جدول سینوس کسینوس در یک نگاه

Q: زاویه های مهم در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟

زوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰، مهمترین زوایا در جدول سینوس و کسینوس هستند.

Q: سینوس و کسینوس زاویه ۳۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با یکدوم و کسینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم است.

۶۹۰

۱۴۰۵/۰۶/۲۱

۹ دقیقه

PDF

آموزش متنی جامع

نمونه سوال و تمرین + پاسخ تشریحی

آزمون سنجش یادگیری

جدول سینوس کسینوس، جدولی است که مقادیر نسبت‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس را برای زاویه‌های مهم مانند ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه نشان می‌دهد. گاهی زوایای متقارن با زوایای گفته شده نیز در ربع‌های مختلف دایره مثلثانی در جدول سینوس و کسینوس نمایش داده می‌شوند. در این مطلب از مجله فرادرس قصد داریم به بررسی مقادیر سینوس و کسینوس زوایای مهم بپردازیم. همچنین جدول سینوس و کسینوس برخی از زاویه‌های نه چندان رایج اما کاربردی را ارائه می‌کنیم.

آنچه در این مطلب می‌آموزید:

یاد می‌گیرید سینوس و کسینوس زوایای مهم را محاسبه کنید.
می‌آموزید چگونه جدول‌ سینوس کسینوس را در واحدهای مختلف بخوانید.
نحوه تبدیل زاویه را یاد خواهید گرفت.
روش تشخیص علامت توابع را در ربع‌های مختلف می‌آموزید.

فهرست مطالب این نوشته

جدول سینوس کسینوس زاویه های مهم

روش حفظ کردن جدول سینوس کسینوس

تبدیل درجه به رادیان و گرادیان

جدول سینوس کسینوس زاویه های غیر متداول

سوالات متداول در رابطه با جدول سینوس کسینوس

آزمون جدول سینوس و کسینوس

در ادامه ابتدا به معرفی سینوس و کسینوس زوایای مهم مانند ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه در قالب چند جدول می‌پردازیم. زاویه‌های سینوس و کسینوس معمولا بر حسب رادیان یا درجه بیان می‌شوند. بنابراین جدول سینوس کسینوس را هم برای واحد درجه و هم برای یکای رادیان نشان می‌دهیم. سپس فرمول تبدیل درجه به رادیان و گرادیان را معرفی می‌کنیم. در نهایت، به مرور جدول سینوس کسینوس زوایای مهم می‌پردازیم.

جدول سینوس کسینوس زاویه های مهم

در دایره مثلثاتی، زاویه‌هایی مانند زاویه ۰ درجه، زاویه ۳۰ درجه، زاویه ۴۵ درجه، زاویه ۶۰ درجه و زاویه ۹۰ درجه از اهمیت بیشتری نسبت به زاویه‌های دیگر برخوردارند. به همین دلیل، معمولا در درس ریاضی تاکید بیشتری بر سینوس و کسینوس این زاویه‌ها وجود دارد. در ادامه، جدول سینوس کسینوس زاویه‌های مهم را آورده‌ایم:

زاویه (درجه)	سینوس زاویه	کسینوس زاویه
$0 ^ { \circ }$	$0$	$0$
$30 ^ { \circ }$	$\frac {1 } { 2 }$	$\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$
$45 ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$	$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
$60 ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$	$\frac { 1 } { 2 }$
$90 ^ { \circ }$	$1$	$0$

فیلم آموزش ریاضی پایه دهم در فرادرس

کلیک کنید

یکای زاویه‌های نمایش داده شده در جدول بالا، درجه است. جدول زیر، سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم را بر حسب یکای رادیان نمایش می‌دهد:

زاویه (رادیان)	سینوس زاویه	کسینوس زاویه
$0$	$0$	$1$
$\frac { \pi } { 6 }$	$\frac { 1 } { 2 }$	$\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$
$\frac { \pi } { 4 }$	$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$	$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
$\frac { \pi } { 3 }$	$\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }$	$\frac { 1 } { 2 }$
$\frac { \pi } { 2 }$	$1$	$0$

