شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
ارتعاشات اجباری نامیرا با تحریک نیروی هارمونیک – از صفر تا صد
۲۹۴۱ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۳۱ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
دانلود PDF مقاله
ارتعاشات اجباری در یک سیستم مکانیکی یا سازهای هنگامی رخ میدهد که در حین ارتعاشات، انرژی خارجی به سیستم اعمال شود. این انرژی خارجی میتواند به شکل یک نیروی خارجی یا حتی تحریک جابجایی خود را نشان دهد. همچنین، نیروی خارجی یا تحریک جابجایی میتواند به صورت یکی از انواع هارمونیک، غیر هارمونیک، متناوب، نامتناوب یا تصادفی باشد. پاسخ یک سیستم به تحریک هارمونیک را پاسخ هارمونیک مینامیم. از طرفی، پاسخ یک سیستم دینامیکی به تحریک نامتناوب و ناگهانی نیز تحریک گذرا نامیده میشود. مدت زمانی که تحریک نامتناوب به طول میانجامد، ممکن است کوتاه یا بلند باشد. در این مقاله، ارتعاشات اجباری نامیرا با تحریک نیروی هارمونیک را بررسی خواهیم کرد.
با کمک قانون دوم نیوتن، معادله حرکت را برای این سیستم مینویسیم.
mx¨+cx˙+kx=F(t)
(رابطه ۱)
از آنجایی که معادله بالا غیرهمگن است، پاسخ عمومی آن (x(t)) به صورت مجموع پاسخ همگن (xh(t)) و پاسخ خصوصی (xp(t)) به دست میآید. پاسخ همگن، همان پاسخ معادله زیر است که ارتعاشات آزاد را نشان میدهد.
mx¨+cx˙+kx=0
همانطور که میدانید، ارتعاشات آزاد تحت هرگونه وضعیت میرایی (زیر میرایی، میرایی بحرانی و فوق میرایی) و با شرایط اولیه مختلف، پس از سپری شدن مدت زمان مشخصی، از حرکت باز میایستد. بنابراین رابطه ۱، ناگهان به پاسخ خصوصی xp(t) تبدیل میشود که نشان دهنده ارتعاشات حالت پایدار است. حرکت حالت پایدار تا مادامی ادامه دارد که تابع نیرو، وجود داشته باشد. تغییر پاسخهای همگن، خصوصی و عمومی با زمان برای یک سیستم فرضی در شکل زیر رسم شده است. همانطور که مشاهده میکنید، پس از سپری شدن مدتی (تا رسیدن نمودار به زمان τ)، xh(t) از بین رفته و x(t) با xp(t) برابر میشود.
قسمتی از حرکت که به دلیل میرایی از بین میرود (بخش ارتعاشات آزاد)، قسمت گذرا نامیده میشود. سرعت از بین رفتن حرکت گذرا، به مقدار پارامترهای c، k و m وابسته است. در ادامه این مقاله، اثر ارتعاشات اجباری نامیرا در سیستمهایی که با نیروی هارمونیک تحریک میشوند، دنبال خواهد شد.
پاسخ سیستم در ارتعاشات اجباری نامیرا با تحریک نیروی هارمونیک
اگر نیروی F(t)=F0cosωt به جرم m در یک سیستم نامیرا وارد شود، معادله حرکت جدید به صورت زیر است.
در عبارت بالا، ωn=k/m فرکانس طبیعی سیستم است. از آنجایی که نیروی تحریک (F(t)) هارمونیک است، پاسخ عمومی xp(t) نیز هارمونیک بوده و فرکانس آن نیز برابر ω است. پاسخ خصوصی به شکل زیر است.
xp(t)=Xcosωt
(رابطه ۳)
در عبارت بالا، X ثابت است و بیشترین دامنه xp(t) را نشان میدهد. با ادغام رابطههای ۲ و ۳ و مرتب کردن آن برحسب X به رابطه زیر میرسیم.
X=k−mω2F0=1−(ωnω)2δst
(رابطه ۴)
عبارت δst=F0/k جابجایی جرم m، تحت نیروی F0 است و از آنجایی که F0 یک نیروی ثابت (استاتیک) به حساب میآید، جابجایی استاتیکی نیز خوانده میشود. از این رو، پاسخ کلی رابطه ۲ به صورت زیر خواهد بود.
x(t)=C1cosωnt+C2sinωnt+k−mω2F0cosωt
برای یافتن ضریبهای ثابت، شرایط اولیه را به صورت x(t=0)=x0 و x˙(t=0)=x˙0 تعریف میکنیم.
