انتگرال lnx – به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد توابع لگاریتمی و هم‌چنین انتگرال بحث کردیم. هم‌چنین در مطلبی مجزا روش‌های انتگرال‌گیری را توضیح دادیم. شکل برخی از انتگرال‌ها در مسائل تجربی و ریاضیات به‌صورت لگاریتمی یا ترکیبی از توابع لگاریتمی با دیگر توابع است. از این رو در این مطلب نحوه محاسبه انتگرال lnx و دیگر توابع مرتبط با آن را توضیح خواهیم داد.

انتگرال lnx

مشتق تابع لگاریتمی $$\ln x$$ برابر با $$\frac { 1 } { x }$$ است. به نظر شما انتگرال یا همان پادمشتق تابع $$\ln x$$ و کلا توابعِ لگاریتمی به چه صورت است؟

لگاریتم، یک تابع پایه‌ای محسوب می‌شود که با استفاده از آن بسیاری دیگر از توابع ساخته می‌شوند. در ابتدا باید بگوییم که انتگرال تابع $$\ln x$$ را می‌توان با استفاده از روش جزء به جزء به دست آورد. حاصل این انتگرال برابر است با:

$$\int \ln ( x ) d x = x \ln ( x ) - x + C$$

در معادله فوق، $$C$$ ثابت انتگرال است که معمولا در مسائل فیزیکی با استفاده از شرایط اولیه یا شرایط مرزی بدست می‌آید. عبارت فوق با استفاده از روش جزء به جزء و با فرض $$f ( x ) = \ln ( x )$$ و $$g ^ {\prime} ( x ) = 1$$ بدست می‌آید. با این فرض داریم:

$$\begin {aligned} \int 1 \cdot \ln ( x ) d x & = x \ln ( x ) - \int ( \ln ( x ) ) ^ { \prime } x d x \\ & = x \ln ( x ) -‌ \int \frac { x } { x } d x \\ & = x \ln ( x ) - x + C \end {aligned}$$

با فاکتورگیری نیز عبارت بدست آمده در بالا به شکلی ساده‌تر در می‌‌آید.

$$\int \ln (x) d x = x ( \ln ( x ) - 1 ) + C$$

معمولا در دیگر مواردی که با انتگرال تابعی لگاریتمی مواجه باشید، می‌توانید از روش فوق به‌منظور محاسبه آن استفاده کنید. البته در مواردی ممکن است نیاز باشد از دو یا چند بار تغییر متغیر نیز استفاده کنید.

مثال ۱

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$\color {white} { \int \ln ( 2 x + 3 ) d x } \int \ln ( 2 x + 3 ) d x \color {white} { \int \ln ( 2 x + 3 ) d x }$$

در این مسئله نیز می‌توان از روش جزء به جزء استفاده کرد. اما ساده‌تر آن است که در ابتدا از تغییر متغیر استفاده کرده و تابع تحت انتگرال را به‌صورت $$\ln u$$ بیان کرد. از این رو در ابتدا از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم.

$$\color {white} { \int \ln ( 2 x + 3 ) d x } u = 2 x + 3 \color {white} { \int \ln ( 2 x + 3 ) d x }$$

در این صورت دیفرانسیل آن و شکل تابع بر حسب $$u$$ برابرند با:

$$\color {white} { \int \ln ( 2 x + 3 ) d x } d u = 2 d x \ \ , \ \ d x = \frac { 1 } { 2 } d u \color {white} { \int \ln ( 2 x + 3 ) d x }$$

در نتیجه حاصل انتگرال نیز برابر می‌شود با:

$$\begin {aligned} \int \ln ( 2 x + 3 ) d x &=\frac { 1 } { 2 } \int \ln u d u \\ & = \frac { 1 } { 2 } u ( \ln u - 1 ) + C \\ & = \frac { 2 x + 3 } { 2 }( \ln (2 x+3)-1)+C \end{aligned}$$

مثال ۲

حاصل انتگرال $$\int \ln ( x - 2 ) ^ { 3 } d x$$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

