انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با انتگرال در این مطلب قصد داریم تا روشی را معرفی کنیم که در بدست آوردن انتگرال توابع رادیکالی مفید است. انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی تکنیکی شناخته شده در محاسبه انتگرال محسوب می‌شود. در حقیقت این روش، عکس محاسبه انتگرال‌گیری از توابع مثلثاتی است.

توابع شامل $$\large \sqrt { a ^ 2 − x ^ 2 }$$

در قسمت اول روش محاسبه انتگرال توابعی که عبارت $$\sqrt { a ^ 2 − x ^ 2 }$$ را در خود دارند، ارائه خواهیم داد. بدین منظور در قالب مثال این روش را شرح می‌دهیم. فرض کنید هدف ما بدست آوردن انتگرال $$\int \sqrt { 9 − x ^ 2 } d x$$ است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

این انتگرال با استفاده از روش‌هایی مانند جز‌ء به جزء قابل حل نیست. فرض کنید از تغییر متغیر $$x = 3 \sin θ$$ استفاده شود. در این صورت دیفرانسیل $$d x = 3 \cos θ \, d θ$$ بدست می‌آید. نهایتا پس از قرار دادن تغییر متغیر مذکور در تابع تحت انتگرال، داریم:

$$\large ∫ \sqrt { 9− x ^ 2 } d x = ∫ \sqrt {​ 9 − ( 3 \sin θ ) ^ 2 } 3 \cos θ \, d θ$$

پس از ساده‌سازی عبارت بالا، می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\large ∫ \sqrt {​ 9 − x ^ 2 } d x = ∫​ 9 \sqrt { 1 − \sin ^ 2 θ } \cos θ \, d θ$$

با استفاده از رابطه $$1 − \sin ^ 2 θ = \cos ^ 2 θ$$، عبارت بالا به شکل در می‌آید.

$$\large ∫ \sqrt {​ 9 − x ^ 2 } d x = ∫​ 9 \sqrt { \cos ^ 2 θ } \cos θ \, d θ$$

با فرض این‌که $$\cos θ ≥ 0$$ باشد، عبارت فوق را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$\large ∫ \sqrt {​ 9 − x ^ 2 } d x = ∫​ 9 \cos ^ 2 θ \, d θ$$

از این مرحله به بعد با استفاده از رابطه $$\cos ^ 2 θ = \frac { 1 + \cos 2 \theta } { 2 }$$ حاصل انتگرال فوق به راحتی محاسبه می‌شود. بنابراین به منظور محاسبه انتگرال‌هایی که در آن‌ها عبارت $$\sqrt { a ^ 2 − x ^ 2 }$$ وجود دارد، می‌توان از تغییر متغیر $$x = a \sin \theta$$ استفاده کرد. روش حل انتگرال‌هایی به شکل بالا در این لینک ارائه شده است.

مثال ۱

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید.

$$\large \int { { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \, d x } }$$

در عبارت بالا ترم $$\sqrt { 9 - x ^ 2 }$$ منجر می‌شود تا به فکر استفاده از تغییر متغیر سینوسی بیافتیم. بنابراین تغییر متغیر در نظر گرفته شده و دیفرانسیل معادل با آن، برابر است با:

$$\large x = 3 \sin \theta \hspace {0.5in} \hspace {0.25in} d x = 3 \cos \theta \, d \theta$$

در نتیجه ترم رادیکالی موجود در تابع به صورت زیر در می‌آید.

$$\large \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } = 3 \sqrt { 1 - { { \sin } ^ 2 } \theta } = 3 \sqrt { { { \cos } ^ 2 } \theta } = 3 \left | { \cos \theta } \right | = 3 \cos \theta$$