همچنین، ماکزیمم مقدار X در رابطه ۴ نیز برابر با عبارت زیر است.
δstX=1−(ωnω)21
(رابطه 6)
مقدار X/δst نشاندهنده نسبت اندازه حرکت دینامیکی به اندازه حرکت استاتیکی است و ضریب بزرگنمایی (Magnification Factor) یا نسبت دامنه (Amplitude Ratio) نام دارد. تغییرات نسبت دامنه برحسب تغییرات نسبت فرکانس (r=ω/ωn) در شکل زیر قابل مشاهده است. با توجه به این شکل، پاسخ سیستم میتواند سه حالت مختلف داشته باشد.
حالت اول زمانی رخ میدهد که 0<ω/ωn<1 برقرار باشد. در این حالت، مخرج کسر در رابطه 6، مثبت بوده و پاسخ آن مانند رابطه ۳ و بدون تغییر خواهد بود. شکل زیر را در نظر بگیرید. پاسخ هارمونیک سیستم xp(t) با نیروی خارجی همفاز است.
در حالت دوم، رابطه ω/ωn>1 برقرار است. در نتیجه، مخرج کسر در رابطه 6 منفی میشود و پاسخ حالت ماندگار به صورت زیر خواهد بود.
xp(t)=−Xcosωt
در رابطه بالا، دامنه حرکت X طوری تعریف میشود که همواره مثبت باشد.
X=(ωnω)2−1δst
(رابطه 7)
تغییرات F(t) و xp(t) را نسبت به زمان، در شکل زیر ملاحظه میکنید. از آنجایی که F(t) و xp(t) مقداری مثبت دارند، پاسخ آنها 180∘ از نیروی خارجی عقبتر است. علاوه بر آن، اگر ω/ωn→∞، آنگاه X→0 برقرار خواهد بود. بنابراین، پاسخ سیستم به یک نیروی هارمونیک با فرکانس زیاد، نزدیک به صفر است.
اما در حالت سوم که به صورت ω/ωn=1 تعریف میشود، اندازه X در رابطههای 6 و 7، بینهایت خواهد شد. این حالت که در آن، فرکانس نیرو ω با فرکانس طبیعی سیستم ωn برابر است، رزونانس یا تشدید نام دارد. برای یافتن پاسخ سیستم در این حالت، رابطه 5 را بازنویسی میکنیم.
حالا میتوانیم پاسخ سیستم را به صورت کامل بنویسیم.
x(t)=x0cosωnt+ωnx˙0sinωnt+2δstωntsinωnt
از این رابطه متوجه میشویم که در رزونانس، مقدار x(t) تا بینهایت افزایش مییابد. آخرین عبارت در رابطه بالا را میتوانید در شکل پایین مشاهده کنید. دامنه رزونانس به صورتی خطی با زمان در حال زیاد شدن است.
پاسخ نهایی ارتعاشات اجباری نامیرا با تحریک نیروی هارمونیک
پاسخ نهایی سیستم مربوط به رابطه ۵ را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم.
x(t)=Acos(ωnt−ϕ)+1−(ωnω)2δstcosωtωnω<1
(رابطه ۸)
x(t)=Acos(ωnt−ϕ)+−1+(ωnω)2δstcosωtωnω>1
(رابطه ۹)
بنابراین حرکت کلی به صورت مجموع دو منحنی کسینوسی با فرکانسهای مختلف نشان داده میشود. در رابطههای ۸ و ۹، فرکانس نیرو (ω) به ترتیب از فرکانس طبیعی کوچکتر و بزرگتر است. پاسخ کلی سیستم در شکل زیر نشان داده شده است.
پدیده ضربان در ارتعاشات اجباری نامیرا
اگر فرکانس نیرو نزدیک به فرکانس طبیعی باشد (و نه مساوی با آن)، پدیدهای رخ میدهد که به آن ضربان (Beating) گفته میشود. این نوع از ارتعاشات اجباری نامیرا را میتوان با در نظر گرفتن پاسخی به صورت رابطه ۵ توضیح داد.