برای محاسبه این انتگرال از تغییر متغیر $$u = x − 2$$ استفاده می‌کنیم. از طرفی با توجه به قوانین توان در لگاریتم نیز می‌دانیم که می‌توان توان عبارت را به پشت آن منتقل کرد. در نتیجه با استفاده از این تغییر متغیر، پاسخ انتگرال برابر است با:

$$\begin{aligned} \int \ln ( x - 2 ) ^ { 3 } d x & = 3 \int \ln ( x - 2 ) d x \\ & = 3 \int \ln u d u \\ & = 3 u ( \ln u - 1 ) + C \\ & = 3 ( x - 2 ) ( \ln ( x - 2 ) - 1 ) + C \end {aligned}$$

حال می‌خواهیم حاصل انتگرال‌هایی را بیابیم که در آن تابع لگاریتم در تابعی دیگر ضرب شده است. در این مسائل نیز اولین گزینه استفاده از انتگرال جزء به جزء است. با استفاده از این روش پاسخ انتگرال مطابق با مراحل زیر بدست می‌آید:

$$\begin{aligned} \int x \ln x d x &=\int v^{\prime} u d x \\ &=u v-\int v u^{\prime} d x \\ & = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \ln x-\int \frac{1}{2} x^{2} \cdot(\ln x)^{\prime} d x \\ & = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \ln x-\int \frac{1}{2} x d x \\ &=\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \ln x - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + C \cdot \end{aligned}$$

در حالت کلی می‌توان پاسخ زیر را برای انتگرالِ تابعی به‌صورت $$x ^ { m } \ln x$$ در نظر گرفت.

$$\int x ^ { m } \ln x d x = x ^ { m + 1 } \left( \frac { \ln x } { m + 1 } -\frac { 1 } { ( m + 1 ) ^ { 2 } } \right) + C$$

در حالتی خاص که مقدار $$m = - 1$$ است نیز می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد.

$$\int \frac { \ln x } { x } d x = \int \frac { u } { x } d x = \int u d u = \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } + C = \frac { 1 } { 2 } ( \ln x ) ^ { 2 } + C$$

در حالتی دیگر فرض کنید که توان روی $$\ln x$$ قرار داشته باشد. در این حالت فرمول محاسبه انتگرال برابر است با:

$$\int \frac { ( \ln x ) ^ { n } } { x } d x = \frac { ( \ln x ) ^ { n + 1 } } { n + 1 } , \quad n \neq - 1$$

مثال ۳

حاصل انتگرال $$\frac { 1 } { x \ln x }$$ را بدست آورید.

تابع $$\frac { 1 } { x \ln x }$$ را می‌توان به‌صورت $$\frac { \frac { 1 } { x } } { \ln x }$$ در نظر گرفته و با توجه به این که $$( \ln x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x }$$ است، پاسخ انتگرال برابر می‌شود با:

$$\int \frac { 1 } { x‌ \ln x} d x = \int \frac { 1 } { \ln x} \cdot \frac { 1 } { x } d x=\int \frac { 1 } { u } d u = \ln | u | + C = \ln | \ln x| + C$$

مثال ۴

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید.

$$\int \sin ( \ln x) d x$$

با فرض متغیرِ $$t = \ln x$$، داریم:

$$d t = \frac { 1 } { x }‌ d x , d x = x d t$$

در این صورت انتگرال را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\int \sin ( \ln x) d x = \int x \sin t d t$$

با توجه به رابطه $$t = \ln x$$، می‌دانیم که می‌توان متغیر‌های $$x , t$$ را به‌صورت $$e ^ t = x$$ نیز نوشت. در نتیجه انتگرال به‌صورت زیر در می‌آید.

