معادله دیفرانسیل دسته منحنی — به زبان ساده

همان‌طور که می‌دانیم، جواب یک معادله دیفرانسیل به شکل دسته‌ای از منحنی‌های انتگرالی نمایش داده می‌شود. این مسائل را می‌توان به صورت عکس نیز حل کرد. بدین گونه که معادله دیفرانسیل دسته منحنی های مسطح را با یک معادله جبری توصیف کنیم.

معادله دیفرانسیل دسته منحنی

فرض کنید دسته‌ای از منحنی‌ها با معادله‌ تک‌پارامتری ضمنی زیر تعریف شده باشند:

$$ \large F \left ( { x , y , C } \right ) = 0 . $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

فرض می‌کنیم تابع $$ F $$ دارای مشتق‌های جزئی $$ x $$ و $$ y $$ باشد. برای نوشتن معادله دیفرانسیل مرتبه اول مربوطه، لازم است مراحل زیر را طی کنید:

۱. از $$ F $$ نسبت به $$ x $$ مشتق گرفته و $$ y $$ را به عنوان تابعی از $$ x $$ در نظر بگیرید:

$$ \large \frac { { \partial F } } { { \partial x } } + \frac { { \partial F } } { { \partial y } } \cdot y’ = 0 ; $$

۲. دستگاه معادلات زیر را با حذف پارامتر $$ C $$ از آن، حل کنید:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
\frac { { \partial F } } { { \partial x } } + \frac { { \partial F } } { { \partial y } } \cdot y’ = 0 \\
F \left( { x , y , C } \right ) = 0
\end {array} \right . $$

اگر یک دسته منحنی مسطح با معادله دو پارامتری داده شده باشند:

$$ \large F \left ( { x , y , { C _ 1 } , { C _ 2 } } \right ) = 0 , $$

باید با در نظر گرفتن $$ y $$ به عنوان تابعی از $$ x $$، دو بار از فرمول اخیر مشتق بگیریم و سپس پارامترهای $$ C _ 1 $$ و $$ C _ 2 $$ را از دستگاه سه‌معادله‌ای حذف کنیم.

به طور مشابه، می‌توانیم همین‌ کارار برا دسته منحنی‌های $$ n $$پارامتری نیز به کار ببریم.

مثال‌های معادله دیفرانسیل دسته منحنی

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

معادله دیفرانسیل دسته منحنی هایی را بیابید که با معادله $$ y = {e^{x + C}} $$ بیان شده‌اند.

حل: با مشتق‌گیری از معادله داده شده نسبت به $$ x $$، داریم:

$$ \large y’ = { e ^ { x + C } } . $$

می‌توانیم به سادگی پارامتر $$ C $$ را از دستگاه معادلات حذف کنیم:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
y’ = { e ^ { x + C } } \\
y = { e ^ { x + C } }
\end {array} \right . . $$

در نتیجه، معادله همگن ساده زیر به دست می‌آید:

$$ \large { y’ = y , \; \; } \Rightarrow { y’ – y = 0 . } $$

مثال ۲

معادله دیفرانسیل دسته منحنی های $$ y = x ^ 2 - C x $$ را به دست آورید.

حل: از معادله ضمنی نسبت به $$ x $$ مشتق می‌گیریم:

$$ \large y’ = 2 x – C . $$

این معادله را با معادله جبری اصلی ترکیب کرده و پارامتر $$ C $$ را حذف می‌کنیم:

$$
\large { \left \{ \begin {array} { l }
y’ = 2 x – C \\
y = { x ^ 2 } – C x
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ C = 2 x - y’ , \; \; } \\ \large \Rightarrow
{ y = { x ^ 2 } – \left ( { 2 x - y’} \right ) x , \; \; } \Rightarrow
{ y = { x ^ 2 } + y’ x - 2 { x ^ 2 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow
{ -y’ x + y = - { x ^ 2 } . }
$$

در نتیجه، معادله دیفرانسیل ضمنی متناظر با دسته منحنی‌ها را خواهیم داشت.

مثال ۳

معادله دیفرانسیل دسته منحنی های $$y = \cot \left( {x – C} \right) $$ را بنویسید.