دلیل حذف قدر مطلق این است که در این‌جا هدف محاسبه انتگرال نامعین است. بنابراین با فرض مثبت بودن تمامی ترم‌ها می‌توان آن‌ را حذف کرد. نهایتا شکل انتگرال را می‌توان بر حسب θ، به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \begin {align*} \int { { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } & = \int { { \frac { 1 }{ { 8 1 { { \sin } ^ 4 } \theta \left ( { 3 \cos \theta } \right ) } } \, 3 \cos \theta \, d \theta } } \\ & = \frac { 1 } { { 8 1 } } \int { { \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 4 } \theta } } \, d \theta } } \\ & = \frac { 1 } { { 8 1 } } \int { { { { \csc } ^ 4 } \theta \, d \theta } } \end {align*}$$

در مبحث انتگرال توابع مثلثاتی نحوه بدست آوردن توابع مثلثاتی را توضیح دادیم. به منظور محاسبه انتگرال فوق نیز می‌توان از تغییر متغیر $$u = \cot \theta$$ استفاده کرد. بنابراین حاصل انتگرال، نهایتا به شکل زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} \int { { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } & = \frac { 1 } { { 8 1 } } \int { { { { \csc } ^ 2 } \theta \, { { \csc } ^ 2 } \theta \, d \theta } } \\ & = \frac { 1 } { { 8 1 } } \int { { \left ( { { { \cot } ^ 2 } \theta + 1 } \right ) \, { { \csc } ^ 2 } \theta \, d \theta } } \hspace {0.5in} \Rightarrow \ \ u = \cot \theta \\ & = - \frac { 1 } { { 8 1 } } \int { { { u ^ 2 } + 1 \, d u } } \\ & = - \frac { 1 } { { 8 1 } } \left ( { \frac { 1 } { 3 } { { \cot } ^ 3 } \theta + \cot \theta } \right ) + c \end{align*}$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

به منظور محاسبه cot θ، می‌توان از مثلث زیر استفاده کرد. با توجه به تغییر متغیر در نظر گرفته شده، می‌توان مثلث زیر را تصور کرد.

با توجه به مثلث فوق روابط زیر برقرارند.

$$\large \sin \theta = \frac { x } { 3 } \hspace {0.5in} \cot \theta = \frac { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } { x }$$

نهایتا حاصل انتگرال برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} \int { { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } & = - \frac { 1 } { { 8 1 } } \left ( { \frac { 1 } { 3 } { { \left ( { \frac { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } { x } } \right ) } ^ 3 } + \frac { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } { x } } \right ) + c \\ & = - \frac { { { { \left ( { 9 - { x ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } }{ { 2 4 3 { x ^ 3 } } } - \frac { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } { { 8 1 x } } + c \end {align*}$$

در برخی از موارد ممکن است، به جای x از عبارت ax+b استفاده شده باشد. در چنین مواردی در ابتدا بایستی عبارت زیر رادیکال را ساده‌ کرد.

مثال ۲

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید.

$$\large \displaystyle \int { { \frac { { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 5 } } } { { { { \left ( { 4 0 - 6 z - { z ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d z } }$$

اولین قدمی که بایستی انجام شود، مربعی کردن عبارت زیر انتگرال است. در حقیقت عبارت تحت انتگرال را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \begin {align*} 4 0 - 6 z - { z ^ 2 } & = - \left ( { { z ^ 2 } + 6 z - 4 0 } \right ) = - \left ( { { z ^ 2 } + 6 z + 9 - 9 - 4 0 } \right ) = - \left [ { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } - 4 9 } \right ] \\ & = 4 9 - { \left ( { z + 3 } \right ) ^ 2 } \end {align*}$$

با استفاده از عبارت فوق، رابطه انتگرال به شکل زیر در می‌آید.

$$\large \int { { \frac { { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 5 } } } { { { { \left ( { 4 0 - 6 z - { z ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d z } } = \int { { \frac { { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 5 } } } { { { { \left ( { 4 9 - { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d z } }$$

عبارت $$4 9 - ( z + 3 ) ^2$$ را می‌توان معادل با $$( a ^ 2 - x ^ 2 )$$ در نظر گرفت. لذا تغییر متغیر زیر قابل استفاده خواهد بود.

