مشتقات پایداری – از صفر تا صد

مشتقات پایداری و مشتقات كنترل، معیارهایی هستند كه با استفاده از آن‌ها نحوه تغییرات نیرو و گشتاور وارد به هواپیما در نتیجه تغییرات پارامتر‌های مربوط به پایداری (همچون سرعت پرواز، ارتفاع پرواز و زاویه حمله) توصیف می‌شوند. معمولا از معادلات دیفرانسیلِ حرکت به منظور تحلیلِ تغییرات و نوسانات استفاده می‌شود. هدف اصلی از مشتقات پایداری، خطی‌سازی معادلات دیفرانسیل حرکت است که در نتیجه آن می‌توان به‌طور ساده‌تری پایداری یک جسم در حال حرکت را تحلیل کرد.

مشتقات پایداری با تغییر شرایط پرواز تغییر خواهند کرد. به مجموعه‌ای از مشتقات کنترلی و پایداری که برای یک سیستم پروازی بدست می‌آید، «مدل هوایی» (Aero Model) گفته می‌شود. از مدل‌های هوایی نیز به منظور شبیه‌سازی پرواز در طراحی و حتی در آموزش هوانوردی بهره برده می‌شود.

مشتقات پایداری و مشتقات کنترل

مشتقات پایداری و مشتقات کنترل به طور مستقیم با هم در ارتباط هستند؛ دلیل این امر نیز آن است که هر دوی آن‌ها نیرو‌ها و گشتاور‌های وارد به سیستم پروازی و تغییرات آن‌ها نسبت به متغیر‌های پروازی را مدل‌سازی می‌کنند. معمولا از عبارت مشتقات S&C برای بیان کوتاه‌تر استفاده می‌شود.

تفاوت بین مشتقات پایداری و مشتقات کنترل در این است که مشتقات پایداری، تاثیرات تغییرات شرایط پرواز و مشتقات کنترل تغییرات سطوح کنترل را مورد بررسی قرار می‌دهند. در ادامه این تفاوت را با جزئیات بیشتری توضیح می‌دهیم.

مشتقات پایداری

مشتقات پایداری عبارتند از بررسی میزان نیرو و گشتاور وارد شده به سیستم پروازی که در نتیجه اندک تغییری در پارامتر‌های پروازی همچون سرعت پرواز، زاویه حمله و ارتفاع پرواز ایجاد می‌شود. به این پارامتر‌ها اصطلاحا شرایط گفته می‌شود.

مشتقات کنترل

مشتقات کنترل بیان‌کننده میزان نیرو و گشتاوری است که در نتیجه تغییرات اندک عوامل درونی هواپیما ایجاد می‌شود. برخی از این پارامتر‌ها بالچه هواپیما، اجرام قرار گرفته در هواپیما، بالابرنده و سکان هستند.

کاربرد

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، با تغییر شرایط پرواز، مشتقات پایداری و کنترل نیز تغییر می‌کنند. البته توجه داشته باشید که تغییرات نیرو‌ها و گشتاور‌ها را به ندرت می‌توان به صورت خطی در نظر گرفت. به همین دلیل بدون استفاده از این مشتقات، بررسی سیستم کنترل مشکل خواهد بود. برای نمونه در ادامه روش ساده‌سازی با استفاده از نوسانات اندک در پرواز توضیح داده شده است.

نوسانات اندک در پرواز پایدار

یکی از راه‌ها به منظور ساده‌سازی شرایط پروازی، بررسی پایداری و کنترل در هنگامی است که نوساناتی اندک در یک پرواز پایدار ایجاد می‌شود. به مجموعه پارامتر‌هایی همچون ارتفاع، سرعت پرواز و زاویه حمله در شرایطی که پایدار بوده و تغییر نکنند، Trim گفته می‌شوند. زمانی که شرایط پرواز پایدار باشد، مشتقات پایداری و کنترل، ثابت بوده و آن‌ها را می‌توان از نظر ریاضیاتی به شکلی ساده‌تر تحلیل کرد. توجه داشته باشید که تحلیل پایداری مربوط به یک دسته از پارامتر‌های پروازی برای طیفی از شرایط پروازی مختلف اعمال می‌شود.

معادلات حرکت

استفاده از تئوری پایداری بیشتر به منظور کنترل راکت‌ها یا موشک‌ها مناسب است. دلیل این امر تقارن بیشتر این سیستم‌ها نسبت به سیستم‌هایی همچون هواپیماها است. البته معادلات حرکت راکت‌ها نیز نسبت به سیستم‌های بزرگ‌تر، ساده‌تر است. بدین منظور در ادامه نیز معادلات حرکت مربوط به موشک را تشریح می‌کنیم.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در ابتدا مطابق با شکل زیر موشکی را در نظر بگیرید که زاویه حرکت آن نسبت به محور افقی دستگاه مختصات لخت برابر با $$\psi$$ باشد.