$$\int x \sin t d t = \int e ^ { t } \sin t d t$$

در مرحله بعد $$u = \sin t$$ و $$v ^ { \prime } = e ^ { t }$$ را فرض می‌کنیم. در این صورت $$u ^ { \prime } = t ^ { \prime } \cos t$$ و $$v = e ^ t$$ نیز بدست می‌آیند. در نتیجه حاصل انتگرال را نیز می‌توان در این مرحله به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\begin {aligned} \int e ^ { t } \sin t d t & = \int u v ^ { \prime } d t \\ & = u v-\int u ^ { \prime } v d t \\ & = e ^ { t } \sin t - \int e ^ { t } \cos t d t \end {aligned}$$

با استفاده مجدد از انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:

$$\int e ^ { t } \cos t d t =e ^ { t } \cos t + \int e ^ { t } \sin t d t$$

در نتیجه نهایتا حاصل انتگرال بر حسب $$t$$ برابر می‌شود با:

$$\begin {aligned} \int e ^ { t } \sin t d t & = e ^ { t } \sin t-\int e ^ { t } \cos t d t \\ & = e ^ { t } \sin t - e ^ { t } \cos t - \int e^{t} \sin t d t \\ & \Rightarrow 2 \int e ^ { t } \sin t d t = e ^ { t } \sin t - e ^ { t } \cos t \\ & \int e ^ { t } \sin t d t = \frac { e ^ { t } ( \sin t - \cos t ) } { 2 } + C \end {aligned}$$

با جایگذاری تابع تعریف شده بر حسب $$x$$ در پاسخ بدست آمده در بالا، پاسخ نهایی برابر می‌شود با:

$$\begin {align*} \int \sin ( \ln x ) d x & = \frac { e ^ { t } ( \sin t - \cos t ) } { 2 } + C \\ & = \frac { e ^ { \ln x } ( \sin ( \ln x ) - \cos ( \ln x ) ) } { 2 } + C \end {align*}$$

اثبات با بسط تیلور

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفهوم بسط تیلور را توضیح دادیم. اما خوب است بدانید که انتگرال تابع $$\ln x$$ را می‌توان با استفاده از مفهوم بسط تیلور اثبات کرد. همان‌طور که می‌دانید بسط تیلور تابع $$\ln x$$ به‌صورت زیر است.

$$\ln x = ( x - 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { ( x - 1 ) ^ { 3 } } { 3 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 4 } } { 4 } + \cdots$$
رابطه ۱

با انتگرال‌گیری از طرفین رابطه فوق، داریم:

$$\int \ln x d x = \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 3 } }{ 6 } + \frac { ( x - 1 )^ { 4 } } { 1 2 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 5 } } { 2 0 } + \cdots$$
رابطه ۲

حال باید تشخیص دهیم که سمت راست عبارت فوق برابر با بسط تیلور کدام تابع است. بدین منظور طرفین رابطه ۱ را در $$x - 1$$ ضرب می‌کنیم. با انجام این کار داریم:

$$( x - 1 ) \ln x = ( x - 1 ) ^ { 2 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 3 } } { 2 } + \frac { ( x -1 ) ^{ 4 } }{ 3 } - \frac { ( x - 1) ^ { 5 }} { 4 } + \cdots$$

حال طرفین رابطه ۱ را به رابطه فوق اضافه می‌کنیم. در این صورت داریم:

$$x \ln x = ( x - 1 )+\frac { ( x - 1 ) ^ {2 } } { 2 } - \frac { ( x - 1) ^ { 3 } }{ 6 } + \frac { ( x - 1 ) ^ { 4 } } { 12 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 5 } } { 20 }+\cdots$$

در نهایت با کم کردن $$x$$ از طرفین رابطه فوق داریم:

$$x \ln x - x = - 1 + \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 3 } }{ 6 } + \frac { (x - 1 ) ^ { 4 } } { 1 2 } - \frac { ( x - 1 ) ^ { 5 } } { 20 } + \cdots$$

همان‌طور که می‌بینید عبارت فوق، معادل با ترمِ سمت چپ رابطه ۲ است. بنابراین نهایتا حاصل انتگرال، برابر می‌شود با:

$$\int \ln x d x = x \ln x - x + C$$