$$\large z + 3 = 7 \sin \left ( \theta \right )$$

با این تغییر، عبارت زیر انتگرال نیز به شکل زیر در خواهد آمد.

$${ \left ( { 4 9 - { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } = { \left [ { \sqrt { 4 9 - \left ( { z + 3 } \right ) } } \right ] ^ 3 } = { \left [ { \sqrt { 4 9 - 4 9 { { \sin } ^ 2 } \left ( \theta \right ) } } \right ] ^ 3 } = { \left [ { 7 \sqrt { { { \cos } ^ 2 } \left ( \theta \right ) } } \right ] ^ 3 } = 3 4 3 { \left| { \cos \left ( \theta \right ) } \right | ^ 3 }$$

در ادامه با توجه به این که انتگرال گرفته شده، به صورت نامعین است، کسینوس مثبت فرض شده و می‌توان آن را از قدر مطلق بیرون آورد. نهایتا عبارت فوق به صورت زیر بازنویسی می‌شود.

$$\large { \left ( { 4 9 - { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } = 3 4 3 { \cos ^ 3 } \left ( \theta \right )$$

همچنین دیفرانسیلِ متناسب با تغییر متغیر در نظر گرفته شده،‌ برابر است با:

$$\large \left ( 1 \right ) d z = 7 \cos \left ( \theta \right ) \, d \theta \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} d z = 7 \cos \left ( \theta \right) \, d \theta$$

با جایگذاری تغییر متغیر مذکور به جای z، انتگرال به صورت زیر در می‌آید.

$$\large \int { { \frac { { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 5 } } } { { { { \left ( { 4 0 - 6 z - { z ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d z } } = \int { { \frac { { 1 6 8 0 7 { { \sin } ^ 5 } \left ( \theta \right ) } }{ { 3 4 3 { { \cos } ^ 3 } \left ( \theta \right ) } } \left ( { 7 \cos \left ( \theta \right ) } \right ) \, d \theta } } = 3 4 3 \int { { \frac { { { { \sin } ^ 5 } \left ( \theta \right ) } } { { { { \cos } ^ 2 } \left ( \theta \right ) } } \, d \theta } }$$

برای حل این انتگرال، یک توان از $$\sin \theta$$ جدا کرده و مابقی را بر حسب $$\cos \theta$$ می‌نویسیم. در این صورت حاصل انتگرال با استفاده از تغییر متغیر $$u = \cos \theta$$، به شکل زیر قابل محاسبه خواهد بود.

$$\large \begin {align*} \int { { \frac { { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 5 } } } { { { { \left ( { 4 0 - 6 z - { z ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d z } } & = 3 4 3 \int { { \frac { { { { \left [ { 1 - { { \cos } ^ 2 } \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } } { { { { \cos } ^ 2 } \left ( \theta \right ) } } \sin \left ( \theta \right ) \, d \theta } } \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \Rightarrow u = \cos \left ( \theta \right) \\ & = - 3 4 3 \int { { \frac { { { { \left [ { 1 - { u ^ 2 } } \right ] } ^ 2 } } } { { { u ^ 2 } } } \, d u } } = - 3 4 3 \int { { { u ^ { - 2 } } - 2 + { u ^ 2 } \, d u } } \\ & = - 3 4 3 \left ( { - {u ^ { - 1 } } - 2 u + \frac { 1 } { 3 } { u ^ 3 } } \right ) + c\\ & = - 3 4 3 \left( { - \frac{1}{{\cos \left( \theta \right)}} - 2\cos \left( \theta \right) + \frac{ 1 } { 3 } { { \cos } ^ 3 } \left ( \theta \right ) } \right ) + c \end {align*}$$

از طرفی با توجه به تغییر متغیر در نظر گرفته شده، می‌توان از مثلث زیر برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی بهره برد.

