ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋﯽ — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در ریاضیات از روش جداسازی متغیر‌ها جهت حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می‌شود. به‌منظور استفاده از این روش، تابع مجهول به‌صورت حاصل ضرب توابعی از متغیر‌های وابسته‌اش در نظر گرفته می‌شود. برای نمونه فرض کنید در معادله دیفرانسیلی تابع (u(x,t بر حسب زمان و مکان بیان شده. جهت حل معادله مذکور با استفاده از روش‌ جداسازی متغیر‌ها، در ابتدا پاسخ به‌شکل حاصل‌ضرب دوتابع زیر در نظر گرفته می‌شود.

در حقیقت با این فرض، معادله اصلیِ مد نظر، به دو معادله ساده از مرتبه دوم تبدیل خواهد شد. روش جداسازی متغیر‌ها در قالب ۴ مثال توضیح داده شده که در ادامه ارائه شده‌اند.

مثال ۱

با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها، پاسخ معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

رابطه بالا در حقیقت معادله انتقال حرارت بدون منبع حرارتی است. در این رابطه u نشان دهنده دما است که وابسته به زمانِ ‌t و مکانِ x است. هم‌چنین شرایط مرزی نشان می‌دهند که دما در مرز‌ها به‌صورت ثابت در نظر گرفته شده‌اند.

طبق روش جداسازی متغیر‌ها، در اولین گام، پاسخ به‌صورت حاصل‌ضرب توابع φ و G در نظر گرفته می‌شود. بنابراین تابع u برابر است با:

با جایگذاری پاسخ بالا در معادله دیفرانسیل اولیه به رابطه‌ای خواهیم رسید که در آن مشتقات زمانی و مکانی از یکدیگر جدا شده‌اند. بنابراین رابطه دیفرانسیلی بین φ و G به‌شکل زیر به‌دست می‌آید.

همان‌طور که در بالا نیز می‌بینید پس از جداسازی متغیر‌ها، دیگر مشتق جزئی وجود ندارد. در حقیقت پس از جدا کردن متغیر‌ها، به دو معادله ساده با مشتقات $$\varphi$$ و G رسیده‌ایم. در قدم بعدی G در یک سمت و $$\varphi$$ در سمت دیگرِ رابطه قرار می‌گیرند. بنابراین رابطه بالا به‌صورت تکفیک شده‌ی زیر قابل بازنویسی است.

رابطه بالا غیرمعمول به‌نظر می‌رسد، چراکه سمت چپ آن تابعی از t و سمت راست نیز تابعی از x است. چطور این دو تابع می‌توانند با یکدیگر برابر باشند؟ در ابتدا برابری آن‌ها به نظر غیر ممکن می‌رسد اما اگر هردوی آن‌ها برابر با عددی ثابت باشند، می‌توانند با یکدیگر نیز برابر باشند. در نتیجه رابطه بالا را برابر با λ- در نظر گرفته و به‌شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

در ادامه رابطه فوق نیز به‌شکل زیر قابل بازنویسی است:

هر دو رابطه بالا، معادلات دیفرانسیلی ساده از مرتبه دوم هستند. بنابراین معادله با مشتقات جزئی به دو معادله با مشتق کامل تبدیل شد. در نتیجه با حل کردن دو معادله بالا و یافتن توابع φ و G، پاسخ معادله نیز یافت خواهد شد. اما توجه داشته باشید که پاسخ در نظر گرفته شده، شرایط مرزی را نیز بایستی ارضا کند. در نتیجه با قرار دادن $$u(x,t) \enspace= \enspace \varphi (x) \enspace G(t)$$ در شرایط مرزی داریم:

با توجه به رابطه بالا $$\varphi(0)=0$$، یا (G(t بایستی در تمامی زمان‌ها صفر باشد (G(t)=0). از آنجایی که G(t)=0 پاسخ 0=(u(x,t را نتیجه می‌دهد، در نتیجه نمی‌توان G را برابر با صفر در نظر گرفت. از این رو حالت $$\varphi(0)=0$$ صحیح است. با استفاده از همین استدلال می‌توان گفت که $$\varphi(L)=0$$ نیز بایستی برقرار باشد.

جهت بدست آوردن شرایط اولیه مربوط به تابع G، تابع $$\varphi (x) G(t)$$ را در شرط اولیه‌ی $$u(x,0)=f(x)$$ قرار داده و این نتیجه می‌رسیم که G(۰)=۰ است.

بدست آوردن $$G(t)$$ و $$\varphi(x)$$

معادله و شرط مرزی مربوط به $$\varphi (x)$$ به‌صورت زیر بدست آمد.