همان‌طور که در شکل فوق نیز نشان داده شده، محور $$X$$ در راستای بردار تکانه و محور $$Y$$ عمود بر آن است. در نتیجه مولفه‌های سرعت نیز برابرند با:

$$\begin {array} { l } { u = U \cos \beta } \\ { v = U \sin \beta} \end {array}$$

مقدار $$U$$ نیز برابر با اندازه کلی سرعت موشک است. در مکانیک سیالات مقادیر نیرو‌های آیرودینامیکی نیز نسبت به راستای حرکت و محور عمود بر آن در نظر گرفته می‌شوند. بدین منظور باید مولفه‌ سرعت‌ها را در دستگاه مختصات لخت بدست آوریم. با توجه به شکل محور‌های $$X _ f$$ و $$Y _ f$$ نشان‌دهنده محور‌های دستگاه مختصات لخت هستند. در نتیجه مولفه‌های سرعت موشک نسبت به دستگاه مختصات لخت برابر است با:

$$\begin {array} { l } { u _ { f } = U \cos ( \beta ) \cos ( \psi ) - U \sin ( \beta ) \sin ( \psi ) = U \cos ( \beta + \psi ) } \\ { v _ { f } = U \sin ( \beta ) \cos ( \psi ) + U \cos ( \beta ) \sin ( \psi ) = U \sin ( \beta + \psi ) } \end {array}$$

با مشتق‌گیری از روابط فوق نسبت به زمان، مقدار شتاب در راستای $$X _ f$$ و $$Y _ f$$ بدست می‌آیند.

$$\begin {align} { } { \frac { d u _ { f } } { d t } = \frac { d U } { d t } \cos ( \beta + \psi ) - U \frac { d ( \beta + \psi ) } { d t } \sin ( \beta + \psi ) } \\ \\ { \frac { d v _‌{ f } } { d t } = \frac { d U } { d t } \sin ( \beta + \psi ) + U \frac { d ( \beta + \psi ) } { d t } \cos ( \beta + \psi ) } \end {align}$$

با توجه به قانون دوم نیوتن می‌توان گفت شتاب بدست آمده در بالا برابر با نسبت نیروی وارد شده به موشک به جرم آن است. از دیدگاه مکانیک سیالات، نیروی وارد به موشک با محاسبه توزیع فشار روی آن بدست می‌آید. با فرض نیروهای $$X$$ و $$Y$$ (در دستگاه مختصات محلی)، مقدار این نیروها در دستگاه مختصات لخت برابرند با:

$${ \displaystyle X _ { f } = X \cos ( \psi ) - Y \sin ( \psi ) }$$
$${ \displaystyle Y _ { f } = Y \cos ( \psi ) + X \sin ( \psi ) } { \displaystyle Y _ { f } = Y \cos ( \psi ) + X \sin ( \psi ) }$$

شکل دیفرانسیلی قانون دوم را نیز می‌توان مطابق با روابط زیر بیان کرد:

$${ \displaystyle X _ { f } = m { \frac { d u _ { f } } { d t } } }$$
$${ \displaystyle Y _ { f } = m { \frac { d v _ { f } } { d t } } } { \displaystyle Y _ { f } = m { \frac { d v _ { f } }{ d t } } }$$

در رابطه فوق $$m$$ نشان‌دهنده جرم موشک است. بنابراین مقادیر نیروهای $$X , Y$$ را می‌توان به شکل دیفرانسیلی بیان کرد:

$${ \displaystyle X = m { \frac { d U } { d t } } \cos ( \beta ) - m U { \frac { d ( \beta + \psi ) } { d t } } \sin ( \beta ) }$$
$${ \displaystyle Y = m { \frac { d U } { d t } } \sin ( \beta ) + m U { \frac { d ( \beta + \psi ) } { d t } } \cos ( \beta ) } { \displaystyle Y = m { \frac { d U} {d t } } \sin ( \beta ) + m U { \frac { d ( \beta + \psi ) }{ d t } } \cos ( \beta ) }$$

حال فرض کنید موشک به اندازه زاویه اندک $$\beta$$ نسبت به محور حرکتش منحرف شود. در این صورت مقادیر نیروهای $$X , Y$$ را نیز می‌توان در قالب قانون دوم نیوتن و به صورت زیر نوشت:

$${ \displaystyle X = m { \frac { d U } { d t } } }$$
$${ \displaystyle Y = m U { \frac { d ( \beta + \psi ) } { d t } } } { \displaystyle Y = m U { \frac { d ( \beta + \psi ) } { d t } } }$$