با توجه به مثلث فوق، $$\cos \theta$$ برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\large \cos \left ( \theta \right ) = \frac { { \sqrt { 4 9 - { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } } } { 7 }$$

بنابراین حاصل انتگرال برابر است با:

$$\large \int { { \frac { { { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 5 } } } { { { { \left ( { 40 - 6 z - { z ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d z } } = { { \frac { { 2401 } } { { \sqrt { 49 - { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } } } + 98 \sqrt { 49 - { { \left ( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } - \frac { { { { \left( { 49 - { { \left( { z + 3 } \right ) } ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } { 3 } + c } }$$

توابع شامل $$\large \sqrt { a ^ 2 + x ^ 2 }$$

برای توابعی که ترم $$\large \sqrt { a ^ 2 + x ^ 2 }$$ در آن‌ها وجود دارد، می‌توان از تغییر متغیر $$x = a \tan θ$$ استفاده کرد. در این حالت، می‌توان از مثلث زیر به منظور محاسبه دیگر مقادیر مثلثاتی بهره برد.

مثال ۳

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$\large \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { 1 } { 6 } } } { { \frac { { { x ^ 5 } } } { { { { \left ( { 3 6 { x ^ 2 } + 1 } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d x } }$$

تابع تحت انتگرال برای این تابع را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large {\left( {36{x^2} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{{\left( {36{x^2} + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} = {\left( {\sqrt {36{x^2} + 1} } \right)^3}$$

با فاکتور‌گیری از ضریب x، می‌توان به قالبِ $$\sqrt { a ^ 2 + x ^ 2 }$$ رسید. بنابراین با استفاده از تغییر متغیر زیر، انتگرال قابل حل خواهد بود.

$$\large x = \frac { 1 } { 6 } \tan \theta \hspace {0.5in} \hspace {0.25in} d x = \frac { 1 } { 6 } { \sec ^ 2 } \theta \, d \theta$$

با استفاده از تغییر متغیر فوق، مخرج کسرِ انتگرال به صورت زیر در می‌آید.

$$\large { \left ( { \sqrt { 3 6 { x ^ 2 } + 1 } } \right ) ^ 3 } = { \left ( { \sqrt { { { \tan } ^ 2 } \theta + 1 } } \right ) ^ 3 } = { \left ( { \sqrt { { { \sec } ^ 2 } \theta } } \right ) ^ 3 } = { \left| { \sec \theta } \right| ^ 3 }$$

توجه داشته باشید که بازه‌های قرار داده شده، برای x هستند. بنابراین در هنگام تغییر متغیر باید آن‌ها را بر حسب متغیر جدید بیان کرد. از این رو بازه‌ی جدید را می‌توان به‌صورت زیر بدست آورد.

$$\large \begin {align*} x & = 0 \, \, \, :\, \, \, 0 = \frac { 1 } { 6 } \tan \theta \hspace {0.25in} \, \, \, \Rightarrow \hspace {0.25in} \, \, \theta = { \tan ^ { - 1} } \left ( 0 \right ) = 0 \\ x &= \frac { 1 }{ 6 } \, \, \, :\, \, \, \frac { 1 } { 6 } = \frac { 1 } { 6 } \tan \theta \hspace {0.25in} \, \Rightarrow \hspace {0.25in} \, \, \theta = {\tan ^{ - 1}}\left( 1 \right) = \frac { \pi } { 4 } \end {align*}$$

با استفاده از تغییر متغیر در نظر گرفته شده، تابع تحت انتگرال را می‌توان بر حسب متغیر جدید به ‌صورت زیر نوشت:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { 1 } { 6 } } } { { \frac { { { x ^ 5 } } } { {{ { \left( { 3 6 { x ^ 2 } + 1 } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d x } } & = \frac{1}{{46656}}\int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{4}}}{{\frac{{{{\sin }^5}\theta }}{{{{\cos }^4}\theta }}d\theta }}\\ & = \frac{1}{{46656}}\int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{4}}}{{\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right)}^2}}}{{{{\cos }^4}\theta }}\sin \theta d\theta }}\end{align*}$$

همانند مثال قبل، تمامی عبارت‌ زیر انتگرال را بر حسب $$\cos \theta$$ بیان کرده و توان اول $$\sin \theta$$ را نگه می‌داریم. در این صورت به انتگرال زیر خواهیم رسید.

