شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
پیشتر و در مطلبی در وبلاگ فرادرس در مورد تابع گاما صحبت شد. در مطلب مذکور بیان کردیم که در ریاضی دو نوع انتگرال اویلری داریم که نوع دوم آن همان تابع گاما است. در این مطلب قصد داریم تا انتگرال نوع اول اویلر یا همان تابع بتا را معرفی کرده و ویژگیهای آن را توضیح دهیم.
توجه داشته باشید که در رابطه فوق، x,y میتوانند حتی مقادیری مختلط نیز باشند؛ همچنین بخشهای حقیقی این دو مقدار، مثبت هستند (Rex>0,Rey>0). این تابع توسط اویلر و لژاندر مطالعه شده ولی اسم آن توسط «ژاک بینت» (Jacques Philippe Marie Binet) نامگذاری شده است. در ادامه نمونهای از کانتور تابع بتا ارائه شده است.
ویژگیها
تابع بتا متقارن است؛ این جمله به معنای آن است که با تغییر ترتیب x و y، شکل کلی تابع تغییر نمیکند. بنابراین عبارت ریاضی زیر را میتوان در مورد تابع بتا بیان کرد:
تابع بتا را میتوان بر حسب تابع گاما مطابق با رابطه زیر بیان کرد:
B(x,y)=Γ(x+y)Γ(x)Γ(y)
بهمنظور اثبات رابطه فوق از تعریف تابع گاما استفاده میکنیم. دو تابع Γ(x) و Γ(y) را در نظر بگیرید. حاصلضرب این دو تابع را میتوان با توجه به تعریف بهصورت زیر بیان کرد:
برای حل انتگرال فوق از تغییر متغیرهای u=f(z,t)=zt و v=g(z,t)=z(1−t) استفاده میکنیم. با استفاده از این تغییر متغیرها، حاصل انتگرال فوق را میتوان مطابق با عبارت زیر بر حسب تابع بتا بیان کرد:
در اثبات انجام شده در بالا ∣J(z,t)∣ نشاندهنده ژاکوبین دو ماتریس u=f(z,t) و v=g(z,t) است. در اکثر کاربردهای تابع بتا، مشتقات آن نیز ظاهر میشوند. معمولا برای محاسبه مشتق از تابعی تحت عنوان دایگاما استفاده میشود. برای نمونه مشتق تابع بتا نسبت به x، مطابق با رابطه زیر بدست میآید.
در روابط فوق، t↦t+x، تابع توان کوتاه شده و علامت ستاره نیز کانولوشن را نشان میدهد. با استفاده از تقریب استرلینگ نیز میتوان در حالتی که x,y به اندازه کافی بزرگ هستند، حاصل تقریبی تابع بتا را بدست آورد. این تابع در ادامه ارائه شده است.
B(x,y)∼2π(x+y)x+y−1/2xx−1/2yy−1/2
در حالتی که مقدار x به اندازه کافی بزرگ باشد نیز میتوان از تقریب زیر استفاده کرد.
B(x,y)∼Γ(y)x−y
تابع بتای ناکامل
تابع بتای ناکامل در حقیقت شکل کلی تابع بتا محسوب شده که بهصورت زیر تعریف میشود.
B(x;a,b)=∫0xta−1(1−t)b−1dt
بدیهی است که به ازای x=1 تابع بتای ناکامل همان تابع بتای کامل میشود. مفهومی تحت عنوان تابع بتای ناکامل منظمشده را نیز میتوان بر حسب تابع بتای ناکامل و مطابق با عبارت زیر تعریف کرد:
Ix(a,b)=B(a,b)B(x;a,b)
تابع بتای ناکامل منظمشده یک تابع توزیع تجمعی از توزیع بتا محسوب میشود. این توزیع مربوط به متغیر تصادفی X بوده که در آن احتمال موفقیت برابر با p و اندازه نمونه نیز برابر با n است.
F(k;n,p)=Pr(X≤k)=I1−p(n−k,k+1)=1−Ip(k+1,n−k)
مهمترین ویژگیهای تابع بتای ناکامل در ادامه ارائه شدهاند.
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.