گروه ها در ریاضیات – مفاهیم پایه (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با مجموعه‌ها در ریاضیات آشنا شدیم و دیدیم که برای مثال، مجموعه لباس‌ها، مجموعه اعداد زوج، مجموعه مضرب‌های مثبت عدد 3 کوچک‌تر از 10 و... همه نمونه‌هایی از مجموعه‌ها هستند. در این آموزش، با گروه ها در ریاضیات آشنا می‌شویم.

مجموعه ها

همان‌طور که می‌دانیم، مجموعه متشکل از همه اشیایی است که صفتی مشترک داشته باشند.

عملیات ها

اکنون که عضوهای مجموعه‌ها در دستمان است، به کار با آن‌ها می‌پردازیم. به ویژه، ما علاقه‌مندیم آن‌ها را با هم به طریقی ترکیب کنیم. این همان هدف استفاده از عملیات ها است. یک عملیات عضوهای یک مجموعه را گرفته، به طریقی آن‌ها را با هم ترکیب کرده و یک عضو دیگر تولید می‌کند. به عبارتی ساده‌تر، یک عملیات عضوهای یک مجموعه را با هم ترکیب می‌کند.

مثلاً برای مجموعه لباس‌های {جوراب‌ها، کفش‌ها، شلوارها، …} عملیات می‌تواند «وارد کردن» باشد. می‌توانیم جوراب‌ها را در کفش‌ها وارد کنیم. حتی می‌توانیم کفش‌ها را داخل جوراب‌ها وارد کنیم!

می‌توانیم رنگ‌ها را به عنوان مثال دیگری در نظر بگیریم. فرض کنید مجموعه‌ای از رنگ‌ها داریم، مثلاً {قرمز، سبز، آبی}. اکنون باید یک عملیات معرفی کنیم و در مورد رنگ‌ها ترکیب آن‌ها جالب به نظر می‌رسد. پس، اگر قرمز با سبز ترکیب شود، زرد تشکیل می‌شود و ترکیب قرمز و آبی، رنگ بنفش را می‌سازد. اما گفتن جمله‌ای مثل «ترکیب قرمز با آبی، بنفش را تشکیل می‌دهد» بلند و اذیت کننده است. اگر تعداد زیادی رنگ در مجموعه باشد، باید جملات کوتاه‌تر باشند. پس عبارت «ترکیب کردن» را با علامت "+" و «تشکیل می‌شود» را با علامت "=" نشان می‌دهیم. بنابراین، عبارت «ترکیب قرمز با آبی، بنفش را تشکیل می‌دهد» به شکل زیر در می‌آید: بنفش = آبی + قرمز.

عملیات دوتایی

یک عملیات دوتایی همان عملیات است که فقط 2 عضو می‌گیرد، نه بیشتر و نه کمتر، و آن دو عضو را به یک عضو تبدیل می‌کند. برخی از عملیات‌های دوتایی به صورت زیر هستند که احتمالاً با آن‌ها آشنایی دارید:

• 8 = 5 + 3
• 12 = 4 × 3
• 0 = 4 - 4

همه این عملیات‌ها، دو عضو گرفته، آن را به روش‌های مختلف به یک عضو تبدیل می‌کنند. به مثال آخر (0 = 4 - 4) دقت کنید که در آن، همچنان دو ورودی وجود دارد، اگرچه هر دوی آن‌ها کاملاً باهم برابر هستند.

نکته: دقت کنید که عمل تقسیم شامل موارد بالا نیست، زیرا علاوه بر خارج قسمت، باقیمانده نیز دارد. اکنون در بالا به نظر می آید که 3 عملیات وجود دارد. اما در کمتر از 1 دقیقه خواهید فهمید که فقط 2 عملیات وجود دارد!