جدول سینوس کسینوس زاویه‌های مهم — جدول سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم

زاویه‌هایی که در جداول بالا معرفی کردیم، در ربع اول دایره مثلثاتی (زاویه ۰ تا ۹۰ درجه) قرار دارند. قرینه این زاویه‌ها در ربع‌های دوم، سوم و چهارم نیز برای ما مهم هستند. بنابراین در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، جدول سینوس کسینوس این زاویه‌ها را آورده‌ایم:

زاویه (درجه)	سینوس زاویه	کسینوس زاویه
$۱۲۰ ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$
$۱۳۵ ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$
$۱۵۰ ^ { \circ }$	$\frac { ۱ } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$
$۱۸۰ ^ { \circ }$	$۰$	$- ۱$
$۲۱۰ ^ { \circ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$
$۲۲۵ ^ { \circ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$
$۲۴۰ ^ { \circ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$
$۲۷۰ ^ { \circ }$	$- ۱$	$۰$
$۳۰۰ ^ { \circ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$	$\frac { ۱ } { ۲ }$
$۳۱۵ ^ { \circ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$	$\frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$
$۳۳۰ ^ { \circ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$	$\frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$
$۳۶۰ ^ { \circ }$	$۰$	$۱$

دقت کنید زاویه $360 ^ { \circ }$ ، بر روی زاویه $0 ^ { \circ }$ منطبق می‌شود. از این‌رو مقادیر سینوس و کسینوس این زاویه و تمام زوایایی که مضربی از ۳۶۰ هستند با سینوس و کسینوس زاویه $0 ^ { \circ }$ برابر خواهد بود. در ادامه، جدول سینوس کسینوس زوایای مهم ربع‌های دوم تا چهارم دایره مثلثاتی بر حسب رادیان آورده شده است:

زاویه (رادیان)	سینوس زاویه	کسینوس زاویه
$\frac { ۲ \pi } { ۳ }$	$\frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$
$\frac { ۳ \pi } { ۴ }$	$\frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$
$\frac { ۵ \pi } { ۶ }$	$\frac { ۱ } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$
$\pi$	$۰$	$- ۱$
$\frac { ۷ \pi } { ۶ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$
$\frac { ۵ \pi } { ۴ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$
$\frac { ۴ \pi } { ۳ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$
$\frac { ۳ \pi } { ۲ }$	$- ۱$	$۰$
$\frac { ۵ \pi } { ۳ }$	$- \frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$	$\frac { ۱ } { ۲ }$
$\frac { ۷ \pi } { ۴ }$	$- \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$	$\frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }$
$\frac { ۱۱ \pi } { ۶ }$	$- \frac { ۱ } { ۲ }$	$\frac { \sqrt{ ۳ } } { ۲ }$
$۲ \pi$	$۰$	$۱$

مطلب پیشنهادی:

جدول دایره مثلثاتی چیست؟ – روش محاسبه + حل مثال

شروع مطالعه

روش حفظ کردن جدول سینوس کسینوس

برای به خاطر داشتن جدول سینوس و کسینوس زوایای مهم، نیازی به حفظ کردن تمام اعداد و علامت‌ها نیست. فقط زوایای مهم در ربع اول دایره مثلثاتی (۰ تا ۹۰ درجه) را حفظ کنید. مقادیر سینوس و کسینوس زوایای مهم، در ربع‌های دوم، سوم و چهارم تکرار می‌شوند و فقط علامت آن‌ها در برخی از ربع‌ها تغییر می‌کند. برای درک این موضوع، دایره مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید:

فیلم آموزش محاسبه سینوس و کسینوس در فرادرس

کلیک کنید

علامت سینوس و کسینوس در ربع‌های مختلف دایره مثلثاتی به صورت زیر است:

ربع اول: علامت سینوس و کسینوس مثبت است.
ربع دوم: علامت سینوس، مثبت و علامت کسینوس، منفی است.
ربع سوم: علامت سینوس و کسینوس منفی است.
ربع چهارم: علامت سینوس، منفی و علامت کسینوس مثبت است.

