ماتریس الحاقی — از صفر تا صد

در مجموعه مقالات ریاضی وبلاگ فرادرس در مورد نحوه بدست آوردن معکوس ماتریس، معکوس ماتریس ۳×۳ و ترانهاده ماتریس بحث شد. در این مطلب نیز قصد داریم مفهومی دیگر از ماتریس را معرفی کنیم که در بدست آوردن معکوس ماتریس ۳×۳ نیز کاربرد دارد. این مفهوم تحت عنوان ماتریس الحاقی شناخته می‌شود.

ماتریس الحاقی

در جبر خطی، ماتریس الحاقی به ترانهاده ماتریس کهاد گفته می‌شود. برای نمونه فرض کنید می‌خواهیم ماتریس الحاقی $$A$$ را بیابیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با فرض این‌که $$C$$ نشان‌دهنده ماتریس کهاد $$A$$ باشد. در این صورت ماتریس الحاقی $$A$$ برابر می‌شود با:

$${ \displaystyle \operatorname { adj} ( \mathbf { A } ) = \mathbf { C } ^ { \mathsf { T } } }$$

به‌طور دقیق‌تر فرض کنید $$R$$ فضایی باشد که در آن ضرب خاصیت جابجایی داشته باشد. هم‌چنین $$A$$ ماتریسی n×n است که ورودی‌هایش را از $$R$$ می‌گیرد. در این صورت کهاد $$A$$ که با $$M _ { i j }$$ نشان داده می‌شود برابر با دترمینان ماتریسی $$( n − 1 ) × ( n − 1 )$$ است که از حذف کردن ردیف iام و ستون jام بدست می‌‌آید. در این صورت مولفه (i,j) ماتریس کهاد نیز که با $$C _ { i , j }$$ نشان داده می‌شود برابر با کهادی است که از حذف کردن ردیف iام و ستون jام ماتریس $$A$$ بدست آمده است. از این رو ماتریس $$C$$ را می‌توان در قالب رابطه زیر بیان کرد:

$${ \displaystyle \mathbf { C } = \left ( ( - 1 ) ^ { i + j } \mathbf { M } _ { i j } \right ) _ { 1 \leq i , j \leq n } }$$

بدیهی است $$M _ { i j }$$ نشان‌دهنده دترمینانی است که از حذف سطر iام و ستون jام بدست آمده است. از طرفی ماتریس الحاقی $$A$$ برابر با ترانهاده ماتریس کهاد $$A$$ است. نهایتا ماتریس الحاقی $$A$$ را می‌توان به‌‌ صورت زیر بیان کرد:

$${ \displaystyle \mathbf { C } = \left ( ( - 1 ) ^ { i + j } \mathbf { M } _ { i j } \right ) _ { 1 \leq i , j \leq n } }$$

با توجه به تعریف انجام شده برای ماتریس الحاقی، می‌توان حاصل‌ضرب آن در کهادش را مطابق با رابطه زیر بیان کرد:

$${ \displaystyle \mathbf { A } \operatorname {adj} ( \mathbf { A } ) = \operatorname {adj} (\mathbf { A } ) \mathbf {A} = \det ( \mathbf {A} ) \mathbf { I } }$$

توجه داشته باشید که در رابطه فوق $$I$$ نشان‌دهنده ماتریس همانی و مرتبه آن n×n است. برای نمونه ماتریس ۲×۲ زیر را در نظر بگیرید.

$${ \displaystyle \mathbf { A } = { \begin {pmatrix} { a } & { b } \\{ c } & { d } \end {pmatrix} } }$$

ماتریس الحاقی $$A$$ در این شرایط برابر است با:

$${ \displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ) = {‌ \begin {pmatrix} { d } & { - b } \\ { - c } & { a } \end {pmatrix} } }$$

رابطه ضربی ارائه شده در بالا را می‌توان به‌ صورت زیر اثبات کرد.

$${ \displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf { A } ) = { \begin {pmatrix} a d - b c & 0 \\ 0 & a d - b c \end {pmatrix}} = ( \det \mathbf { A } ) \mathbf { I } }$$

به همین صورت ماتریسی ۳×۳ را به‌ صورت زیر در نظر بگیرید.

$${\displaystyle \mathbf { A } = { \begin {pmatrix} a _{1 1 } & a _ { 1 2 } & a _ { 1 3 } \\ a _ { 2 1 }& a _ { 2 2} & a _ {2 3 } \\ a _ { 3 1} & a _ {3 2 } & a _{ 3 3 } \end {pmatrix}} }$$

