ویژگی های تابع نمایی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

تابع نمایی

همان‌طور که قبلا بیان شد، شکل کلی یک تابع نمایی به صورت زیر است.

$$\large { \displaystyle f ( x ) = a b ^ { x } }$$

حال تابع $$y = x ^ n$$ را در نظر بگیرید. این تابع در حقیقت به صورت زیر است.

$$\large \begin {gather*} x ^ n = \underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ times}}. \end{gather*}$$

در رابطه فوق، $$x$$، پایه و $$n$$ توان است. با توجه به تعریف فوق می‌توان برخی ویژگی‌ها را به منظور انجام اعمال ریاضی برای توابع نمایی بیان کرد. در ادامه جدولی ارائه شده که مهم‌ترین این ویژگی‌ها در آن ارائه شده‌اند.

قوانین

در این جا قصد داریم تا تعدادی از مهم‌ترین ویژگی‌های برشمرده در بالا را اثبات کنیم.

ضرب دو تابع با پایه برابر

اگر دو تابع با پایه برابر را در یکدیگر ضرب کنیم، در این صورت باید توان آن‌ها را با هم جمع کرد.

$$\large \begin {gather} x ^ a x ^ b = x ^ { a + b } \end {gather}$$

در ادامه دو مثال در دو حالتِ عدد و تابع ارائه شده‌اند.

$$\large \begin{align*} 3 ^ 4 3 ^ 2 &= (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times ( 3 \times 3 ) \\ &= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\\ &= 3 ^ 6 \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} y ^ 2 y ^ 3 & = (y \times y ) \times (y \times y \times y ) \\ &= y \times y \times y \times y \times y \\ & = y ^ 5 \end {align*}$$

در ادامه اثبات این قانون نیز بیان شده است.

$$\large \begin {align*} x ^ a x ^ b &= \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { a \text { times } } \times \underbrace { x \times \cdots \times x } _{ b \text{ times } } \\[0.2cm] & = \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { a + b \text { times} } \\[0.2cm] & = x ^ { a + b } \end {align*}$$

تقسیم با پایه برابر

در مواردی که با تقسیم دو عبارت توانی مواجه هستیم، می‌توان پایه‌ها را نگه داشته و توان‌ها را از یکدیگر کم کرد.

$$\large \begin {gather*} \frac { x ^ a } { x ^ b } = x ^ { a - b } \end {gather*}$$

در ادامه مثالی از تقسیم دو تابع نمایی با پایه برابر ارائه شده است.

$$\large \begin {align*} \require {cancel} \frac { y ^ 5 } { y ^ 3 } & = \frac { y \times y \times y \times y \times y } { y \times y \times y } \\ & = \frac { ( y \times y) \times \cancel { ( y \times y \times y ) } } { \cancel { y \times y \times y } } \\ & = y \times y = y ^ 2 \end {align*} $$