معادله دیفرانسیل حرکت – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

معادله دیفرانسیل حرکت

$$\large {\overrightarrow{a} = \frac { \overrightarrow { F } } { m } \; \; \text{,}\;\;}\kern-0.3pt{\overrightarrow{F} = m \overrightarrow { a } = m\frac { { { d ^ 2 } \overrightarrow{r } } }{ { d { t ^ 2} } } }$$

توجه داشته باشید که عبارت فوق، معادله‌ای برداری را نشان می‌دهد؛ به طور دقیق‌تر، دو کمیت $$r$$ و $$F$$ بردار هستند. همچنین این رابطه، برای سیستمی با جرم ثابت صدق می‌کند. در حقیقت در مواردی همچون مکانیک نسبیتی که جرم وابسته به سرعت است، باید قانون دوم نیوتن را به صورت تغییرات تکانه بر حسب زمان و به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \overrightarrow { F } = \frac { { d \overrightarrow {p}}} { { d t } }$$

به $$p$$، تکانه یا مومنتوم گفته می‌شود. در حالتی کلی نیروی $$F$$ وابسته به دستگاه مختصات انتخاب شده برای جسم است. در ادامه نیرو به صورت متغیر نسبت به زمان در نظر گرفته شده است.

نیروی متغیر با زمان: $$\large F = F ( t )$$

$$\large m \frac{{ { d^2 }x } }{{d { t^ 2 }} } = F \left( t \right)$$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق، سرعت جسم مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$\large { v \left( t \right) }={ {v_0} + \frac {1} { m }\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)d\tau } }$$

برای نمونه حالتی را در نظر بگیرید که در آن جسم با سرعت اولیه $$v=0$$ در زمان $$t=0$$ شروع به حرکت کرده است. با انتگرال‌گیری دوباره از عبارت فوق، معادله حرکت یا همان تابع $$x(t)$$ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large x \left ( t \right ) = { x _ 0 } + \int \limits _ 0 ^ t { v \left ( \tau \right ) d \tau }$$

در رابطه فوق $$x_0$$ مکان اولیه بردار جابجایی و $$τ$$ متغیر انتگرال‌گیری است.

وابستگی نیرو به سرعت: $$\large F = F ( v )$$

$$\large \overrightarrow { F } = – k \overrightarrow{v}$$

ضریب $$k$$ وابسته به ویسکوزیته $$\eta$$ است. در حالتی ویژه اگر جسم به صورت کروی شکل باشد، آن‌گاه نیروی درگ مطابق با قانون استوکس، به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$\large \overrightarrow { F } = – 6 \pi \eta R \overrightarrow { v }$$

در رابطه فوق $$R$$، شعاع توپ و $$η$$ ویسکوزیته محیط یا همان سیالی است که جسم در آن در حال حرکت است. در حالت حرکتِ تک‌بعدی در سیال، قانون دوم نیوتن را می‌توان به صورت دیفرانسیلی نیز بیان کرد:

$$\large m \frac { { { d ^ 2 } x }} {{d {t ^ 2 }}} = m \frac { { d v } } { { d t }} = – k v$$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق و فرض سرعت اولیه $$v_0$$ در زمان $$t_0$$، داریم:

$$\large { \frac{{ d v } }{ v} = – \frac { k } { m } d t \;\;}\Rightarrow { \int \limits_{{ v _0 } } ^v { \frac{{ d u } }{ u } } = – \frac { k} { m}\int\limits_0^t { d \tau } }$$

توجه داشته باشید که در عبارت فوق، $$u$$ و $$v$$ متغیر‌های انتگرال‌گیری هستند. تغییرات سرعت از $$v$$ تا $$v_0$$ و تغییرات زمانی از $$0$$ تا $$t$$ در نظر گرفته شده‌اند. بنابراین حاصل انتگرال فوق به صورت زیر در می‌آید.