با به خاطر داشتن مقادیر سینوس و کسینوس ربع اول دایره مثلثاتی و علامت آن‌ها در ربع‌های دیگر، به راحتی می‌توانید سینوس و کسینوس زاویه‌های مهم را حفظ کنید.

تبدیل درجه به رادیان و گرادیان

واحد درجه، رایج‌ترین یکای مورد استفاده برای بیان زاویه است. در مثلثات، اغلب از این یکا یا رادیان برای بیان سینوس، کسینوس و دیگر نسبت‌های مثلثاتی یک زاویه استفاده می‌شود. علاوه بر رادیان، گرادیان نیز به عنوان یکی از یکاهای شناخته شده زاویه به‌شمار می‌رود. فرمول‌‌‌های تبدیل یکاهای زاویه عبارت هستند از:

$radian = \frac { degree \times \pi }{ ۱۸۰ ^ { \circ }}$

$gradian = \frac { degree \times ۴۰۰ }{ ۳۶۰ ^ { \circ }}$

degree: درجه
radian: رادیان
gradian: گرادیان

به این ترتیب اگر جدول سینوس و کسینوس، بر اساس یکی از یکاهای درجه، رادیان و گرادیان نوشته شده باشد، می‌توانید زاویه‌ها را به دو یکای دیگر تبدیل کنید.

جدول سینوس کسینوس زاویه های غیر متداول

هنگام بحث در مورد جدول سینوس و کسینوس، معمولا سینوس و کسینوس زوایایی نظیر ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه به ذهن می‌آید. با وجود تاکید منابع مختلف بر روی این زوایای مهم، زاویه‌های دیگری نیز وجود دارند که سینوس و کسینوس آن‌ها، از اهمیت بالایی در حوزه‌های مختلف برخوردار هستند. این زوایا در جدول زیر آورده شده‌اند:

زاویه (درجه)	سینوس زاویه	کسینوس زاویه
$۱۵ ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt { ۶ } - \sqrt { ۲ } } { ۴ } \approx ۰/۲۵۹$	$\frac { \sqrt { ۶ } + \sqrt { ۲ } } { ۴ } \approx ۰/۹۶۶$
$۳۶ ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۵ - \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۵۸۸$	$\frac { \sqrt { ۵ } + ۱ } { ۴ } \approx ۰/۸۰۹$
$۵۳ ^ { \circ }$	$۰/۷۹۹$	$۰/۶۰۲$
$۷۲ ^ { \circ }$	$\frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۵ + \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۹۵۱$	$\frac { \sqrt { ۲ } \sqrt { ۳ - \sqrt { ۵ } } } { ۴ } \approx ۰/۳۰۹$

زوایای معرفی شده در جدول بالا و مقادیر سینوس و کسینوس آن‌ها، در بسیاری از مسائل ریاضی مقاطع دبیرستان و دانشگاه آورده می‌شوند.

مطلب پیشنهادی:

روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین

شروع مطالعه

سوالات متداول در رابطه با جدول سینوس کسینوس

در آخرین بخش از این مطلب مجله فرادرس، به برخی از پرتکرارترین سوالات مرتبط با جدول سینوس و کسینوس و زاویه‌های مهم در این جدول پاسخ می‌دهیم. همچنین اگر تمایل دارید با نحوه رسم نمودارهای تابع سینوسی یا کسینوسی آشنا شوید، می‌توانید مطلب «رسم نمودار سینوس و کسینوس – به زبان ساده با مثال و تمرین» را مطالعه کنید.

زاویه های مهم در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟

زوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰، مهم‌ترین زوایا در جدول سینوس و کسینوس هستند.