با توجه مقادیر مختلف $$\lambda$$، رابطه بالا در سه‌حالت $$\lambda$$ مثبت، منفی و صفر قابل بررسی است. در ادامه هریک از این حالات مورد بررسی قرار گرفته‌اند.

حالت اول: $$\lambda>0$$

معادله مشخصه مربوط به معادله ۲ برابر است با:

در نتیجه پاسخ $$\varphi$$ در حالت $$\lambda$$ کمتر از صفر برابر است با:

هم‌چنین با استفاده از شرایط مرزی داریم:

به همین صورت:

جهت برقراری رابطه بالا c₂ نمی‌تواند صفر باشد. بنابراین می‌توان گفت:

نهایتا مقادیر λ و در نتیجه تابع $$\varphi$$ برابر است با:

حالت دوم: $$\lambda=0$$

پاسخ معادله ۲ در این حالت برابر است با:

با اعمال شرایط مرزی، مقادیر c₁ و c₂، برابر هستند با:

همان‌طور که می‌بینید در این حالت ثابت‌های c برابر با صفر بدست می‌آیند؛ در نتیجه در این حالت، معادله دارای پاسخ ۰=(u(x,t بوده که مد نظر ما نیست.

حالت سوم: $$\lambda<0$$

در این حالت نیز همانند حالت $$\lambda>0$$، پاسخ $$\varphi(x)$$ برابر می‌شود با:

با اعمال شرط مرزی در x=0 داریم:

هم‌چنین شرایط مرزی در x=L برابر است با:

رابطه بالا نشان می‌دهد که یکی از مقادیر $$sinh (L \sqrt {-\lambda})$$ یا c₂ بایستی صفر باشند. در هر دو حالت تابع $$\varphi (x)=0$$ است. در نتیجه در این حالت نیز نمی‌توان پاسخی برای (u(x,t یافت.

پاسخ نهایی $$\varphi (x)=0$$

با توجه به سه حالت بررسی شده برای λ، نهایتا پاسخ تابع $$u(x,t)$$ تنها در حالت $$λ>0$$ وجود داشته و برابر است با:

پاسخ (G(t

با توجه به تحلیلی که در یافتن $$\varphi (x)=0$$ انجام دادیم، $$\lambda$$ برابر با مقادیر زیر بدست آمد:

از طرفی معادله مشخصه مرتبط با رابطه G (معادله ۱) برابر است با:

در نتیجه تابع (G(t برابر است با:

با بدست آمدن توابع نهایی $$\varphi (x)$$ و (G(t، تابع $$u(x,t)$$ برابر است با:

توجه داشته باشید که ضرایب ثابت B_n در رابطه بالا با استفاده از تابع (f(x بدست می‌آیند. در حقیقت با در نظر گرفتن پاسخ نهایی در قالب سری فوریه و برابر قرار دادن آن با تابع (f(x در لحظه t=0، ثابت‌های B_n بدست خواهند آمد.

جهت درک نحوه بدست آوردن ضرایب B_n، می‌توانید به مثال ۲ که در ادامه ذکر شده مراجعه فرمایید.

خلاصه روش استفاده شده در این مثال (مهم)

در صورت سوال، معادله‌ای با مشتقات جزئی مطرح شد. با فرض تابع (u(x,t برابر با (φ(x)G(t به دو معادله دیفرانسیل معمولی می‌رسیم. معادله $$\varphi(x)$$ از مرتبه دوم و (G(t از مرتبه اول است. هم‌چنین با استفاده از شرایط ارائه شده در صورت سوال به دو شرط مرزی مورد نیاز جهت حل $$\varphi$$ و شرط اولیه جهت حل G رسیدیم. نهایتا پاسخ معادله‌ مذکور در صورت مثال، برابر با رابطه ۳ بدست آمد.

مثال ۲

در زیر معادله دیفرانسیلی با مشتقات جزئی به همراه شرایط مرزی مربوط به آن ارائه شده است.

تابع (u(x,t را برای حالت‌های a و b بیان شده در زیر، بدست آورید.

همان‌گونه که قبلا نیز ذکر شد پاسخ معادله‌ای به شکل بالا برابر است با:

تنها قدم اضافه در این مثال، یافتنِ ضرایب B_n در دو حالتِ a و b است.

حالت a

در این حالت کافی است n=1 و B₁=6 در نظر گرفته شوند. در نتیجه تابع (u(x,t برابر است با:

حالت b

در این حالت نیز همانند a عمل می‌کنیم. در حقیقت با توجه به اصل برهم‌نهی، مقادیر n را برابر با ۱۲ و ۷ در نظر می‌گیریم؛ در نتیجه تابع (u(x,t برابر است با:

برای چک کردن (u(x,t، آن را در لحظه t=0 بدست آورید؛ در این صورت پاسخ بایستی برابر با تابع (f(x باشد.

