {\frac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right|_1^{\sqrt 5 } } = {\frac{1}{4}\left( { – \cos 4\pi + \cos 0} \right) \cdot \frac{1}{4}\left( {25 – 1} \right) } = {\frac{1}{4}\left( { – 1 + 1} \right) \cdot 6 }={ 0.}$$

مثال ۳

انتگرال دوگانه $$\iint\limits_R {\sin \theta drd\theta }$$ را محاسبه کنید که در آن، ناحیه $$R$$، دلگون $$r = 1 + \cos \theta$$ است.

حل: در مختصات قطبی، انتگرال را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large \require{cancel}<br /> {\iint\limits_R {\sin \theta drd\theta } }<br /> = {\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{1 + \cos \theta } {\sin \theta drd\theta } } } \\ \large<br /> = {\int\limits_0^{2\pi } {\left[ {\int\limits_0^{1 + \cos \theta } {dr} } \right]\sin \theta d\theta } }<br /> = {\int\limits_0^{2\pi } {\left[ {\left. r \right|_0^{1 + \cos \theta }} \right]\sin \theta d\theta } } \\ \large<br /> = {\int\limits_0^{2\pi } {\left( {1 + \cos\theta } \right)\sin \theta d\theta } }\<br /> = {\int\limits_0^{2\pi } {\left( {\sin \theta + \cos\theta \sin \theta } \right)d\theta } }\\ \large<br /> = {\int\limits_0^{2\pi } {\sin \theta d\theta } }+{ \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin 2\theta }}{2}d\theta } }<br /> = {\left. {\left( { – \cos \theta } \right)} \right|_0^{2\pi } }+{ \frac{1}{2}\left. {\left( { – \frac{{\cos 2\theta }}{2}} \right)} \right|_0^{2\pi } } \\ \large<br /> = {{ – \cos 2\pi + \cos 0 }-{ \frac{1}{4}\cos 4\pi }+{ \frac{1}{4}\cos 0 }}<br /> = { -\cancel{1} + \cancel{1} – \cancel{\frac{1}{4}} + \cancel{\frac{1}{4}} }={ 0.}$$

مثال ۴

انتگرال دوگانه $$\iint\limits_R {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy}$$ را در دایره $${x^2} + {y^2} = 2x$$ محاسبه کنید.

حل: ابتدا ناحیه $$R$$ را در دستگاه مختصات دکارتی به‌صورت استاندارد می‌نویسیم:

$$\large {{x^2} + {y^2} = 2x,\;\;}\Rightarrow {{x^2} – 2x + 1 + {y^2} = 1,\;\;}\Rightarrow {{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 1.}$$

با استفاده از تغییر متغیر $$x = r\cos \theta$$ و $$y = r\sin \theta$$، معادله دایره مطابق زیر به‌دست می‌آید:

$$\large {{x^2} + {y^2} = 2x,\;\;}\Rightarrow {{{r^2}{\cos ^2}\theta + {r^2}{\sin^2}\theta }={ 2r\cos \theta ,\;\;}}\\ \large \Rightarrow {{{r^2}\left( {{{\cos }^2}\theta + {\sin^2}\theta } \right) }={ 2r\cos \theta ,\;\;}}\Rightarrow {r = 2\cos \theta .}$$

بعد از انتقال به مختصات قطبی، می‌توانیم انتگرال را محاسبه کنیم:

$$\large {\iint\limits_R {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy} } = {\iint\limits_S {\left( {{r^2}{{\cos }^2}\theta + {r^2}{\sin^2}\theta } \right)rdrd\theta } }\\ \large = {\iint\limits_S {{r^3}drd\theta } } = {\int\limits_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left[ {\int\limits_0^{2\cos \theta } {{r^3}dr} } \right]d\theta } } = {4\int\limits_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left[ {\left. {\left( {\frac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{2\cos \theta }} \right]d\theta } } \\ \large = {4\int\limits_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^4}\theta d\theta } } = {4\int\limits_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\left( {\frac{{1 + \cos 2\theta }}{2}} \right)}^2}d\theta } } = {\int\limits_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + 2\cos 2\theta + {{\cos }^2}2\theta } \right)d\theta } } \\ \large = {\int\limits_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\frac{3}{2} + 2\cos 2\theta + \frac{1}{2}\cos 4\theta } \right)d\theta } } = {\left. {\left( {\frac{3}{2}\theta + \sin 2\theta + \frac{1}{8}\sin 4\theta } \right)} \right|_{ – \large\frac{\pi }{2}\normalsize}^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} } \\ \large = {\left( {\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi }{2} + \sin \pi + \frac{1}{8}\sin 2\pi } \right) }-{ \left( { – \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi }{2} – \sin \pi – \frac{1}{8}\sin 2\pi } \right) } = {\frac{{3\pi }}{2}.}$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۵

انتگرال دوگانه $$\iint\limits_R {\sin \sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdy}$$ را در مختصات قطبی حساب کنید. ناحیه انتگرال‌گیری $$R$$، دیسک $${x^2} + {y^2} \le {\pi ^2}$$ است.

حل: ناحیه $$R$$ در شکل زیر نشان داده شده است:

ناحیه $$S$$، شکل ناحیه $$R$$ در مختصات کارتزین است و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large {\left\{ {S = \left( {r,\theta } \right)|\;0 \le r \le \pi ,\;}\right.}\kern0pt{\left.{ 0 \le \theta \le 2\pi } \right\} }$$

انتگرال دوگانه در مختصات قطبی، به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large {I }={ \iint\limits_R {\sin \sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdy} } = {\iint\limits_S {r\sin rdrd\theta } } \\ \large = {\int\limits_0^{2\pi } {d\theta } \int\limits_0^\pi {r\sin rdr} } = {2\pi \int\limits_0^\pi {r\sin rdr} .}$$

انتگرال اخیر را می‌توان با کمک انتگرال‌گیری جزء به جزء حل کرد:

$$\large {\int\limits_a^b {udv} } = {\left. {\left( {uv} \right)} \right|_a^b }-{ \int\limits_a^b {vdu} .}$$

تساوی $$u = r$$ و $$dv = \sin rdr$$ را در نظر می‌گیریم. در نتیجه، داریم: $$du = dr$$ و $$v = \int {\sin rdr}$$. بنابراین:

$$\large {I = 2\pi \int\limits_0^\pi {r\sin rdr} } = {{2\pi \Big[ {\left. {\left( { – r\cos r} \right)} \right|_0^\pi }}-{{ \int\limits_0^\pi {\left( { – \cos r} \right)dr} } \Big] }}\\ \large = {{2\pi \Big[ {\left. {\left( { – r\cos r} \right)} \right|_0^\pi }}+{{ \int\limits_0^\pi {\cos rdr} } \Big] }} = {2\pi \left[ {\left. {\left( { – r\cos r} \right)} \right|_0^\pi + \left. {\left( {\sin r} \right)} \right|_0^\pi } \right] } \\ \large = {2\pi \left. {\left( {\sin r – r\cos r} \right)} \right|_0^\pi } = {2\pi \left[ {\left( {\sin \pi – \pi \cos \pi } \right) }\right.}-{\left.{ \left( {\sin 0 – 0 \cdot \cos 0} \right)} \right] } = {2\pi \cdot \pi }={ 2{\pi ^2}.}$$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی ۲
• آموزش ریاضی عمومی ۲ (مرور و حل تمرین)
• انتگرال توابع مثلثاتی – از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^