مهم‌ترین زوایای غیرمتداول در جدول سینوس و کسینوس چه هستند؟

زوایای ۱۵، ۳۶، ۵۳ و ۷۲، از زوایای مهمی هستند که معمولا در جدول سینوس و کسینوس نمایش داده نمی‌شوند. سینوس و کسینوس این زوایا، کاربردهای زیادی در حوزه‌های مختلف دارد.

یکای زاویه ها در جدول سینوس و کسینوس چیست؟

درجه و رادیان، متداول‌ترین یکای زاویه در جدول سینوس کسینوس هستند.

رابطه بین جدول سینوس کسینوس با جدول تانژانت و کتانژانت چیست؟

با تقسیم مقادیر جدول سینوس و کسینوس بر هم، مقادیر جدول تانژانت و کتانژانت به دست می‌آید. تانژانت، حاصل تقسیم سینوس بر کسینوس و کتانژانت، حاصل تقسیم کسینوس بر روی سینوس است.

سینوس و کسینوس کدام زاویه با هم برابرند؟

سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ درجه با هم برابرند.

سینوس و کسینوس زاویه ۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۰ و کسینوس زاویه ۰ درجه برابر با ۱ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۳۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با یک‌دوم و کسینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم است.

سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ درجه چند است؟

سینوس و کسینوس زاویه ۴۵ برابر با رادیکال دو دوم است.

سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با رادیکال سه دوم و کسینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با یک‌دوم است.

سینوس و کسینوس زاویه ۹۰ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۱ و کسینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۰ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۱۵ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۱۵ درجه، تقریبا برابر با ۰/۲۵۹ و کسینوس زاویه ۱۵ درجه، تقریبا برابر با ۰/۹۶۶ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۳۶ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۳۶ درجه، تقریبا برابر با ۰/۵۸۸ و کسینوس زاویه ۳۶ درجه، تقریبا برابر با ۰/۸۰۹ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۷۲ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۷۲ درجه، تقریبا برابر با ۰/۹۵۱ و کسینوس زاویه ۷۲ درجه، تقریبا برابر با ۰/۳۰۹ است.

سینوس و کسینوس زاویه ۵۳ درجه چند است؟

سینوس زاویه ۵۳ درجه، تقریبا برابر با ۰/۷۹۹ و کسینوس زاویه ۵۳ درجه، تقریبا برابر با ۰/۶۰۲ است.

علامت مقادیر جدول سینوس و کسینوس در ربع های دایره مثلثاتی چگونه است؟

علامت سینوس در ربع‌های اول و دوم، مثبت بوده و در ربع‌های سوم و چهارم، منفی است. علامت کسینوس، در ربع‌های اول و چهارم، مثبت بوده و در ربع‌های دوم و سوم منفی است.

آزمون جدول سینوس و کسینوس

۱. در جدول سینوس و کسینوس، مقدار تابع سینوس و کسینوس برای زاویه ۴۵ درجه برابر با کدام عدد ویژه است؟

صفر

ریشه دوم سه تقسیم بر دو

یک دوم

ریشه دوم دو تقسیم بر دو

پاسخ تشریحی

برای زاویه ۴۵ درجه، هم مقدار سینوس (sin) و هم کسینوس (cos) برابر با «ریشه دوم دو تقسیم بر دو (√۲/۲)» است. این مقدار یک ویژگی خاص جدول مثلثاتی بوده و فقط به این زاویه اختصاص دارد.

۲. برای تبدیل زاویه از درجه به رادیان ، چه فرمولی استفاده می‌شود و هر بخش آن چه معنایی دارد؟

برای تبدیل، مقدار درجه را با گرادیان جایگزین و به همان صورت رادیان می‌گیریم.

زاویه در درجه را در ۳۶۰ تقسیم بر پی ضرب می‌کنیم تا رادیان محاسبه شود.

