مشتق در مختصات قطبی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

همان‌طور که می‌دانیم، موقعیت نقاط در صفحه را می‌توان در دستگاه‌های مختصات مختلف توصیف کرد. در کنار دستگاه مختصات کارتزین، از دستگاه مختصات قطبی نیز استفاده‌های فراوانی می‌شود. در این دستگاه مختصات، موقعیت نقطه $$M$$ را می‌توان با دو عدد نشان داد:

•  $$r$$ که طول بردار شعاعی از مبدأ تا نقطه $$M$$ است.

• زاویه قطبی $$\theta$$ که بین خط $$OM$$ و جهت مثبت محور $$x$$ است. زاویه $$\theta$$ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت سنجیده می‌شود.

معادله $$r = f\left( \theta \right)$$ که طول بردار شعاعی $$r$$ را براساس زاویه قطبی $$\theta$$ بیان می‌کند، یک منحنی در صفحه است که منحنی معادله قطبی نامیده می‌شود.

برای مثال، مارپیچ ارشمیدس، با معادله قطبی زیر توصیف می‌شود:

$$r = a\theta$$

که در آن، $$a$$ پارامتری است که تراکم یا نزدیکی دورهای مارپیچ را نشان می‌دهد.

فاصله بین هر دو دور مارپیچ ارشمیدس، ثابت و برابر $$2\pi a$$ است.

فرمول عمومی تبدیل مختصات قطبی $$\left( {r,\theta } \right)$$ به مختصات کارتزین $$\left( {x,y} \right)$$ به‌صورت زیر است:

$${x = r\cos \theta ,\;\;}\kern-0.3pt{y = r\sin \theta .}$$

اگر یک منحنی با معادله قطبی $$r = f\left( \theta \right)$$ داشته باشیم، می‌توان آن را در مختصات کارتزین به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\left\{ \begin{aligned} x &= f\left( \theta \right)\cos\theta \\ y &= f\left( \theta \right)\sin\theta \end{aligned} \right.$$

همان‌طور که می‌بینیم، می‌توان معادلات پارامتری منحنی را نوشت که در آن، زاویه $$\theta$$ نقش پارامتر $$t$$ را بازی می‌کند. در این حالت، مشتق منحنی قطبی با فرمول مشتق یک تابع پارامتری بیان می‌شود:

$${\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_\theta }}}{{{x’_\theta }}} } = {\frac{{{{\left( {f\left( \theta \right)\sin \theta } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {f\left( \theta \right)\cos\theta } \right)}^\prime }}} } = {\frac{{f’\left( \theta \right)\sin \theta + f\left( \theta \right)\cos\theta }}{{f’\left( \theta \right)\cos\theta – f\left( \theta \right)\sin \theta }}.}$$

مثال‌های زیر، نحوه مشتق‌گیری در مختصات قطبی را بهتر نشان می‌دهند.

مثال ۱: مارپیچ ارشمیدس

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ مارپیچ ارشمیدس را محاسبه کنید.

حل: معادله مارپیچ ارشمیدس به‌صورت زیر است:

$$r = f\left( \theta \right) = a\theta .$$

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ نیز به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

$${\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_\theta }}}{{{x’_\theta }}} } = {\frac{{f’\left( \theta \right)\sin \theta + f\left( \theta \right)\cos\theta }}{{f’\left( \theta \right)\cos\theta – f\left( \theta \right)\sin \theta }}.}$$

اگر تابع $$f\left( \theta \right)$$ را در عبارت بالا جایگذاری کنیم، داریم:

$${\frac{{dy}}{{dx}} }={ \frac{{{{\left( {a\theta } \right)}^\prime }\sin \theta + a\theta \cos\theta }}{{{{\left( {a\theta } \right)}^\prime }\cos\theta – a\theta \sin \theta }} } = {\frac{{a\sin \theta + a\theta \cos \theta }}{{a\cos \theta – a\theta \sin \theta }} } = {\frac{{\sin \theta + \theta \cos \theta }}{{\cos \theta – \theta \sin \theta }}.}$$

