ضرب رادیکال در عدد صحیح – نحوه محاسبه به زبان ساده با مثال

$$\sqrt { ۵۰} \times ۲$$، ضرب یک عدد رادیکالی در یک عدد صحیح را نمایش می‌دهد. برای پیدا کردن حاصل این ضرب، آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$۲ \sqrt { ۵۰ }$$

فرجه رادیکال برابر با $$۲$$ است. بنابراین، عدد صحیح را به توان $$۲$$ می‌رسانیم و آن را با علامت ضرب به درون رادیکال انتقال می‌دهیم:

$$۲ \sqrt { ۵۰ } = \sqrt { ۲ ^ ۲ \times ۵۰ }$$

به این ترتیب، داریم:

$$۲ ^ ۲ = ۴$$

$$۲ \sqrt { ۵۰ } = \sqrt { ۴ \times ۵۰ }$$

$$۲ \sqrt { ۵۰ } = \sqrt { ۲۰۰ }$$

در نتیجه، حاصل‌ضرب $$\sqrt { ۵۰ }$$ در $$۲$$ برابر با $$\sqrt { ۲۰۰ }$$ است.

برای تعیین عبارت برابر با $$۵ \sqrt { ۴۵ }$$، ابتدا عدد صحیح $$۵$$ را به گونه‌ای در عدد رادیکالی $$\sqrt { ۴۵ }$$ ضرب می‌کنیم که حاصل آن به صورت یک عدد رادیکالی باشد. به این منظور، ابتدا فرجه رادیکال را مورد بررسی قرار می‌دهیم. این فرجه برابر با $$۲$$ است. بنابراین، برای انتقال $$۵$$ به زیر رادیکال، باید آن را به توان $$۲$$ برسانیم:

$$۵ \sqrt { ۴۵ } = \sqrt { ۵ ^ ۲ \times ۴۵ }$$

به این ترتیب، داریم:

$$۵ \sqrt { ۴۵ } = \sqrt { ۲۵ \times ۴۵ }$$

$$۵ \sqrt { ۴۵ } = \sqrt { ۱۱۲۵ }$$

اکنون، دو روش اصلی برای پیدا کردن گزینه صحیح داریم. اولین روش، انجام فرآیند بالا برای تمام گزینه‌ها است. با انجام این کار، خواهیم داشت:

$$۱۵ \sqrt { ۱۰ } = \sqrt { ۲۲۵ \times ۱۰ } = \sqrt { ۲۲۵۰ }$$

$$۲۵ \sqrt { ۲ } = \sqrt { ۶۲۵ \times ۲ } = \sqrt { ۱۲۵۰ }$$

$$۱۵ \sqrt { ۵ } = \sqrt { ۲۲۵ \times ۵ } = \sqrt { ۱۱۲۵ }$$

$$۷ \sqrt { ۱۵ } = \sqrt { ۴۹ \times ۱۵ } = \sqrt { ۷۳۵ }$$

بر اساس محاسبات بالا، $$۱۵ \sqrt { ۵ }$$ برابر با $$۵ \sqrt { ۴۵ }$$ است؛ زیرا حاصل هر دوی آن‌ها برابر با $$\sqrt { ۱۱۲۵ }$$ می‌شود. روش دومی که باری حل این مسئله داشتیم، ساده کردن عبارت زیر رادیکال در $$\sqrt { ۱۱۲۵ }$$ به مضرب مربع کامل بود. به عنوان مثال، عدد $$۱۱۲۵$$ را می‌توانیم به صورت حاصل‌ضرب عدد $$۲۲۵$$ در عدد $$۵$$ بنویسیم:

$$۱۱۲۵ = ۲۲۵ \times ۵$$

این ضرب را به زیر رادیکال می‌بریم:

$$\sqrt { ۱۱۲۵ } = \sqrt { ۲۲۵ \times ۵ }$$

عدد $$۲۲۵$$، مربع کامل عدد $$۱۵$$ است. به عبارت دیگر:

$$۲۲۵ = ۱۵ ^ ۲$$

به این ترتیب، داریم:

$$\sqrt { ۱۱۲۵ } = \sqrt { ۱۵ ^ ۲ \times ۵ }$$

اکنون می‌توانیم عبارت دارای توان $$۲$$ را به پشت رادیکال ببریم توان آن را حذف کنیم:

$$\sqrt { ۱۱۲۵ } = ۱۵ \sqrt { ۵ }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با انجام این مراحل نیز به گزینه صحیح رسیدیم.

برای ساده‌سازی و به دست آوردن فرم رادیکالی عبارت $$\frac { ۶ \sqrt { ۵ } }{ ۵ \sqrt { ۲ }}$$، ضرب رادیکال در عدد صحیح را برای صورت و مخرج انجام می‌دهیم:

$$۶ \sqrt { ۵ } = \sqrt { ۳۶ \times ۵ } = \sqrt { ۱۸۰ }$$

$$۵ \sqrt { ۲ } = \sqrt { ۲۵ \times ۲ } = \sqrt { ۵۰ }$$

اکنون می‌توانیم بنویسیم:

$$\frac { ۶ \sqrt { ۵ } }{ ۵ \sqrt { ۲ }} = \frac { \sqrt { ۱۸۰ } } { \sqrt { ۵۰ } }$$

بر اساس قوانین رادیکال‌ها، تقسیم دو رادیکال با رادیکال تقسیم عدد زیر آن‌ها برابر است. بنابراین، داریم:

$$\frac { \sqrt { ۱۸۰ } } { \sqrt { ۵۰ } } = \sqrt { \frac { ۱۸۰ } { ۵۰ } }$$

با ساده‌سازی تقسیم زیر رادیکال، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$\sqrt { \frac { ۱۸۰ } { ۵۰ } } = \sqrt { \frac { ۱۸ } { ۵ } }$$

در نتیجه:

$$\frac { ۶ \sqrt { ۵ } }{ ۵ \sqrt { ۲ }} = \sqrt { \frac { ۱۸ } { ۵ } }$$

عبارت $$\sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$$، یک عدد رادیکالی با فرجه $$۳$$ است. بنابراین، اگر بخواهیم $$۱۰$$ را به درون رادیکال ببریم و آن را در عدد زیر رادیکال ضرب کنیم، باید این عدد صحیح را به توان $$۳$$ برسانیم. به این ترتیب، داریم:

$$۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ \times ۲۵ }$$

در نتیجه:

$$۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰ \times ۲۵ }$$

$$۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰۰۰ }$$

نکته مهم در حل این تمرین، توجه به فرجه رادیکال و توان عدد صحیح است.