مقدار زاویه در درجه را در عدد پی تقسیم بر ۱۸۰ ضرب می‌کنیم تا معادل رادیان بدست آید.

زاویه در رادیان را مستقیما با همان مقدار عددی از درجه می‌نویسیم.

پاسخ تشریحی

طبق فرمول تبدیل درجه به رادیان، «مقدار زاویه در درجه را در عدد پی تقسیم بر ۱۸۰ ضرب می‌کنیم» که باعث می‌شود زاویه به واحد رادیان تبدیل شود. این فرمول نشان می‌دهد که هر بخش زاویه بر اساس نسبت بین ۱۸۰ درجه و عدد پی سنجیده می‌شود.

۳. اگر زاویه‌ای در ربع سوم دایره مثلثاتی باشد، با دانستن جدول ربع اول و توجه به الگوی علامت، چگونه می‌توان مقدار سینوس و کسینوس آن را پیدا کرد؟

عدد جدول ربع اول را گرفته و هر دو مقدار سینوس و کسینوس را منفی می‌کنیم.

عدد جدول ربع اول را گرفته و فقط مقدار سینوس را منفی می‌کنیم.

بدون تغییر علامت، عدد جدول ربع اول برای هر دو تابع استفاده می‌شود.

فقط به علامت کسینوس توجه می‌کنیم و سینوس را همان‌گونه برمی‌داریم.

پاسخ تشریحی

در ربع سوم دایره مثلثاتی هر دو مقدار سینوس و کسینوس علامت منفی دارند. بنابراین کافی است مقادیر جدول ربع اول را بیابیم و برای هر دو مقدار، علامت منفی بگذاریم.

۴. برای یافتن مقدار سینوس یا کسینوس زاویه ۳۶ درجه در کوتاه‌ترین زمان، کدام جدول راه‌گشاتر است و دلیل آن چیست؟

جدول سینوس و کسینوس زوایای غیرمتداول که زوایایی مثل ۳۶ درجه را پوشش می‌دهد.

جدول تانژانت/کتانژانت برای دستیابی به مقادیر سریع‌تر

جدول زوایای مهم مثل ۳۰ یا ۴۵ درجه چون رایج‌تر هستند.

جدول زوایای ربع اول دایره فقط برای زاویه‌های شناخته‌شده

پاسخ تشریحی

در جدول سینوس و کسینوس زوایای غیرمتداول، مقادیر دقیق سینوس و کسینوس زاویه‌هایی مانند «۳۶ درجه» ارائه شده است و این جدول برای دستیابی سریع به مقدار این زوایا طراحی شده است. جدول زوایای مهم مقادیر رایج مثل «۳۰ یا ۴۵ درجه» را دارد و جدول ربع اول فقط زاویه‌های اصلی را نمایش می‌دهد. جدول تانژانت/کتانژانت هم به تریگونومتری دیگری مربوط است و مقادیر سینوس/کسینوس را مستقیم نشان نمی‌دهد.

۵. واحد گرادیان در تبدیل واحدهای زاویه‌ای چه ویژگی‌ای دارد و عمدتا در چه زمینه‌ای کاربرد دارد؟

گرادیان رایج‌ترین واحد زاویه است و بیشتر در ریاضیات پایه به کار می‌رود.

گرادیان معادل با رادیان است و فقط در فیزیک استفاده می‌شود.

گرادیان فقط برای جدول‌های سینوس و کسینوس زوایای خاص به کار می‌رود.

گرادیان کمتر متداول است و عمدتا در مهندسی و حوزه‌های فنی کاربرد دارد.

پاسخ تشریحی

واحد گرادیان نسبت به درجه و رادیان کمتر متداول است و استفاده اصلی آن در مهندسی و حوزه‌های فنی است.

محصول، خدمات یا برند خود را در مجله فرادرس معرفی کنید.

کلیک کنید

مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید

بر اساس رای ۱ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.

ثبت نظر

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.

مطالب مرتبط