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { 1 } { 6 } } } { { \frac { { { x ^ 5 } } } { { { { \left( { 3 6 { x ^ 2 } + 1} \right ) } ^{ \frac { 3 } { 2 }} } } } \, d x } } & = \frac { 1 } { { 4 6 6 5 6 } } \int _ { {\, 0 } } ^ { { \, \frac{\pi }{4}}}{{\frac{{{{\sin }^5}\theta }}{{{{\cos }^4}\theta }}d\theta }}\\ & = \frac{1}{{46656}}\int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{4} } } { { \frac { { { { \left ( { 1 - { { \cos } ^ 2 } \theta } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \cos } ^ 4 } \theta } } \sin \theta d\theta } } \end {align*}$$

حال بایستی از تغییر متغیر $$u = \cos \theta$$ به منظور حل انتگرال فوق استفاده کرد. از طرفی بازه‌های انتگرال‌گیری نیز بایستی مطابق با عبارت زیر بر حسب متغیر‌ u بیان شوند.

$$\large \begin {align*}\theta & = 0 & \Rightarrow \hspace{0.75in} & u = \cos 0 = 1\\ \theta & = \frac { \pi } { 4 } & \Rightarrow \hspace{0.75in} & u = \cos \frac { \pi } { 4 } = \frac { { \sqrt 2 } }{ 2 } \end {align*}$$

بنابراین نهایتا حاصل انتگرال برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \frac { 1 } { 6 } } } { { \frac { { { x ^ 5 } } } { { { { \left( { 3 6 { x ^ 2 } + 1 } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \, d x } } & = - \frac { 1 }{ {4 6656 } } \int _ { { \, 1 } } ^ { { \, \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } } { { { u ^ { - 4 } } - 2 { u ^ { - 2 } } + 1 \, d u } } \\ & = - \frac{1}{{46656}}\left. {\left( { - \frac { 1 } { { 3 { u ^ 3 } } } + \frac { 2 } { u } + u} \right)} \right|_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\ & = \frac{1}{{17496}} - \frac{{11\sqrt 2 }}{{279936}}\end{align*}$$

توابع شامل $$\large \sqrt { x ^ 2 - a ^ 2 }$$

به منظور حل توابعی به شکل $$\large \sqrt { x ^ 2 - a ^ 2 }$$، می‌توان از تغییر متغیر $$x = a \sec θ$$ استفاده کرد.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با استفاده از این تغییر متغیر، $$d x = a \secθ \tan θ \, dθ$$ بوده و حاصل رادیکال به شکل زیر در می‌آید.

$$\large \sqrt { x ^ 2−a ^ 2 } = \sqrt { ( a \secθ) ^ 2− a ^ 2 } = \sqrt { a ^ 2 (\sec ^ 2 θ - 1 ) } = \sqrt { a ^ 2 \tan ^ 2 θ }= |a \tan θ|$$

توجه داشته باشید که رابطه فوق در x>a برابر با $$a \tan \theta$$ و در x<a برابر با $$- a \tan \theta$$ است.

مثال ۴

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$\large \int { { \frac { x } { { \sqrt { 2 { x ^ 2 } - 4 x - 7 } } } \, d x } }$$

در ظاهر عبارت زیر رادیکال به نظر یک چند جمله‌ای از مرتبه دو می‌رسد. اما می‌توان آن را به‌ شکل مربع کامل نوشته و نهایتا از تغییر متغیر‌ مثلثاتی استفاده کرد. در ابتدا عبارت زیر رادیکال را به ‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$\large 2 \left ( {{ x ^ 2 } - 2 x - \frac { 7 } { 2 } } \right ) = 2 \left ( { { x ^ 2 } - 2 x + 1 - 1 - \frac { 7 } { 2 } } \right ) = 2 \left ( { { { \left ( { x - 1 } \right ) } ^ 2 } - \frac { 9 } { 2 } } \right ) = 2 { \left ( { x - 1 } \right ) ^ 2 } - 9$$