ما در ریاضیات چهار عمل اصلی به نام‌های جمع و تفریق و ضرب و تقسیم داریم. اما در واقع، تنها دو عملیات وجود دارد. هنگامی که دو عدد را تفریق می‌کنیم، می‌گوییم «a منهای b» چون کوتاه‌تر است. اما منظور اصلی ما «a به علاوه معکوس افزایشی b» است. علامت منفی در واقع به معنی جمع کردن با معکوس افزایشی است. اما از آنجا که گفتنش سخت است، به گفتن منها بسنده می‌کنیم. می‌توانید حدس بزنید که تقسیم چیست؟ به همان طریق، به معنی «ضرب در معکوس ضربی» است. (معکوس ضربی، معکوس عدد در عملیات ضرب است. برای مثال، معکوس ضربی 5 برابر 1/5 است). پس واقعاً فقط جمع و ضرب را داریم.

خوش تعریفی

نکته ای که در مورد عملگرها باید بدانید این است که آنها باید به خوبی تعریف شوند. زبان فارسی را در نظر داشته باشید. اگر کلمه ای به خوبی تعریف شده باشد، دقیقا خواهید فهمید که منظور آن کلمه چیست. مثلا:

• کلمه «عصبانی» به خوبی تعریف شده است، همانطوری که دقیقا می دانید منظور از گفتن این کلمه چیست.
• اما اگر از کلمه «گوشی» استفاده شود، آیا خواهید دانست که منظور از این کلمه «گوشی تلفن همراه» است یا «گوشی هدفون»؟ یا اصلا «گوشی تلفن ثابت»؟

خب پس بیایید این نتیجه را اعمال کنیم! اگر دو عدد و عملیات به خوبی تعریف شده را به شما بدهیم، شما باید بتوانید به خوبی پاسخ دقیق این عملیات را به ما بگویید. برای مثال، تنها یک جواب برای عبارت 3 + 5 وجود دارد، چرا که عملیات به خوبی مشخص است. اما برخی چیزهایی که شبیه عملیات هستند به خوبی تعریف نشده اند. به عنوان یک مثال دیگر، هنگامی که می نویسیم x² = 25، یا (25) √ ± = x، دو جواب برای این سوال وجود دارد. چرا دو جواب؟ چون اگر بگویید جواب 5 است، خواهم گفت "خیر، جواب 5- است. غلط می گویید..." چون که 25 = 5 × 5 و 25 = (5-) × (5-)

با عملیات به خوبی تعریف شده، تنها یک جواب ممکن است. اکنون بعنوان نکته آخر، ما چندین بار از * استفاده خواهیم کرد تا بگوییم که یک عملیات رخ می دهد. منظورمان ضرب نیست، اگر چه می توانید ضرب را نیز به کار ببرید. اما منظور از * هر عملیاتی می تواند باشد. اگر منظورمان ضرب باشد، قطعا آشکار خواهد بود.

گروه ها در ریاضیات

اکنون که با مجموعه‌ها و عملیات آشنا شده‌ایم، می‌توانیم درباره گروه ها در ریاضیات بحث کنیم و چنین تعریفی را ارائه دهیم: «یک گروه، مجموعه‌ای ترکیب شده توسط یک عملیات است.» بنابراین، برای مثال، مجموعه اعداد صحیح با جمع، یک گروه است. اما قضیه پیچیده‌تر از این گفته است. دانستن یک مجموعه و یک عملیات به تنهایی کافی نیست. چه چیز دیگری می‌توان توضیح داد؟ اطلاعات بیشتری در مورد مجموعه و عملیات نیاز است. به همین دلیل است که گروه‌ها دارای شرایط و محدودیت‌هایی هستند، چرا که خاصیت‌های بیشتری وجود دارد.

تعریف گروه در ریاضیات

گروه مجموعه‌ای به نام G است با عملیات که شرایط زیر در آن صدق می‌کند:

• گروه دارای یک عضو خنثی است.
• گروه دارای معکوس است.
• گروه شرکت پذیر (دارای خاصیت انجمنی) است.
• گروه تحت یک عملیات بسته است.

اکنون، هر کدام از موارد بالا را توضیح می‌دهیم.