در این صورت ماتریس کهاد برابر است با:

$${ \displaystyle \mathbf { C } = { \begin {pmatrix} +{ \begin {vmatrix} a _ { 22 } & a _ { 23 } \\ a _ { 3 2 } &a _ {3 3 } \end {vmatrix} } & -{ \begin {vmatrix} a _ { 2 1 } & a _{ 2 3 } \\ a _ { 3 1 } & a _ { 33 } \end {vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a _ { 31 } & a_ { 3 2 } \end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix} a_{12}&a_{13 } \\ a _{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{ \begin {vmatrix} a _ { 11 } & a_ { 1 3 } \\ a _ { 3 1 } &a _ { 33 } \end{vmatrix}}&-{\begin {vmatrix} a _ { 11 } & a _ {1 2 } \\ a _ { 31 } & a _{ 3 2 } \end{vmatrix}}\\&& \\ + { \begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22} & a _{23}\end{vmatrix}}&-{ \begin{vmatrix} a _ {1 1 } & a _ { 13 } \\ a _ { 21 } & a _ { 23 } \end{vmatrix}}&+{ \begin {vmatrix} a _ { 1 1 } & a_ { 1 2 } \\ a _ {2 1 } & a _ { 2 2} \end {vmatrix} } \end {pmatrix}} }$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که مشاهده می‌کنید هریک از المان‌های ارائه شده در بالا نشان‌دهنده یک دترمینان هستند. در حقیقت هریک از این دترمینان‌ها برابرند با:

$${\displaystyle { \begin {vmatrix} a _ { im}& a _ {in} \\ a _{jm} & a _ { jn } \end {vmatrix} } = \det { \begin {pmatrix} a _ { i m } & a _ { in } \\ a _ { jm } & a _ { j n } \end {pmatrix} } }$$

در نتیجه ماتریس الحاقی مربوط به آن نیز برابر می‌شود با:

$${ \displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^ { \mathsf { T } } = { \begin {pmatrix} + { \begin {vmatrix} a_ {2 2} & a _ { 2 3} \\ a _ { 32 } & a _ { 3 3 } \end {vmatrix} } & -{ \begin {vmatrix} a _ { 12 } & a _ {1 3} \\ a _ { 3 2} & a _ { 33 } \end {vmatrix} } & +{ \begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{ \begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix} } }$$

برای نمونه در ادامه یک ماتریس به همراه ماتریس الحاقی آن ارائه شده است.

$${ \displaystyle \operatorname {adj} { \begin {pmatrix} - 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & 0 & - 2 \\ 3 & - 4 & 1 \end {pmatrix}} = { \begin {pmatrix} - 8 & 18 & -4 \\ - 5 & 1 2 & - 1 \\ 4 & - 6 & 2 \end {pmatrix}} }$$

ویژگی‌های ماتریس الحاقی

برای هر ماتریس n×n $$A$$ می‌توان ویژگی‌های زیر را در مورد ماتریس الحاقی مرتبط با آن بیان کرد:

• $${ \displaystyle \operatorname {adj} ( \mathbf { 0 } ) = \mathbf { 0 } }$$ و $${ \displaystyle \operatorname {adj} ( \mathbf { I } ) = \mathbf {I} }$$ که در آن $$0$$ و $$I$$ به‌ترتیب نشان‌دهنده دو ماتریس صفر و همانی هستند.
• به ازای هر مقداری از $$c$$ و ماتریس $$A$$ رابطه $${ \displaystyle \operatorname {adj} ( c \mathbf { A }‌) = c ^ { n - 1 } \operatorname {adj} ( \mathbf {A} ) }$$ برقرار است. بدیهی است که $$n$$ نشان‌دهنده مرتبه ماتریس است.
• ترانهاده ماتریس الحاقی برابر با ماتریس الحاقی ترانهاده است ($${ \displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^ { \mathsf { T } } ) = \operatorname {adj} (\mathbf { A } ) ^ { \mathsf { T } } }$$).

ماتریس الحاقی در اکثر مسائل مرتبط با ماتریس‌ها کاربرد دارد. برای نمونه در این‌جا نحوه محاسبه معکوس ماتریس ۳×۳ با استفاده از این ماتریس ارائه شده است.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی و فیزک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های فیزیک
• ترانهاده ماتریس -- به زبان ساده
• معکوس ماتریس 3×۳ -- به زبان ساده
• ماتریس‌ها — به زبان ساده

^^