نکته‌ای که باید به آن توجه شود این است که معادله دوم در عبارت فوق نشان‌دهنده نیروی مرکزگرا است. از طرفی اگر گشتاور وارد به موشک و لختی دورانی آن را به ترتیب با $$N$$ و $$C$$ نشان دهیم، در این صورت معادله حرکت موشک را می‌توان به شکل زیر نیز بیان کرد:

$${ \displaystyle N = C { \frac { d ^ { 2 } \psi } { d t ^ { 2 } } } }$$

با فرض سرعت ثابت در راستای محور، دو متغیر $$\beta$$ و $${ \displaystyle { \frac { d \psi } { d t } } }$$ را می‌توان برای بررسی تاثیرات آن‌ها در پایداری در نظر گرفت. البته نرخ تغییرات $$\psi$$ را به طور ساده‌تر با $$r$$ نمایش می‌دهیم. در این مسئله یک نیروی برآیند و یک گشتاور وجود دارد که هریک از آن‌ها تابع دو متغیر $${\displaystyle } \beta , r$$ و مشتقات زمانی آن‌ها هستند. برای نمونه این وابستگی برای نیروی $$Y$$ برابر است با:

$${ \displaystyle Y = Y _ { 0 } + { \frac { \partial Y } { \partial \beta } } \beta + { \frac { \partial Y } { \partial r } } r }$$

در رابطه فوق $$Y _ 0$$، نیروی حالت پایدار سیستم بوده که قبل از مسئله پایداری بدست آمده است. نرخ تغییر این نیرو نیز با توجه به مقدار زاویه $$\beta$$ برابر است با:

$${ \displaystyle { \frac { \partial Y } { \partial \beta } } = Y _ { \beta } }$$

مشتق جزئیِ $${ \displaystyle { \frac { \partial Y } { \partial \beta } } }$$ و تمامی ترم‌های مشابه با آن که در نتیجه تغییرات متغیر‌هایی همچون $$\beta$$ یا $$r$$ ایجاد می‌شوند، همان مشتقات پایداری هستند. برای نمونه مقدار $${ \displaystyle { \frac { \partial Y } { \partial r } } }$$ برای موشک مقداری اندک بوده، در نتیجه معادلات به صورت زیر در می‌آیند.

$${ \displaystyle { \frac { d \beta } { d t } } = { \frac { Y _ { \beta } } { m U } } \beta - r } \\ \\ { \displaystyle { \frac { d r } { d t } } = { \frac { N _ { \beta } } { C } } \beta + { \frac { N _ { r } }{ C } } r } { \displaystyle {\frac { d r }{ d t } } = { \frac { N _ { \beta } } { C } } \beta + { \frac { N _ { r } } { C } } r }$$

دوره آموزش ویدئویی روش‌های مهندسی در محاسبه مشتقات پایداری

در بالا مفهوم مشتقات پایداری و نحوه نوشتن معادلات آن توضیح داده شد. همان‌طور که دیدید در ابتدا باید سیستم دینامیکی ترسیم شده و نیرو‌های وارد بر آن نیز مشخص شوند. در مرحله بعد با تغییر اندک یکی از پارامتر‌های سیستم همچون زاویه حرکت یا سرعت، پاسخ سیستم را مورد بررسی قرار می‌دهیم. اما بررسی نحوه بدست آوردن پاسخ سیستم خارج از حوصله و زمان این مقاله است. همچنین در سیستم‌های واقعی پارامتر‌های بسیاری همچون موتور (لرزش آن) روی پایداری هواپیما مواجه خواهیم بود. از این رو به منظور آشنایی با جزئیات کامل نحوه بررسی پایداری سیستم‌های پروازی، پیشنهاد می‌شود به آموزش ویدئویی روش‌های مهندسی در محاسبه مشتقات پایداری در طراحی هواپیما مراجعه فرمایید.

در این آموزش در ابتدا تعاریف و مفاهیم اولیه در سیستم‌های پروازی توضیح داده شده و سپس روش‌های مختلف محاسبه مشتقات ارائه می‌شود. توجه داشته باشید که قبل از مطالعه مفهوم مشتقات پایداری باید با معنای فیزیکی این ابزار ریاضیاتی آشنا باشید. از این رو در درس سوم این آموزش ویدئویی، دسته‌بندی‌ها و مفاهیم فیزیکی مشتقات پایداری توضیح داده شده‌اند. این مشتقات شامل مشتقات طولی استاتیکی، مشتقات عرضی سمتی استاتیکی، مشتقات طولی دینامیکی و مشتقات کنترلی هستند. در نهایت نیز اثرات جانبی و اثرات بار‌های خارجی به تفصیل توضیح داده می‌شوند.

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های مهندسی مکانیک
• مجموعه آموزش‌های نرم‌افزار‌های مهندسی مکانیک
• مفاهیم پایداری — از صفر تا صد
• پایداری سیستم قدرت — به زبان ساده
• مشتق جزئی — به زبان ساده

^^