۱. گروه دارای یک عضو خنثی است. اگر عملیات را روی هر عضوی به همراه عضو خنثی انجام دهیم، همان عضو را پس خواهیم گرفت. برای اعداد صحیح و جمع، عضو خنثی "0" است. زیرا 5 = 5 + 0 و 5= 0 + 5. به عبارت دیگر، این عضو هنگام ترکیب با عضو دیگر، آن را بدون تغییر می‌گذارد. برای هر گروه فقط یک عضو خنثی وجود دارد. علامت عضو خنثی e یا بعضاً "0" است. توجه کنید که "0" را باید به جای یک عدد، یک نماد در نظر بگیرید. "0" فقط نماد عضو خنثی است، به همان طریقی که e شکل دیگر نماد آن است. این علامت به این گونه تعریف شده است. در واقع، ریاضی‌دانان اغلب استفاده از "0" را به استفاده از e ترجیح می‌دهند، زیرا طبیعی‌تر به نظر می‌رسد. بنابراین، با یک تعریف رسمی، می‌توان گفت: عضوی مانند e در مجموعه G وجود دارد که a = e * a و a = a * e، و a می تواند تمامی اعضای G باشد.

2. گروه دارای معکوس است. اگر یک عضو از گروه را داشته باشیم، عضو دیگری از گروه وجود دارد که هنگام استفاده آن دو توسط عملیات، پاسخ e یا عضو خنثی را می‌گیریم. مثلاً برای اعداد صحیح و عملیات جمع، معکوس 5، عدد 5- است، زیرا 0 = 5- + 5 خواهد بود. به همین طریق، برای عضوهای منفی، معکوس برابر عضوهای مثبت است. یعنی از آنجا که 0 = 5 + 5-، پس معکوس 5- برابر 5 است. در واقع، اگر a معکوس b است، پس b نیز معکوس a است. معکوس‌ها یکتا هستند، یعنی نمی‌توانید عددی مانند x را پیدا کنید که 0 = x + 5 بوده و مقدار آن 5- نباشد. به یاد داشته باشید همان‌طور که یک عضو خنثی برای تک تک عضوهای یک گروه وجود دارد، هر عضو در گروه، معکوس مجزایی دارد. علامتی که برای معکوس‌ها استفاده می‌کنیم a^-1 است. پس در مثال بالا، b = a^-1. به همین طریق، اگر در مورد اعداد صحیح و عملیات جمع حرف می‌زنیم، 5- = ^1-5 صحیح است. به بیان رسمی، برای تمامی عضوهای a در G، یک b در G وجود دارد که e = b * a و e = a * b خواهد بود.

3. شرکت پذیری. احتمالاً در مورد شرکت‌پذیری اطلاعاتی از جبر ابتدایی به یاد دارید. این خاصیت به این معنی است که ترتیب انجام عملیات تفاوتی در پاسخ ایجاد نمی‌کند. به عبارت بهتر، برای تمامی عضوهای a و b و c در مجموعه G، داریم: a * (b * c) = (a * b) * c

4. تحت یک عملیات، بسته است. فرض کنید درون یک جعبه بزرگ محصور شده‌اید. وقتی در داخل هستید، نمی‌توانید بیرون بروید. به همان طریق، هنگامی که دو عضو در یک گروه دارید، اگر روی هر کدام از عضوها عملیات انجام گردد، چیزی را از گروه خارج نمی‌کند. اگر دو عضو مانند a و b دارید، پس طبق این خاصیت a * b نیز در گروه است. این همان مفهوم گروه بسته است. به این خاصیت «بسته» گفته می‌شود، زیرا از درون گروه نمی‌توان به خارج آن رفت. همچنین مانند خاصیت‌های گفته شده، این قضیه برای اعداد صحیح و عملیات مثبت برقرار است. اگر x و y اعداد صحیح باشند و z = y + x، پس z نیز باید یک عدد صحیح بوده باشد. به عبارت بهتر، برای تمامی عضوهای a و b در مجموعه G، عبارت a * b نیز در مجموعه G وجود دارد.

بنابراین، اگر یک مجموعه و یک عملیات در داشته باشیم و همچنین تمامی شرایط و خاصیت‌ها را رعایت کنیم، یک گروه خواهیم داشت.

نکته: به یاد داشته باشید که معکوس تحت عملیات ضرب با معکوس تحت عملیات جمع تفاوت دارد. معکوس 5 تحت جمع برابر 5- و معکوس آن تحت ضرب 1/5 است.

مثال‌های گروه ها در ریاضیات

در این بخش، چهار مثال را با هم بررسی می‌کنیم.

