معکوس ماتریس یا ماتریس وارون – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در این مطلب از مجله فرادرس در مورد معکوس ماتریس یا وارون ماتریس که در کتاب هندسه تحلیلی توضیح داده شده است، صحبت می‌کنیم. می‌دانیم که ماتریس آرایه‌ای مستطیلی از اعداد است که در یک یا چند سطر‌ و ستون‌ مرتب شده‌اند. در برخی عملیات‌هایی که بر روی ماتریس صورت می‌گیرد، مثلاً در زمان تقسیم دو ماتریس لازم می‌شود که ما معکوس ماتریس را نیز محاسبه کنیم. اما منظور از معکوس ماتریس چیست؟ برای این که معکوس ماتریس را بهتر توضیح دهیم، ابتدا معکوس یک عدد را بررسی می‌کنیم. معکوس هر عددی حاصل تقسیم 1 بر آن عدد است. برای مثال معکوس عدد 8 برابر با 1/8 است:

معکوس (Inverse) یک ماتریس نیز به همین طریق محاسبه می‌شود، اما آن را با A^-1 نشان می‌دهیم. توجه داشته باشید که مفاهیم ترانهاده ماتریس و معکوس ماتریس با یکدیگر متفاوت هستند.

شاید بپرسید چرا معکوس ماتریس را به صورت(A/1) نمی‌نویسیم؟ چون ما ماتریس را نمی‌توانیم تقسیم کنیم. دلیل دیگر آن است که  1/8 را نیز می‌شود به شکل ^1-8 نوشت. البته شباهت‌های دیگری نیز وجود دارند:

• وقتی یک عدد را در معکوسش ضرب می کنید، عدد 1 بدست می آید.

8 × (¹/₈) = 1

• هنگامی که یک ماتریس را در معکوس آن ضرب می کنیم، ماتریس همانی به دست می‎آید که معادل همان عدد 1 برای ماتریس‌ها است:

A × A^-1 = I

• گفته‌های بالا در صورتی که معکوس در ابتدای ضرب باشد نیز صدق می‌کند:

(¹/₈) × 8 = 1

A^-1 × A = I

ماتریس همانی

در بالا به «ماتریس همانی» یا «ماتریس یکّه» (Identity Matrix) اشاره کردیم. این ماتریس برابر با عدد 1 است.

در تصویر زیر مثالی از یک ماتریس همانی 3×3 ارائه شده است:

• این ماتریس، «مربعی» است (تعداد سطر و ستون برابر دارد)،
• درایه های روی قطر اصلی 1 و بقیه درایه ها برابر 0 است.
• علامت آن حرف بزرگ انگلیسی I است.

ماتریس همانی می تواند به اندازه 2×2، 3×3، 4×4 و ... باشد.

تعریف معکوس ماتریس

معکوس ماتریس A برابر A^-1 است، تنها اگر:

A × A^-1 = A^-1 × A = I

البته بعضی ماتریس‌ها هم وجود دارند که هیچ معکوسی ندارند. تعریف بالا برای تمامی ماتریس‌های ۲×۲ یا ۳×۳ و ماتریس‌های مرتبه بالاتر نیز صادق است.

ماتریس 2×2

اینک سعی می‌کنیم معکوس یک ماتریس 2×2 را محاسبه کنیم؟

معکوس ماتریس 2×2 این گونه محاسبه می‌شود:

به عبارت دیگر برای محاسبه معکوس این ماتریس باید مکان درایه‌های a و d را عوض کنید، در مقابل درایه های b و c علامت منفی قرار دهید، و تمامی درایه ها را بر دترمینان ماتریس اولیه تقسیم کنید (ad – bc).

با یک مثال عددی این مسئله را بیشتر توضیح می‌دهیم:

از کجا می‌دانیم که این پاسخ درست است؟

اگه به خاطر سپرده باشید، پیشتر اشاره کردیم که با ضرب یک ماتریس در معکوسش، یک ماتریس همانی به دست می‌آید، یعنی A × A^-1 = I. اینک می‌توانیم با این آزمون بررسی کنیم که آیا معکوس ماتریس را به درستی محاسبه کرده‌ایم یا نه.

می‌بینیم که حاصلضرب برابر با ماتریس همانی است. پس پاسخ قطعاً درست است. همچنین رابطه  A^-1 × A = I نیز باید در میان یک ماتریس و معکوسش برقرار باشد. شما به عنوان یک آزمون می‌توانید ضرب را انجام دهید تا ببینید که آیا نتیجه برابر ماتریس همانی است یا نه.

کاربرد معکوس یک ماتریس چیست؟

ماتریس ها تقسیم نمی‌شوند و در واقع، هیچ مفهومی به عنوان تقسیم یک ماتریس وجود ندارد. اما می‌توانیم یک ماتریس آن را در معکوسش ضرب کنیم. این کار همان چیزی را که می خواهیم به ما می‌دهد. فرض کنید اعداد را نمی‌توانستیم تقسیم کنیم و یک نفر می‌پرسید «چگونه 10 سیب را بین دو نفر تقسیم کنم؟».

با توجه به این که همیشه می‌توانیم معکوس عدد 2 که برابر 0.5 است، را به دست آورد، پس در این صورت می‌شد پاسخ داد:

10 × 0.5 = 5

هر کدام از آنها 5 سیب می گیرند. همین کار را می‌شود برای ماتریس‌ها نیز انجام داد. فرض کنید ماتریس های A و B معلوم هستند و می‌خواهید ماتریس مجهول X را طوری به دست آورید که:

XA = B

بسیار خوب می‌شد که طرفین را بر A تقسیم کنیم تا عبارت X = ^B/_A بدست آید؛ اما در نظر داشته باشید که ماتریس‌ها را نمی‌شود تقسیم کرد. بنابراین چگونه سوالی که پیش می‌آید این است که آیا می‌توان طرفین رابطه فوق را در معکوس ماتریس (یعنی A^-1) ضرب کرد؟

XAA^-1 = BA^-1

می دانیم که A × A^-1 = I، پس:

XI = BA^-1

می توانیم I را حذف کنیم (همانگونه که عدد 1 را می شود در معادله 1x = ab حذف نمود):

X = BA^-1

و با در نظر گرفتن این که می توانیم A^-1 را محاسبه کنیم، پاسخ را به دست می‌آوریم.

در مثال ذکر شده، مراقب بودیم که ضرب‌ها را با ترتیب صحیحی انجام دهیم، چرا که در ضرب ماتریس‌ها، تغییر ترتیب ماتریس‌ها پاسخ را تغییر می‌دهد و خاصیت جا‌به‌جایی در مورد آنها صدق نمی‌کند. AB تقریباً هیچ گاه با BA برابر نیست.

یک مثال کاربردی: اتوبوس و قطار

گروهی از افراد به یک مسافرت با اتوبوس رفتند. که هر کودک 3 دلار و از هر بزرگسال 3.20 دلار به عوان هزینه بلیت دریافت شد. مجموع هزینه‌های بلیت‌ها برابر با  118.40 دلار شد. در مسیر برگشت، به جای اتوبوس از قطار استفاده شد و از هر کودک 3.50 دلار و از هر بزرگسال 3.60 دلار اخذ گردید و این بار مجموع هزینه بیلیت‌ها 135.20 دلار شد. اینک باید محاسبه کنید، چه تعداد کودک و چه تعداد بزرگسال داریم؟

برای محاسبه پاسخ ابتدا اجازه دهید که ماتریس ها را تشکیل دهیم. اما باید مراقب باشید که سطر‌ها و ستون‌ها را درست جایگذاری کرده باشید.

این ماتریس‌ها دقیقاً بیانگر مثال بالا هستند:

XA = B

بنابراین برای حل مسئله، باید معکوس A را به دست آوریم:

اکنون که معکوس را داریم، مسئله را می‌توانیم با معادله زیر حل کنیم:

X = BA^-1

در این مسئله، 16 کودک و 22 بزرگسال داشتیم. پاسخ تقریباً شبیه یک جادو ظاهر می شود، اما در واقع این پاسخ بر اساس محاسبات صحیح ریاضی به دست آمده است.

محاسباتی مانند این و البته با استفاده از ماتریس‌های بسیار بزرگ‌تر، به مهندسان کمک می‌کند که بتوانند ساختمان‌ها را طراحی کنند. از این محاسبات  همچنین در بازی‌های ویدئویی و انیمیشن‌های رایانه‌ای استفاده می‌شود تا جلوه‌های سه‌بعدی به آنها ببخشند. از این روش برای امور بسیار دیگری نیز استفاده می‌شود. این روش همچنین برای حل دستگاه معادلات خطی استفاده می‌شود. محاسبات توسط کامپیوتر انجام می‌شود؛ اما افراد عادی نیز نیاز دارند که فرمول‌ها را درک کرده و متوجه شوند.

ترتیب ماتریس‌ها مهم است

فرض کنید در معادله زیر می‌خواهیم  X را بیابیم:

AX = B

این معادله با مثال بالا فرق دارد، چون اینجا X اکنون بعد از A قرار دارد. در ضرب ماتریس ها، تغییر ترتیب معمولاً پاسخ را عوض می کند بنابراین باید توجه داشته باشید که AB ≠ BA. باید به این نکته مهم توجه داشته باشید و بدانید که تغییر ترتیب ماتریس‌ها در ضرب همیشه نتیجه را عوض می‌کند.

خب پس چگونه معادله زیر را حل می کنیم؟ می توانیم با همان روش معادله زیر را نیز حل کنیم، اما باید  A^-1 را قبل از A قرار دهیم:

A^-1AX = A^-1B

می‌دانیم که A^-1A = I است، پس:

IX = A^-1B

می‌توانیم  I را نیز حذف کنیم:

X = A^-1B

و با در نظر گرفتن این که می توانیم A^-1 را محاسبه کنیم، می‌بینیم که پاسخ را به دست آورده‌ایم.

حل مثال قطار و اتوبوس به روش معکوس ماتریس

سوالی که اینجا مطرح می‌شود این است که آیا می‌توانیم مثال اتوبوس و قطار را نیز به این روش حل کنیم؟ پاسخ مثبت است، آن مثال را نیز می‌توان این گونه حل کرد. فقط باید مراقب باشید که چگونه ماتریس‌ها را تشکیل می‌دهید.

این ماتریس به شکل معادله AX = B است:

این روش به نظر بسیار مرتب و منظم می‌آید و شاید این روش را بیشتر ترجیح بدهید. باید در نظر داشته باشید که چگونه جای سطر‌ها و ستون‌ها را در مقایسه با مثال قبلی عوض می‌کنیم. برای حل این مثال به معکوس A نیاز داریم:

مانند روش معکوسی است که دقعات پیش عمل کردیم ؛ اما این بار ترانهاده محاسبه می‌شود، یعنی جای سطر‌ها و ستون‌ها عوض می شوند. اکنون می‌توانیم با معادله زیر آن را حل کنیم:

X = A^-1B

می‌بینیم که همان پاسخ به دست می‌آید: 16 کودک و 22 بزرگسال. پس دانستیم که ماتریس‌ها برای حل مسائل بسیار قدرتمند، مناسب هستند؛ اما باید دقت کنیم که ماتریس‌ها همواره به شکل صحیحی تشکیل شوند، یعنی داده‌ها در درایه‌های مناسب خود قرار گیرند.

ممکن است معکوس ماتریس وجود نداشته باشد

اول از همه، برای این که ماتریسی معکوس داشته باشد، آن ماتریس باید «مربعی» باشد، یعنی تعداد سطر‌ها و ستون‌های آن با هم برابر باشند. از طرف دیگر دترمینان این ماتریس باید غیر صفر باشد. چون در غیر این صورت به وضعیت تقسیم بر صفر می‌رسیم که غیر ممکن است.

به مثال زیر توجه کنید:

می‌بینیم که در نهایت، در مخرج کسر عبارت 24-24 را به دست آورده‌ایم که حاصل آن برابر 0 می شود و چون  ¹/₀ تعریف نشده است، نمی توانیم بیش از این جلوتر برویم. نتیجه این که این ماتریس، معکوس ندارد. ماتریسی مانند این را ماتریس «منفرد» (Singular) می نامند، که دارای دترمینان صفر است. با اندکی توجه می‌بینیم که در این ماتریس، سطر دوم دو برابر سطر اول است و در واقع اطلاعات جدیدی را در اختیار نمی‌گذارد. فرض کنید اگر در مثال بالا قیمت‌های قطار دقیقا 50% بیشتر بود، دیگر اطلاعات این ماتریس، ما را به یافتن تعداد کودکان و بزرگسالان نزدیک نمی‌کرد، چون ما نیازمند اطلاعات بیشتری بودیم. محاسبه دترمینان صفر نیز گفته ما را تایید می کند.

ماتریس‌های بزرگ‌تر

یافتن معکوس یک ماتریس 2×2 در مقایسه با ماتریس‌های بزرگتر، از جمله ماتریس های 3×3، 4×4 و غیره، کار آسانی است. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر، 3 روش اصلی برای یافتن معکوس ماتریس وجود دارد:

• یافتن معکوس یک ماتریس با استفاده از عملیات مقدماتی سطر‌ها یعنی روش «گاوس – جردن» (Gauss – Jordan)
• یافتن معکوس یک ماتریس با استفاده از «کهاد» (Minor)، «همساز» (Cofactor) و «ماتریس همساز» (Adjugate)
• یافتن معکوس ماتریس با استفاده از رایانه و نرم‌افزارهای مختلفی که به این منظور طراحی شده اند.

جمع‌بندی

• معکوس ماتریس A برابر است با A^-1 ، اگر و فقط اگر A × A^-1 = A^-1 × A = I
• برای یافتن معکوس یک ماتریس 2×2، ابتدا جای درایه های a و d را عوض کنید، در مقابل b و c علامت منفی بگذارید، و سپس کل اعضا را بر دترمینان تقسیم کنید (ad – bc).
• در بعضی موارد ماتریس، کلاً معکوسی ندارد.