قضیه فشردگی یا ساندویچ — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، مطالبی را درباره حد توابع و پیوستگی آن‌ها بیان کردیم. همچنین روابط مربوط به محاسبه حد توابع در قالب تقلب‌نامه مفاهیم و روابط حد و پیوستگی در دسترس مخاطبان مجله فرادرس قرار گرفت. در این آموزش، قضیه فشردگی (Squeeze Theorem) یا ساندویچ (Sandwich Theorem) را بررسی خواهیم کرد که یکی از قضایای بسیار کاربردی در محاسبه حد توابع است.

شکل زیر، مفهوم قضیه فشردگی را به‌خوبی نمایش می‌دهد. در این شکل، نمودارهای بالا و پایین، حد برابری در نقطه $$x=a$$‌ دارند. حد تابع میانی نیز برابر با حد دو تابع دیگر در نقطه $$x=a$$ است، زیرا بین دو تابع بیرونی گیر کرده یا فشرده شده است.

قضیه فشردگی

فرض کنید رابطه $$f(x) \le g(x) \le h(x)$$ برای همه $$x$$های بازه باز اطراف $$a$$ (احتمالاً به جز خود $$a$$) برقرار باشد. اگر تساوی $$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$$ برقرار باشد، آن‌گاه داریم: $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} g(x) = L$$.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

توجه کنید که امکان مستثنی بودن خود $$a$$ در قضیه فوق، به این دلیل است که ما درباره حد بحث می‌کنیم و خود آن نقطه برایمان مهم نیست، بلکه اطراف $$x=a$$ اهمیت دارد.

مثال ۱

فرض کنید نامعادله $$f(x) \le g(x) \le h(x)$$ در مجاورت $$x=2$$ برای سه تابع برقرار است. همچنین، فرض کنید $$f(x) =-\frac 1 3 x^3+x^2-\frac 7 3$$ و $$h(x) = \cos\left (\frac \pi 2 x\right)$$ ($$x$$‌ برحسب رادیان است). مقدار $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} g(x)$$ را محاسبه کنید.

حل: در گام اول، $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} f(x)$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) & = \lim_{x\to 2}\left(-\frac 1 3 x^3+x^2-\frac 7 3\right)\\[6pt] & = \left(-\frac 1 3 (2)^3+(2)^2-\frac 7 3\right)\\[6pt] & = \left(-\frac 8 3+4-\frac 7 3\right)\\[6pt] & = -1 \end{align*}$$

در گام دوم، $$\displaystyle\lim\limits_{h\to 2} f(x)$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$\begin{align*} \lim_{x\to 2} h(x) & = \lim_{x\to 2} \cos\left(\frac \pi 2 x\right)\\[6pt] & = \cos\left(\frac \pi 2 (2)\right)\\[6pt] & = \cos\left(\pi\right)\\[6pt] & = -1 \end{align*}$$

از آن‌جایی که $$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$$ و $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} h(x) = -1$$ طبق قضیه فشردگی داریم: $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} g(x) = -1$$.

مثال 2

فرض کنید تابع $$g(x)$$ به‌گونه‌ای باشد که حول نقطه $$x=-1$$ در رابطه $$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$$ صدق کند. همچنین، فرض کنید $$f(x) =-\frac 1 4 x^2-\frac 1 2 x$$ و $$h(x) = \frac 1 3 x^2 + \frac 2 3 x + \frac 2 3$$. مقدار $$\displaystyle\lim\limits_{x\to-1} g(x)$$ را به دست آورید.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

حل: ابتدا، حد $$\displaystyle\lim\limits_{x\to-1} f(x)$$ را به‌صورت زیر تعیین می‌کنیم:

$$\\ \begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to-1} f(x) & = \displaystyle\lim_{x\to-1} \left(-\frac 1 4 x^2-\frac 1 2 x\right)\\[6pt] & = -\frac 1 4(-1)^2-\frac 1 2(-1)\\[6pt] & = -\frac 1 4 + \frac 1 2\\[6pt] & = \frac 1 4 \end{align*} \\$$

سپس، مقدار $$\displaystyle\lim\limits_{x\to -1} h(x)$$‌را به‌دست می‌آوریم:

$$\\ \begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to-1} h(x) & = \displaystyle\lim_{x\to-1} \left(\frac 1 3 x^2 + \frac 2 3 x + \frac 2 3\right)\\[6pt] & = \frac 1 3(-1)^2 + \frac 2 3(-1) + \frac 2 3\\[6pt] & = \frac 1 3 - \frac 2 3 + \frac 2 3\\[6pt] & = \frac 1 3 \end{align*} \\$$

می‌بینیم که دو تابع بیرونی $$f$$ و $$h$$، به یک‌دیگر نزدیک نمی‌شوند (زیرا حد آن‌ها متفاوت است). در نتیجه، آن‌چه که درباره $$\displaystyle\lim\limits_{x\to-1} g(x)$$ می‌توانیم بگوییم، این است که اگر حد آن وجود داشته باشد، مقداری بین $$y = \frac 1 4$$ و $$y = \frac 1 3$$ دارد. بنابراین، با اطلاعات مسئله، نمی‌توان $$\displaystyle\lim\limits_{x\to-1} g(x)$$ را تعیین کرد.

