فرآیند آدیاباتیک — به زبان ساده

پیش‌تر در مطلبی تحت عنوان گاز ایده‌آل به تعریف این‌گونه از گاز‌ها پرداختیم. در این مطلب قصد داریم تا فرآیند آدیاباتیک رخ داده روی گاز‌های ایده‌آل را بررسی کرده و روابط حاکم بر آن را نیز توضیح دهیم. در ابتدا اجازه دهید تا به‌طور خلاصه فرآیند آدیاباتیک را توضیح دهیم.

فرآیند آدیاباتیک

در ترمودینامیک، آدیاباتیک یا بی‌دررو به فرآیندی اطلاق می‌شود که در آن انتقال حرارت و جرم بین سیستم ترمودینامیکی و محیط اطراف وجود نداشته باشد. در حقیقت در چنین فرآیندی تنها کار عامل انتقال انرژی بین سیستم و محیط محسوب می‌شود.

فیلم آموزش ترمودینامیک 1 – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

برخی از فرآیند‌های فیزیکی و شیمیایی در زمان بسیار کوتاهی انجام می‌شوند. با توجه به بالا بودن سرعت واکنش‌ در این فرآیند‌ها، سیستم فرصت انتقال حرارت با محیط اطراف را نخواهد داشت. از این رو فرآیند‌های مذکور عمدتا به‌صورت آدیاباتیک رخ می‌دهند.

در طی رخ دادن یک فرآیند ترمودینامیکی، معمولا کار انجام شده را با نماد W و انتقال حرارت صورت گرفته را با Q نمایش می‌دهند. هم‌چنین انرژی مولکول‌های سیستم را انرژی درونی نامیده و آن را با U نمایش می‌دهند. با این فرضیات اگر سیستمی در طی فرآیندی ترمودینامیکی کار W را روی محیط اطرافش انجام داده و حرارت Q را مبادله کند،‌ قانون پایستگی انرژی، (یا همان قانون اول ترمودینامیک) رابطه زیر را بیان می‌کند:

رابطه فوق می‌گوید افزایش انرژی درونی سیستم برابر با برآیند انتقال حرارت و کار انجام شده توسط سیستم است. در حالتی که با فرآیندی آدیاباتیک رو‌به‌رو باشیم، Q در رابطه فوق برابر با صفر بوده و رابطه به‌صورت زیر در می‌آید.

رابطه بالا نشان می‌دهد که در یک فرآیند ترمودینامیکی تنها کار مبادله شده با محیط، عامل تغییرات انرژی درونی سیستم محسوب می‌شود.

در اکثر کاربرد‌های صنعتی و در بیشتر سوالات دروس مرتبط با ترمودینامیک، گازهای ایده‌آل هستند که فرآیند آدیاباتیک را تجربه می‌کنند. در ادامه نحوه رخ دادن فرآیند آدیاباتیک روی یک سیستم حاوی گاز ایده‌آل و روابط حاکم بر آن را توضیح می‌دهیم.

فرآیند آدیاباتیک در گاز ایده‌آل

زمانی که یک گاز ایده‌آل به‌صورت آدیاباتیک متراکم شود، فقط کار روی آن انجام شده و دمای آن نیز افزایش می‌یابد. از طرفی در فرآیند انبساط آدیاباتیک دمای گاز کاهش یافته و کار انجام می‌شود. انبساط و تراکم، فرآیند‌هایی هستند که به‌طور تقریبی در موتور خودرو رخ می‌دهند.

فیلم آموزش ترمودینامیک مهندسی شیمی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

فرآیند انبساط آزاد

یکی دیگر از فرآیند‌های آدیاباتیک معروف،‌ فرآیند «انبساط آزاد» (Free Expansion) است. در شکل زیر محفظه‌ای را می‌بینید که در یک سمت آن گاز ایده‌آل توسط یک غشاء جدا شده است. توجه داشته باشید که در سمت دیگر، خلا بوده و محفظه نیز عایق فرض شده. با توجه به این دو فرض،‌ در صورت پاره شدن غشا، گاز در محفظه پخش می‌شود.

توجه داشته باشید که گاز در خلا پخش می‌شود، بنابراین در هنگام منتشر شدنش کاری انجام نمی‌دهد. از طرفی محفظه عایق است؛ بنابراین فرآیند به‌صورت آدیاباتیک انجام می‌شود. با صفر بودن W و Q در رابطه ۱،‌ انرژی درونی سیستم نیز تغییری نخواهد کرد (ΔU=0).

نکته بسیار مهم در تحلیل فرآیند‌ صورت گرفته روی گاز ایده‌آل این است که انرژی درونی در این گاز‌ها تنها وابسته به دمای گاز است. از این رو در فرآیند انبساط آزاد انرژی درونی گاز ثابت مانده، در نتیجه دمای گاز نیز ثابت خواهد ماند. به چنین انبساطی،‌ «انبساط ژول» (Joule Expansion) گفته می‌شود.

فرآیند شبه پایا

در شکل زیر سیلندری عایق نشان داده شده که ۱ مول گاز ایده‌آل در آن موجود است. فرض کنید روی سیلندر تعدادی سنگ ریزه قرار داده شده. اگر یکی از سنگ‌ها برداشته شود، گاز در طی فرآیندی شبه پایا منبسط شده و حجم سیلندر به اندازه‌ی dv افزایش می‌یابد.

این افزایش حجم منجر به تغییر دمای dT در گاز می‌شود. کار انجام شده در این فرآیند برابر با dW=pdV بوده و Q=0 است. از طرفی همان‌طور که عنوان شد، تغییرات انرژی درونی گاز ایده‌آل تنها وابسته به دمای گاز است. در حقیقت تغییرات انرژی درونی گاز برابر است با:

$$\Large dU=C_VdT$$

با جایگذاری کار انجام شده و تغییرات انرژی درونی در رابطه ۱ داریم:

$$\Large C_VdT=0-pdV=-pdV$$

از رابطه بالا دیفرانسیل dT برابر است با:

هم‌چنین قانون گاز ایده‌آل برای ۱ مول از آن را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

با محاسبه دیفرانسیل بالا داریم (توجه داشته باشید که R مقداری ثابت است):

رابطه فوق را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

با برابر قرار دادن رابطه فوق و رابطه ۱ داریم:

حال رابطه فوق را در ابتدا به pV تقسیم کرده و با استفاده از رابطه $$C_p=C_v+R$$،‌ عبارت زیر حاصل می‌شود.

توجه داشته باشید که در رابطه فوق $$\gamma$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود (در برخی از متون این ضریب را با k نمایش می‌دهند). حال با انتگرال‌گیری از رابطه فوق عبارت زیر بدست می‌آید.

حاصل انتگرال فوق برابر است با:

با توجه به قوانین لگاریتم،‌ روابط $$\ln (A^x)=x\ln A$$ و $$\ln (AB)=\ln A + \ln B$$ برقرارند. بنابراین، رابطه فوق را می‌توان به‌صورت زیر نوشت: