نمونه برداری سیگنال — راهنمای جامع

نمونه برداری سیگنال (Signal Sampling) یکی از مباحث مهم در پردازش سیگنال است. در این مطلب ابتدا به بیان قضیه نمونه برداری نایکویست (Nyquist Theorem) و اثبات آن می‌پردازیم و سپس تکنیک‌های نمونه برداری از سیگنال‌ها را بیان می‌کنیم.

بیان قضیه نایکوئیست در نمونه برداری سیگنال

یک سیگنال پیوسته در زمان را می‌توان توسط نمونه‌های (Samples) آن نمایش داد. بر اساس قضیه نمونه برداری سیگنال نایکویست یا نایکوئیست-شانون، عکس این عمل، یعنی ساخت مجدد سیگنال اصلی از روی سیگنال نمونه برداری شده، در شرایطی امکان‌پذیر است که فرکانس نمونه برداری $$f_s$$ بزرگتر یا مساوی با دو برابر بزرگ‌ترین مولفه فرکانسی سیگنال پیام یا سیگنال اصلی باشد.

فیلم آموزش مخابرات ۱ – مقدماتی در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین شرط زیر باید در نمونه برداری برقرار باشد:

$$f_s \geq 2 f_m$$

اثبات قضیه نایکوئیست

یک سیگنال پیوسته در زمان $$x(t)$$ را در نظر بگیرید. طیف فرکانسی این سیگنال در محدوده باند $$f_m$$ هرتز قرار دارد. به عبارت دیگر، طیف فرکانسی سیگنال $$x(t)$$ برای $$|\omega| > \omega _m$$ برابر با صفر است.

برای نمونه برداری از سیگنال ورودی $$x(t)$$ باید این سیگنال را در قطار ضربه $$\delta (t)$$ با تناوب $$T_S$$ ضرب کرد. خروجی ضرب‌کننده یک سیگنال گسسته است که سیگنال نمونه برداری شده نام دارد. سیگنال نمونه برداری‌شده را با $$y(t)$$ نمایش می‌دهند. در تصویر زیر نمایی از نحوه نمونه برداری از یک سیگنال پیوسته در زمان را می‌توان مشاهده کرد.

با توجه به تصاویر بالا می‌توان به این نکته پی برد که سیگنال نمونه برداری شده فرکانس و دوره تناوبی برابر با دوره تناوب و فرکانس سیگنال ضربه را به دست خواهد آورد.

فیلم آموزش تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها‎ در فرادرس

کلیک کنید

روند نمونه برداری از یک سیگنال پیوسته در زمان را با استفاده از فرمول زیر نیز می‌توان نشان داد:

$$\text{Sampled signal}\, y(t) = x(t) . \delta(t) \,\,...\,...(1)$$

نمایش سری فوریه مثلثاتی تابع ضربه به صورت زیر خواهد بود:

$$\delta(t)= a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_s t + b_n \sin⁡ n\omega_s t )\,\,...\,...(2)$$

در فرمول بالا داریم:

$$a_0 = {1\over T_s} \int_{-T \over 2}^{ T \over 2} \delta (t)dt = {1\over T_s} \delta(0) = {1\over T_s}$$

$$a_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta (t) \cos n\omega_s\, dt = { 2 \over T_2} \delta (0) \cos n \omega_s 0 = {2 \over T}$$

$$b_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta(t) \sin⁡ n\omega_s t\, dt = {2 \over T_s} \delta(0) \sin⁡ n\omega_s 0 = 0$$

با جایگذاری مقادیر بالا در معادله شماره ۲ داریم:

$$\therefore\, \delta(t)= {1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty} ( { 2 \over T_s} \cos ⁡ n\omega_s t+0)$$

همچنین با جایگذاری $$\delta(t)$$ در معادله شماره ۱ داریم:

$$\to y(t) = x(t) . \delta(t) \\ = x(t) [{1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty}({2 \over T_s} \cos n\omega_s t) ] \\ = {1 \over T_s} [x(t) + 2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (\cos n\omega_s t) x(t) ] \\ y(t) = {1 \over T_s} [x(t) + 2\cos \omega_s t.x(t) + 2 \cos 2\omega_st.x(t) + 2 \cos 3\omega_s t.x(t) \,...\, ...\,]$$