مثال ۳: حد مهم $$\displaystyle\lim\limits_{\theta \to 0} \frac {\sin \theta} \theta$$

در این مثال، درباره حد $$\displaystyle\lim\limits_{\theta \to 0} \frac {\sin \theta} \theta$$ بحث خواهیم کرد که می‌توان آن را به حدهای مشابه آن نیز تعمیم داد. برای به‌دست آوردن حد مورد نظر، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

گام اول: ابتدا دو مورد را در بازه توابع مثلثاتی یادآوری می‌کنیم:

• وقتی زاویه برحسب رادیان باشد، طول کمان دایره از رابطه $$s=r \theta$$ به‌دست می‌آید. در دایره واحد، رابطه مذکور به $$s= \theta$$ کاهش می‌یابد.
• برای نقاط روی دایره واحد، ارتفاع $$y$$‌ برابر است با $$\sin \theta$$.

گام دوم: در این‌جا نشان می‌دهیم: $$\sin \theta \leq \theta$$.

با توجه به شکل زیر، طول کمان دایره‌ای، $$s= \theta$$، بزرگ‌تر از خط عمودی $$\sin \theta$$ است.

گام سوم: در این مرحله، نشان می‌دهیم رابطه $${\color{secondaryColor}\theta} \leq {\color{tertiaryColor}\tan \theta}$$‌ برقرار است. به شکل زیر توجه کنید. فاصله عمودی خط $${\color{tertiaryColor}\tan \theta}$$ (از نقطه روی کمان تا محور افقی) برابر با فاصله عمودی کمان $${\color{secondaryColor}\theta}$$ است، اما باید فاصله افقی بیش‌تری را پوشش دهد، بنابراین، از کمان بزرگ‌تر است.

گام چهارم: با چند عملیات جبری می‌توان $$\frac{\sin \theta} \theta$$ را بین دو نامساوی قرار داد:

$$\\ \begin{align*} {\color{importantColor}\sin \theta} & \leq {\color{secondaryColor}\theta} \leq {\color{tertiaryColor}\tan\theta}\\[6pt] {\color{importantColor}\sin \theta} & \leq {\color{secondaryColor}\theta} \leq \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\[6pt] \frac{\sin \theta}{\sin\theta} & \leq \frac{\theta}{\sin\theta} \leq \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot \frac 1 {\sin\theta}\\[6pt] {\color{importantColor}1} & \leq \frac \theta {\sin \theta} \leq \frac 1 {\cos \theta}\\[6pt] {\color{importantColor}\cos \theta} & \leq \frac {\sin \theta}\theta \leq {\color{tertiaryColor}1}\\[6pt] \end{align*} \\$$

گام پنجم: حد $$x\to 0$$ را برای دو تابع بیرونی به‌صورت زیر به‌دست می‌آوریم:

$${\color{importantColor}\displaystyle\lim_{\theta \to 0} 1} = {\color{tertiaryColor}\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \cos \theta} = 1$$

گام ششم: از قضیه فشردگی یا همان ساندویچ استفاده می‌کنیم؛ از آن‌جایی که $$y = \frac{\sin\theta}\theta$$ بین دو تابع $$y = 1$$ و $$y = \cos \theta$$ فشرده شده است، می‌توان نتیجه گرفت: $$\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}\theta = 1$$.

مثال ۴

حد زیر را به‌ دست آورید:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\cos \left( {\frac{1}{x}} \right)$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

حل: با توجه به صورت مسئله، از دانسته‌های قبلی خود استفاده می‌کنیم. همان‌گونه که می‌دانیم، رابطه زیر برای تابع کسینوس برقرار است:

$$- 1 \le \cos \left( x \right) \le 1$$

نامعادله کسینوسی فوق به آرگومان وابسته نیست، بنابراین می‌توان رابطه زیر را نیز نوشت:

$$- 1 \le \cos \left( {\frac{1}{x}} \right) \le 1$$

از آن‌جایی که مقدار $$x^2$$ مثبت است، می‌توانیم بدون تغییر جهت، آن را در نامعادله ضرب کنیم:

$$- {x^2} \le {x^2}\cos \left( {\frac{1}{x}} \right) \le {x^2}$$

حد توابع دو سمت راست و چپ نامعادله، به‌صورت زیر است:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - {x^2}} \right) = 0$$

بنابراین، با توجه به قضیه ساندویچ داریم:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\cos \left( {\frac{1}{x}} \right) = 0$$

شکل زیر، نمودار سه تابع را نشان می‌دهد که در نقطه $$x=0$$ فشردگی وجود دارد.

اگر این آموزش برای شما مفید بوده و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• روش‌های مشتق‌گیری — به همراه مثال
• قانون سینوس‌ ها (Law of Sines) — به زبان ساده
• توابع هذلولوی یا هیپربولیک — از صفر تا صد

^^