$$\large \begin{align*} { \ln v – \ln { v _ 0 } = – \frac { k }{ m } t \;\;}\Rightarrow {\ln \frac{v}{{{v_0}}} = – \frac { k } { m } t \;\;}\Rightarrow { v \left( t \right) = { v _ 0} { e ^{ – {\large\frac { k } { m } \normalsize}t}} } \end{align*}$$

$$\large \begin {align*} x \left( t \right) & = {x_0} + \int\limits_0^t {v\left( \tau \right)d\tau } \\ & = { { x _ 0 } + \int \limits _ 0 ^ t { { v _0 } { e ^ { – {\Large \frac{k}{m}\normalsize}\tau }}d\tau } } \\ & = { { x _ 0 } – \frac{{m{v_0}}}{k}\left( {{e^{ – {\Large\frac{k}{m}\normalsize}t}} – 1} \right) } \\ & = {{x_0} + \frac{{m{v_0}}}{k}\left( {1 – { e ^ { – { \large\frac { k } {m } \normalsize} t } } } \right) } \end {align*}$$

$$\large F = – \mu \rho S { v ^ 2 }$$

$$\large \overrightarrow {\text{Re}} = \frac {{\rho vL}} {\eta } > 100$$

حال می‌خواهیم معادله حرکت را در حالتی بدست آوریم که نیروی وارد به جسم با توان دوم سرعت تغییر می‌کند. در این حالت معادله دیفرانسیل حاکم بر حرکت جسم به صورت زیر قابل بیان است.

$$\large { m \frac{ { { d^ 2 } x } } {{d { t ^ 2 } }} = m\frac { {d v } }{ { d t }} }={ – \mu \rho S { v ^ 2}}$$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق داریم:

$$\large { m \frac { { {d ^ 2 } x } } {{ d { t ^2 } } } = m \frac { { d v} } { { d t } } }={ – \mu \rho S { v ^ 2 } }$$

توجه داشته باشید که در رابطه بالا $$u$$ و $$τ$$ متغیر‌های انتگرال‌گیری هستند. سرعتِ $$u$$ از مقدار $$v_0$$ شروع شده و تا مقدار $$v$$ کاهش می‌یابد. هم‌چنین این فرآیند از زمان $$0$$ تا  $$t$$ رخ می‌دهد. بنابراین با قرار دادن این مقادیر به عنوان بازه‌های انتگرال‌، به رابطه زیر خواهیم رسید.

$$\large \begin {align*} -\left( {\frac{1}{v} – \frac { 1} { { { v _ 0 }} } } \right) & = – \frac{{\mu \rho S } }{ m } t \\ & \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac { 1}{ { { v _0 }} } + \frac { { \mu \rho S } } { m } t \\ & \Rightarrow \large v \left( t \right) = \frac { 1} { { \frac{1} { {{ v _ 0 }}} + \frac { { \mu \rho S} } {m } t }} = \frac { { {v _ 0} } } {{1 + \frac { { \mu \rho S{v_ 0 } } } { m } t } } \end {align*}$$

با انتگرال‌گیریِ دوباره از رابطه فوق، شکل نهایی معادله حرکت به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {align*} \require{cancel} x\left( t \right) & = \int\limits_0^t {\frac{ { {v _ 0 } } } { {1 + \frac{{\mu \rho S {v _ 0 } }} {m }\tau }}d\tau } \\ & = \int\limits_0^t {\frac{{\cancel { v _0 } } } { { 1 + \frac { { \mu \rho S {v_0 } } } {m } \tau }}\frac{{d\left( {1 + \frac{{\mu \rho S { v _ 0} } } { m } \tau } \right) } }{ {\frac{{\mu \rho S\cancel{v_0}}}{m}}}} \\ & = {\frac { m }{ { \mu \rho S } }\int\limits _ 0 ^ t {\frac{{d\left( {1 + \frac { {\mu \rho S { v_ 0 } } } { m }\tau } \right ) } } { {1 + \frac{{\mu \rho S { v _0 }} } { m } \tau } } } } \\ & = {\frac{m}{{\mu \rho S } }\left[ {\left. {\ln \left( {1 + \frac { { \mu \rho S { v _0 } } }{m}\tau } \right)} \right|_0^t} \right] } \\ & = { \frac { m } { { \mu \rho S } } \ln \left( {1 + \frac{{\mu \rho S { v _ 0 } } } {m } t } \right) } \end {align*} $$