 مثال اول گروه ها: عملیات جمع و {0}

این یک مثال غیرعادی است. اما بیایید از سه گام استفاده کنیم. ابتدا عضو خنثی را پیدا می‌کنیم. اگر به هر عضو گروه 0 را اضافه کنیم، باید امیدوار باشیم که همان مقدار عضو را دریافت کنیم. از آنجا که این مجموعه فقط یک عضو 0 دارد، پس 0 = 0 + 0، عضو خنثی را پیدا کردیم.

اکنون باید معکوس‌ها را پیدا کنیم. تنها یک عضو داریم. معکوس 0 چیست؟ می‌خواهیم 0 = ^1-0 + 0 شود. از آنجا که 0 = 0 + 0 است، پس 0 = ^1-0 و 0 در گروه است، بنابراین ^1-0 نیز در گروه است. از آنجا که تمامی عضو های مجموعه را بررسی کردیم، به خاصیت بعدی می رویم.

آیا شرکت‌پذیر است؟ آیا معادله a + (b + c) = (b + c) + a صحیح است؟ از آنجا که فقط یک عضو داریم، a = b = c. پس 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0.

در نهایت، آیا بسته است؟ اگر هر عضو a و هر عضو مانند b را انتخاب کنیم، آیا b + a نیز در گروه است؟ از آنجا که فقط یک عضو در گروه وجود دارد، پس 0 = a و 0 = b. آیا 0 + 0 در گروه هست؟ پس بسته است.

در نتیجه، { 0 } یک گروه با عملیات جمع است.

مثال دوم گروه ها: عملیات ضرب و { 1- , 1 }

مستقیماً چهار خاصیت را بررسی می‌کنیم. ابتدا، آیا عضو خنثی داریم؟ تنها 3 حالت ممکن وجود دارد: 1- عضو خنثی است یا 1 عضو خنثی است یا عضو خنثی نداریم. از آنجا که 1- = 1- * 1 و 1- = 1 * 1-. پس به نظر 1 عضو خنثی است. انتظار همین را داشتیم.

اکنون باید معکوس‌ها را پیدا کنیم. اگر a را در گروه داریم، پس باید قادر به یافتن عضوی مانند a^-1 باشیم که 1 = a^-1 * a (یا شاید e). پس بیایید از 1 شروع کنیم. چون1 = 1 * 1، پس می‌دانیم که اگر 1 = a ،1 = a^-1 نیز صحیح خواهد بود. سپس 1 = 1- * 1-. پس اگر 1- = a، آنگاه 1- = a^-1 نیز باید صحیح باشد. از آنجا که یک معکوس برای هر عضو پیدا کردیم، می‌فهمیم که بر اساس معکوس، گروه بسته است.

آیا شرکت پذیر است؟ آیا a * (b * c) = (a * b) * c برقرار است؟ از آنجا که تنها 2 عضو داریم، هر حالت را می‌توانیم امتحان کنیم و اگر بخواهید، می‌توانید این کار را انجام دهید. اما به ظاهر کاملاً شرکت پذیر است.

در نهایت، آیا نسبت به عملیات ضرب بسته است؟ آیا 1 * 1 در گروه است؟ بله. در مورد 1- * 1 چطور؟ بله. و 1- * 1-؟ بله. و در آخر 1 * 1-؟ البته. پس تحت عملیات بسته است.

در نتیجه، {1- , 1} یک گروه تحت عملیات ضرب است.

مثال سوم گروه ها: اعداد صحیح و عملیات جمع

اعداد صحیح را در نظر بگیرید. آیا می‌توانید عضو خنثی اعداد صحیح را تحت عملیات جمع نام ببرید؟ می‌خواهیم معادله a + e = e + a = a درست باشد. 0 عضو خنثی است. چون که برای هر عضو a، تساوی a + 0 = 0 + a = a برقرار است.

در ادامه بررسی اعداد صحیح، فرضاً یک عدد به نام a داریم. آیا می‌توانیم معکوس آن را پیدا کنیم؟ یعنی آیا یک ^1-a وجود دارد که در معادله a + a^-1 = a^-1 + a = e صدق کند؟ برای مثال، 0 = ^1-5 + 5 صحیح باشد، ^1-5 چه مقدار است؟ پاسخ برابر است با 5- است که برای اعداد صحیح، عبارت a + -a = e صادق است.