حل: با مشتق‌گیری از معادله نسبت به $$ x $$، خواهیم داشت:

$$ \large y’ = – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } } . $$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

از طرفی، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*} { 1 + { y ^ 2 } } & = { 1 + { \cot ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } = { 1 + \frac { { { { \cos } ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } } { { { \sin ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } } } \\ & = { \frac { { { \sin ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) + { { \cos } ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } } { { { \sin ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } } } = { \frac { 1 } { { { \sin ^ 2 } \left ( { x – C } \right ) } } . } \end {align*} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large y’ = – \left ( { 1 + { y ^ 2 } } \right ) . $$

در نتیجه، معادله دیفرانسیل زیر را خواهیم داشت که دسته منحنی‌های داده شده را توصیف می‌کند:

$$ \large { y’ = – 1 – { y ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { y’ + { y ^ 2 } = – 1 . } $$

مثال ۴

دسته‌ای از منحنی‌ها با معادله $$ y = {\large\frac{1}{C}\normalsize}\cos \left( {Cx + \alpha } \right) $$ توصیف شده‌اند که در آن، $$ C $$ یک پارامتر و $$ \alpha $$ یک زاویه دلخواه است. معادله دیفرانسیل این دسته منحنی‌ را بیابید.

حل: ابتدا با فرض اینکه $$ y $$ تابعی از $$ x $$ است، از معادله نسبت به متغیر $$ x $$ مشتق می‌گیریم:

$$ \large { y’ } = { \frac { 1 } { C } \left [ { – \sin \left( { C x + \alpha } \right ) } \right ] \cdot C } = { – \sin \left ( { C x + \alpha } \right ) . } $$

اکنون باید $$ C $$ از از دستگاه معادلات زیر حذف کنیم:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
y’ = – \sin \left ( { C x + \alpha } \right ) \\
y = \frac { 1 } { C } \cos \left ( { C x + \alpha } \right )
\end {array} \right . . $$

برای انجام این کار، دو طرف معادلات را به توان دو رسانده، سپس آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم:

$$ \large { \left \{ \begin{array} { l }
{ \left ( { y’ } \right ) ^ 2 } = { \sin ^ 2 } \left ( { C x + \alpha } \right ) \\
{ y ^ 2 } = \frac { 1 } { { { C ^ 2 } } } { \cos ^ 2 } \left ( { C x + \alpha } \right )
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ { \left ( { y’ } \right ) ^ 2 } + { C ^ 2 } { y ^ 2 } = 1 , \; \; } \\ \large \Rightarrow
{ { C ^ 2 } { y ^ 2 } = 1 – { \left ( { y’ } \right ) ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ { C ^ 2 } = \frac { { 1 – { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ 2 } } } , \; \; } \Rightarrow
{ C = \frac { { \sqrt { 1 – { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } } { y} . } $$

اکنون عبارت $$ C $$ را در معادله دیفرانسیل قرار می‌دهیم:

$$ \large { y’ = – \sin \left ( { C x + \alpha } \right ) } = { – \sin \left ( { \frac { { x \sqrt { 1 – { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } } { y } + \alpha } \right ) . } $$

بنابراین، دسته منحنی‌ها با معادله دیفرانسیل ضمنی زیر بیان می‌شوند:

$$ \large { y’ } = { – \sin \left ( { \frac { { x \sqrt { 1 – { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } } { y } + \alpha } \right ) } . $$

مثال ۵

معادله دیفرانسیل دسته منحنی های دو پارامتری $$y = {C_1}{x^2} + {C_2}x $$ را بنویسید.

حل: از معادله داده شده دو بار نسبت به $$ x $$ مشتق می‌گیریم و دستگاه سه‌معادله‌ای زیر را می‌نویسیم:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
y = { C _ 1 } { x ^ 2 } + { C _ 2 } x \\
y’ = 2 { C _ 1 } x + { C _ 2 } \\
y ^ { \prime \prime } = 2 { C _ 1 }
\end {array} \right . . $$

پارامتر $$ C _ 1 $$ را از معادله آخر به دست آورده و در دو معادله نخست قرار می‌دهیم:

$$ \large { { C _ 1 } = \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ y = \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { 2 } { x ^ 2 } + { C _ 2 } x } \\
{ y’ = y ^ { \prime \prime } x + { C _ 2 } }
\end {array} } \right . . } $$

اکنون می‌توانیم $$ C _ 2 $$ را برحسب مشتقات $$ y $$ به دست آورده، آن را در معادله اول قرار دهیم و معادله دیفرانسیل مورد نظر را به دست آوریم:

$$ \large { { C _ 2 } = y’ – y ^ { \prime \prime } x , \; \; } \Rightarrow { y = \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { 2 } { x ^ 2 } + \left ( { y’ – y ^ { \prime \prime } x } \right ) x , \; \; } \\ \large \Rightarrow { y = \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { 2 }{ x ^ 2 } + y’ x – y ^ { \prime \prime } { x ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { y = y’ x – \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { 2 } { x ^ 2 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { 2 y = 2 y’ x – y ^ { \prime \prime } { x ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { y ^ { \prime \prime } { x ^ 2 } – 2 y’ x + 2 y = 0 . } $$