حالا فرض کنیم فرکانس نیرو اندکی از فرکانس طبیعی کمتر باشد.
ωn−ω=2ϵ
مقدار مثبت بسیار کوچک را با ϵ نشان دادهایم.
ω+ωn=ω+ω+ϵ≅2ω
اکنون اگر طرفین دو رابطه اخیر را در هم ضرب کنیم، رابطه زیر به دست میآید.
⇒ωn2−ω2=4ϵω
به این ترتیب میتوانیم مجدداً پاسخ x(t) را بنویسیم.
x(t)=(2ϵωF0/msinϵt)sinωt
از آنجایی که ϵ مقداری بسیار کوچک است، تابع sinϵt به کُندی تغییر کرده و دوره تناوبی بزرگ و برابر با 2π/ϵ خواهد داشت. به همین دلیل، رابطه بالا ارتعاشات اجباری نامیرا با دوره تناوب 2π/ϵ و دامنهای متغیر را نشان میدهد. از طرفی دیگر، همانطور که در شکل زیر نیز مشهود است، در مدت زمانی که منحنی sinϵt فقط یک سیکل را کامل میکند، منحنی sinωt چند سیکل نوسان میکند. مدت زمان بین هر دو دامنه صفر یا هر دو دامنه ماکزیمم، دوره ضربان نام دارد و با نماد τb تعریف میشود.
τb=2ϵ2π=ωn−ω2π
از این رو، فرکانس ضربان نیز برابر با ωb=2ϵ=ωn−ω است.
مثال: صفحه نگهدارنده یک پمپ
سؤال: یک پمپ رفت و برگشتی به وزن 150lb در مرکز صفحه فولادی قرار گرفته است. طول و عرض این صفحه به ترتیب 100 و 20 اینچ بوده و ضخامت آن نیز 0.5 اینچ است. در حین روشن بودن پمپ، این صفحه در معرض یک نیروی هارمونیک قرار میگیرد که اندازه این نیرو برابر با F(t)=50cos62.832t و با واحد lb است. دامنه ارتعاشات اجباری نامیرا در صفحه را بیابید.
پاسخ: این صفحه را میتوانیم مانند تیر دو سر گیردار و با مدول یانگ E=30×106psi مدلسازی کنیم. ابتدا ممان اینرسی سطح را به دست میآوریم.
I=121(20)(0.5)3=0.2083in4
برای به دست آوردن سفتی خمشی (Bending Stiffness) از رابطه زیر استفاده میکنیم.
k=l3192EI=(100)3192(30×106)(0.2083)=1200.0lb/in
دامنه پاسخ هارمونیک با کمک رابطه ۴ محاسبه میشود. با جایگذاری مقادیر مختلف، X به دست میآید.
علامت منفی نشان میدهد که پاسخ x(t) مربوط به صفحه فولادی، نسبت به تحریک F(t) اختلاف فاز دارد.
مثال: تعیین جرم با استفاده از پاسخ هارمونیک در ارتعاشات اجباری نامیرا
سؤال: به یک سیستم جرم و فنر، نیروی هارمونیک به بزرگی 30N و فرکانس 20Hz وارد میشود. ثابت فنر برابر 5,000N/m است و جرم با دامنه 0.2m نوسان میکند. با فرض اینکه ارتعاشات اجباری نامیرا از حالت سکون (x0=x˙0=0) شروع شده باشد، جرم سیستم را تعیین کنید.
پاسخ: پاسخ ارتعاشات اجباری نامیرا در سیستم را میتوانیم با کمک رابطه ۵ به دست آوریم. کافی است از شرایط اولیه داده شده در صورت سؤال استفاده کنیم.
x(t)=k−mω2F0(cosωt−cosωnt)
با کمک روابط مثلثاتی و بازنویسی رابطه بالا، به شکل جدیدی برای x(t) میرسیم.
x(t)=k−mω22F0sin2ωn+ωtsin2ωn−ωt
از طرفی، دامنه این ارتعاشات اجباری نامیرا معلوم و برابر با 0.2m است.
k−mω22F0=0.2
اکنون میتوانیم جرم سیستم را با داشتن سایر متغیرها، محاسبه کنیم.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام این پدیده در دینامیک خاک هم مطرح است اما کتاب مکانیک داس جواب پدیده ضربان را غ ق ق دانسته.چرا؟