بنابراین عبارت رادیکالی به شکل زیر در می‌آید.

$$\large \sqrt { 2 { x ^ 2 } - 4 x - 7 } = \sqrt { 2 { { \left ( { x - 1 } \right ) } ^ 2 } - 9 }$$

با توجه به رابطه فوق بایستی از تغییر متغیر زیر استفاده کرد.

$$\large x - 1 = \frac { 3 } { { \sqrt 2 } } \sec \theta \Rightarrow \hspace {0.25in} x = 1 + \frac { 3 } { { \sqrt 2 } } \sec \theta \hspace {0.25in} , d x = \frac { 3 } { { \sqrt 2 } } \sec \theta \tan \theta \, d \theta$$

با این تغییر متغیر، عبارت رادیکالی به صورت زیر بر حسب تانژانت بدست می‌آید.

$$\large \sqrt {2{x^2} - 4x - 7} = \sqrt {2{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 9} = \sqrt {9{{\sec }^2}\theta - 9} = 3\sqrt {{{\tan }^2}\theta } = 3\left| {\tan \theta } \right| = 3\tan \theta$$

توجه داشته باشید که انتگرال‌گیری به صورت نامعین است، لذا نیازی به استفاده از قدرمطلق نیست. بنابراین نهایتا حاصل انتگرال را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large \begin {align*} \int { { \frac { x } { { \sqrt { 2 { x ^ 2 } - 4 x - 7 } } } \, d x } } & = \int { { \frac{ { 1 + \frac { 3 } { { \sqrt 2 } } \sec \theta } } { { 3 \tan \theta } } \left( {\frac { 3 } { { \sqrt 2 } } \sec \theta \tan \theta } \right)\,d\theta } } \\ & = \int { { \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } \sec \theta + \frac { 3 } { 2 } { { \sec } ^ 2 } \theta \, d \theta } } \\ & = \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } \ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right| + \frac{3}{2}\tan \theta + c\end{align*}$$

برای بدست آوردن عبارت مثلثاتی فوق، راحت‌تر آن است که در ابتدا مثلث مربوط به تغییر متغیر در نظر گرفته شده، ترسیم شود. در ادامه این مثلث ارائه شده.

با توجه به مثلث فوق، توابع سکانت و تانژانت برابرند با:

$$\large \sec \theta = \frac { { \sqrt 2 \left ( { x - 1 } \right ) } } { 3 } , \ \tan \theta = \frac { { \sqrt { 2 { x ^ 2 } - 4 x - 7 } } } { 3 }$$

بنابراین نهایتا حاصل انتگرال برابر می‌شود با:

$$\large \int{{\frac{x}{{\sqrt {2{x^2} - 4x - 7} }}\,dx}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 \left( {x - 1} \right)}}{3} + \frac{{\sqrt {2{x^2} - 4x - 7} }}{3}} \right| + \frac{{\sqrt {2{x^2} - 4x - 7} }}{2} + c$$

خلاصه

• حاصل انتگرال توابعی که عبارت $$\sqrt{a^2−x^2}$$ در آن‌ها موجود باشد را می‌توان با استفاده از تغییر متغیر $$x=a\sin θ$$ بدست آورد.
• در انتگرال‌هایی که عبارت $$\sqrt{a^2+x^2}$$ در آن‌ها وجود دارد، از تغییر متغیر $$x=a\tan θ$$ استفاده می‌شود.
• به منظور بدست آوردن انتگرال توابعی که عبارتی به شکلِ $$\sqrt{x^2−a^2}$$ در آن وجود دارد، می‌توان از تغییر متغیر $$x = a \sec θ$$ استفاده کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضی
• مجموعه آموز‌ش‌های ریاضی و فیزیک
• انتگرال توابع مثلثاتی — از صفر تا صد
• انتگرال دوگانه -- به زبان ساده
• انتگرال و روش‌های محاسبه — به زبان ساده

^^