اگر دو عدد صحیح را با هم جمع کنیم، آیا پاسخ نیز عددی صحیح خواهد بود؟ بله. پس بسته است.

در نهایت، آیا a + (b + c) = (a + b) + c صحیح است؟ دقیقاً. و چه فهمیدیم؟ فهمیدیم که اعداد صحیح یک گروه تحت عملیات جمع است.

مثال چهارم گروه ها: اعداد صحیح و عملیات ضرب

بیایید 4 گام را دوباره انجام دهیم. ابتدا باید عضو خنثی را پیدا کنیم. پس باید عبارت a * e = e * a = a و 5 = e * 5 صحیح باشد. e چه خواهد بود؟ بله، 1.

اکنون باید معکوس اعداد صحیح را تحت عملیات ضرب بررسی کنیم. پس اگر a را داشته باشیم، آیا می توانیم a^-1 را پیدا کنیم که عبارت a * a^-1 = e درست باشد؟ بیایید همان 5 را امتحان کنیم. 1 = ^1-5 * 5 ، پس مقدار معکوس چیست؟ 1/5. اما در بین اعداد صحیح نیست! اعداد صحیح شامل معکوس تحت عملیات ضرب نیستند، پس نمی‌توانند یک گروه تحت عملیات ضرب باشند.

بنابراین، نشان دادیم که تحت یکی از عملیات‌ها، اعداد صحیح یک گروه هستند، اما تحت دیگری، چنین نیست.

گروه ها به چه دردی می‌خورند؟

چرا به گروه ها اهمیت می‌دهیم؟ این سوال سختی است. نه اینکه جواب خوبی ندارد، اما استفاده از گروه ها در سطوح بسیار پیشرفته است. برای مثال، نظریه گروه‌ها در کارت‌های بانکی‌تان استفاده می‌شود تا سیستم مطمئن شود که اعداد اسکن شده صحیح هستند. یا توسط ربات‌های فضایی استفاده می‌شود تا در صورتی که داده‌ای نادرست باشد، اصلاح شود. گروه‌ها حتی برای اینکه بگوییم چندجمله‌ای‌ها جواب دارند یا نه به درد می‌خورند.

همانطور که فهمیدیم، خاصیت‌های ویژه گروه ها آن‌ها را برای کار در معادلات مناسب می‌کند. اگر داشته باشیم b = a * x، که a و b در گروه G هستند، خاصیت‌های گروه مشخص می‌کنند که یک راه حل برای x وجود دارد، و این راه حل نیز در G وجود دارد.

a * x = b

a^-1 * a * x = a^-1 * b

(a^-1 * a) * x = a^-1 * b

(e) * x = a^-1 * b

x = a^-1 * b

از آنجا که b و معکوس a باید در G باشند،  b * a^-1 نیز باید در G باشد. همچنین، از آنجا که می دانیم عملگر * باید به خوبی تعریف شود، ممکن است این تنها راه حل ممکن باشد. در غیر این صورت، عملگر به خوبی تعریف نخواهد شد.

گروه های ویژه: آبلی ها

اگر a * e = a، آیا به این معنی نیست که e * a = a؟ و همانند آن، اگر a * b = e، آیا به این معنی نیست که b * a = e؟ در واقع، چرا، درست است. اما اینجا مراقب باشید چرا که به طور عمومی معادله a * b = b * a درست نیست و صحت ندارد. اما، زمانی درست است که معادله a * b = b * a برای تمامی aها و bهای موجود صحیح باشد. در صورت تایید این قضیه، به این نوع گروه ها «گروه آبِلی» (Abelian Group) گفته می‌شود. این واقعیت برای اعداد صحیح درست است و به همین دلیل است که ما گروه اعداد صحیح تحت عملیات جمع را «گروه آبِلی» می‌خوانیم.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش جامع ریاضی دبیرستان – ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• مفاهیم پایه جبر — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
• اعداد اعشاری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• اعداد با توان منفی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)