در بسیاری از سوالات مطرح شده -در امتحانات- بایستی از مفهوم سری فوریه جهت بدست آوردن ضرایب B_n استفاده کرد. در مثال ۳ نمونه‌ای از این مورد ذکر شده است.

مثال ۳

پاسخ معادله دیفرانسیل زیر با مشتقات جزئی را بیابید.

توجه داشته باشید که پاسخ‌های ارائه شده در مثال ۱ به ازای nهای مختلف با یکدیگر جمع می‌شوند؛ در حقیقت پاسخ نهایی (u(x,t برابر است با:

با استفاده از مفهوم سری فوریه ضرایب B_n به‌شکل زیر بدست می‌آیند.

در نتیجه با جایگذاری ضرایب بدست آمده‌ی بالا در رابطه ۴، تابع نهایی (u(x,t برابر است با:

در برخی از موارد، شرایط مرزی به شکل‌های متفاوتی در نظر گرفته می‌شوند؛ در نتیجه ممکن است استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها مشکل‌‌تر به‌نظر برسد. برای نمونه اگر تابع u را برابر با دما در نظر بگیریم، در حالتی که مرز‌ها به‌صورت عایق باشند، گرادیان دما روی آن‌ها صفر است. برای فهم کامل این حالت به مثال زیر توجه کنید.

مثال ۴

مطابق با شکل زیر میله‌ای را در نظر بگیرید که دمای آن در هر لحظه t و مکان x برابر با (u(x,t است.

با فرض این‌که دو سمت میله‌ی مذکور عایق باشد، معادله دیفرانسیل مربوط به توزیع دما و شرایط مرزی مرتبط با آن به‌صورت زیر است.

همانند مثال ۱ جهت حل این معادله با استفاده از روش جداسازی متغیرها، در ابتدا فرض $$u(x,t)=\varphi(x)G(t)$$ را در نظر گرفته و در معادله جایگزین می‌کنیم. با استفاده از روش انجام شده در مثال ۱، دو معادله ساده برابرند با:

در این مثال نیز جهت حل سه حالت مختلف را برای $$\lambda$$ در نظر می‌گیریم.

حالت اول: $$\lambda>۰$$

همان‌گونه که در بالا نیز ذکر شد، پاسخ معادله در این حالت برابر است با:

تفاوت این مسئله با مثال ۱ در شرایط مرزی است. با اعمال شرایط مرزی در x=0 داریم:

به همین شکل شرط مرزی در x=L نیز برابر است با:

با توجه به فرض مثبت بودن مقدار $$\lambda$$، مقادیر $$\lambda$$ به‌صورت زیر بدست می‌آیند.

نهایتا مقادیر $$\lambda_n$$ و $$\varphi_n(x)$$ برابرند با:

حالت دوم: $$\lambda=۰$$

پاسخ عمومی در این حالت برابر است با:

با اعمال شرایط مرزی در x=0 داریم:

با صفر بودن c₂ پاسخ عمومی برابر با عدد ثابت c₁ است. نهایتا در حالت $$\lambda=0$$ تابع $$\varphi(x)$$ برابر است با:

حالت سوم: $$\lambda<۰$$

همانند مثال ۱ پاسخ عمومی در این حالت به شکل زیر است.

با اعمال شرط مرزی در x=0 مقدار c₂ برابر است با:

از طرفی شرط مرزی در x=L به‌صورت زیر اعمال می‌شود.

جهت برقراری رابطه بالا مقدار c₁ بایستی برابر با صفر باشد؛ بنابراین در این حالت نمی‌توان به پاسخ مناسبی دست یافت. با توجه به تحلیل‌های انجام شده در سه حالت $$\lambda$$ توابع $$\varphi(x)$$ برابر با روابط زیر بدست می‌آیند.

حالت‌های بالا را می‌توان در قالب یک رابطه، به شکل زیر بیان کرد:

(G(t همانند مثال ۱، برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

با بدست آمدن توابع φ و G، نهایتا تابع (u(x,t برابر است با:

پاسخ بالا را می‌توان به شکل سری که در ادامه بیان شده نوشت.

جهت بدست آوردن ضرایب A_n می‌توان شرایط اولیه را به‌صورت زیر اعمال کرد.

اگر توجه داشته باشید رابطه بالا سری فوریه‌ای کسینوسی را نشان می‌دهد. با توجه به مفاهیم بیان شده در مطلب سری فوریه، ضرایب A_n با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آیند.