از هر دو طرف رابطه بالا تبدیل فوریه می‌گیریم. در نتیجه معادله زیر را به دست می‌آوریم:

$$Y(\omega) = {1 \over T_s} [X(\omega)+X(\omega-\omega_s )+X(\omega+\omega_s )+X(\omega-2\omega_s )+X(\omega+2\omega_s )+ \,...]$$

$$\therefore\,\, Y(\omega) = {1\over T_s} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n\omega_s )\quad\quad where \,\,n= 0,\pm1,\pm2,...$$

برای بازسازی $$x(t)$$، باید طیف فرکانسی سیگنال ورودی ($$X(\omega)$$) را از روی طیف فرکانسی سیگنال نمونه برداری شده ($$Y (\omega)$$) به دست آورد. این عمل زمانی امکان پذیر است که بین تناوب‌های $$Y (\omega)$$ هیچ همپوشانی (Overlapping) وجود نداشته باشد. در تصویر زیر نمایی از امکان به دست آوردن طیف فرکانسی سیگنال اصلی از روی طیف فرکانسی سیگنال نمونه برداری شده نشان داده شده است. بر این اساس نمونه برداری از یک سیگنال را به سه دسته بیش‌نمونه برداری، نمونه برداری ایده‌آل و کم‌نمونه برداری تقسیم می‌کنند.

در تصویر اول، $$f_s > 2f_m$$ است و به اصطلاح بیش نمونه برداری (Over Sampling) اتفاق افتاده است. در تصویر دوم، $$f_s = 2f_m$$ است و در این حالت نمونه برداری ایده‌آل انجام گرفته است. اما در تصویر سوم، $$f_s < 2f_m$$ است که در این حالت کم‌نمونه برداری (Under Sampling) به وقوع پیوسته است.

اثر تداخل

در حالت کم‌نمونه برداری، ناحیه دارای همپوشانی نشان‌دهنده اثر تداخل یا در هم‌روی (Aliasing Effect) است. به عبارت دیگر، زمانی که فرکانس نمونه برداری یعنی $$f_s$$ از دو برابر پهنای باند سیگنال یعنی $$2f_m$$ بیشتر باشد، پدیده تداخل اتفاق می‌افتد. در این حالت به راحتی می‌توان سیگنال اصلی $$x(t)$$ را با استفاده از یک فیلتر پایین گذر ایده‌آل جداسازی کرد. راه حل دیگر برای حذف کردن اثر تداخل در نمونه برداری این است که فرکانس سیگنال اصلی را بیشتر از دو برابر فرکانس سیگنال ضربه در نظر بگیریم.

تکنیک‌های نمونه برداری

در حالت کلی می‌توان گفت که سه تکنیک اساسی برای نمونه برداری از سیگنال وجود دارد.

فیلم آموزش تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها‎ در فرادرس

کلیک کنید

• نمونه برداری تابع ضربه (Impulse Sampling)
• نمونه برداری طبیعی (Natural Sampling)
• نمونه برداری بالا مسطح (Flat Top Sampling)

نمونه برداری سیگنال با استفاده از تابع ضربه

همان طور که در بالا نیز بیان کردیم، نمونه برداری سیگنال به روش تابع ضربه را می‌توان از طریق ضرب کردن سیگنال اصلی $$x(t)$$ در قطار تابع ضربه $$\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$ با تناوب T به دست آورد. در این حالت، دامنه ضربه‌ها متناسب با دامنه سیگنال اصلی ورودی تغییر می‌کنند. این نوع نمونه برداری در تصویر زیر نشان داده شده است.

سیگنال خروجی نمونه برداری را در این حالت توسط فرمول زیر به دست می‌آورند:

$$y(t) = = x(t) × \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) \\ y(t) = y_{\delta} (t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty}x(nt) \delta(t-nT)\,...\,... 1$$

برای به دست آوردن طیف فرکانس سیگنال نمونه برداری شده، بر روی دو سمت معادله بالا تبدیل فوریه اعمال می‌کنیم:

$$Y(\omega) = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n \omega_s )$$

این نوع نمونه برداری، نمونه برداری ایده‌آل یا نمونه برداری تابع ضربه نام دارد. اما مشکلی که وجود دارد این است که از این نوع نمونه برداری در عمل نمی‌توان استفاده کرد؛ زیرا عرض پالس‌ها در عمل نمی‌تواند برابر با صفر شود و به همین دلیل تولید قطار ضربه به صورت عملی و در واقعیت امکان‌پذیر نیست.