در ادامه، صورت و مخرج عبارت اخیر را بر $${\cos \theta }$$ تقسیم می‌کنیم (با فرض $$\theta \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\,n \in \mathbb{Z}$$). در نتیجه، عبارت زیر برای مشتق به‌دست می‌آید:

$${\frac{{dy}}{{dx}} }={ \frac{{\tan\theta + \theta }}{{1 – \theta \tan \theta }}.}$$

همچنین، فرمول اخیر را می‌توان با استفاده از اتحاد مثلثاتی زیر ساده‌تر کرد:

$${\tan \left( {\alpha + \beta } \right) }={ \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 – \tan \alpha \cdot \tan \beta }}.}$$

زاویه $$\theta$$ را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$$\theta = \tan \left( {\arctan\theta } \right).$$

در نهایت، پاسخ این مثال به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$${\frac{{dy}}{{dx}} }={ \frac{{\tan\theta + \theta }}{{1 – \theta \tan \theta }} } = {\frac{{\tan\theta + \tan \left( {\arctan\theta } \right)}}{{1 – \tan \theta \cdot \tan \left( {\arctan\theta } \right)}} } = {\tan \left( {\theta + \arctan\theta } \right).}$$

از این مثال می‌توان این نتیجه را گرفت که مشتق مارپیچ ارشمیدس به شعاع $$r$$ بستگی ندارد. این موضوع، ویژگی خودتشابهی مارپیچ ارشمیدس را نشان می‌دهد.

مثال ۲: دل‌گون

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ یک دل‌گون را با معادله زیر به‌دست آورید:

$$r = f\left( \theta \right) = a\left( {1 + \cos \theta } \right).$$

حل: ابتدا مشتق تابع قطبی را حساب می‌کنیم:

$${f’\left( \theta \right) = {\left( {a\left( {1 + \cos \theta } \right)} \right)^\prime } } = { – a\sin \theta .}$$

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ منحنی نیز به‌صورت زیر است:

$${\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_\theta }}}{{{x’_\theta }}} } = {\frac{{f’\left( \theta \right)\sin \theta + f\left( \theta \right)\cos\theta }}{{f’\left( \theta \right)\cos\theta – f\left( \theta \right)\sin\theta }} } \\ = {\frac{{ – {{\sin }^2}\theta + \cos \theta + {{\cos }^2}\theta }}{{ – \sin \theta \cos \theta – \sin \theta – \sin \theta \cos \theta }}}$$

با استفاده از اتحادِ

$${\cos 2\theta = {\cos ^2}\theta – {\sin ^2}\theta ,\;\;}\kern-0.3pt {\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta ,}$$

داریم:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = – \frac{{\cos 2\theta + \cos \theta }}{{\sin 2\theta + \sin \theta }}.$$

این بار از دو اتحاد مثلثاتی دیگر استفاده خواهیم کرد:

$${{\cos \alpha + \cos \beta }={ 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2}}},$$

$${{\sin \alpha + \sin \beta }={ 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2}.}}$$

و مشتق را به‌شکل زیر ساده می‌کنیم:

$$\require{cancel}<br /> {\frac{{dy}}{{dx}} = – \frac{{\cos 2\theta + \cos \theta }}{{\sin 2\theta + \sin \theta }} }<br /> = { – \frac{{2\cos \frac{{2\theta + \theta }}{2}\cos \frac{{2\theta – \theta }}{2}}}{{2\sin \frac{{2\theta + \theta }}{2}\cos \frac{{2\theta – \theta }}{2}}} } \\<br /> = { – \frac{{\cos \frac{{3\theta }}{2}\cancel{\cos \frac{\theta }{2}}}}{{\sin \frac{{3\theta }}{2}\cancel{\cos \frac{\theta }{2}}}} }<br /> = { – \cot \frac{{3\theta }}{2}.}$$