اصل آرگومان — از صفر تا صد

اصل آرگومان نتیجه قضیه مانده‌ها است. این قضیه تعداد دور یک منحنی را با تعداد صفرها و قطب‌های درون آن مرتبط می‌کند. اصل آرگومان کاربردهای زیادی دارد و در مواقعی که بخواهیم مکان صفرها و قطب‌ها را بدانیم، بسیار کارساز خواهد بود.

اصل آرگومان

برای بیان اصل آرگومان، ابتدا چند فرض را در نظر می‌گیریم:

• $$\gamma$$ یک منحنی بسته ساده است و در جهت خلاف عقربه‌های ساعت (پادساعتگرد) چرخیده است.
• $$f ( z )$$ درون $$\gamma$$ تحلیلی است، به جز (احتمالاً) تعداد محدودی قطب درون (و نه روی) $$\gamma$$ و تعداد محدودی صفر درون (و نه روی) $$\gamma$$.
• فرض می‌کنیم $$p _ 1$$، ... و $$p _ m$$ قطب‌های تابع $$f$$ درون منحنی $$\gamma$$ هستند.
• فرض می‌کنیم $$z _ 1$$، ... و $$z _ n$$ صفرهای تابع $$f$$ درون منحنی $$\gamma$$ هستند.
• $$\operatorname {mult} \left ( z _ { k } \right )$$ را به عنوان تعداد صفرها در $$z _ k$$ و $$\operatorname {mult} \left ( p _ { k } \right )$$ را به عنوان تعداد قطب‌ها در $$p _ k$$ در نظر می‌گیریم.

ابتدا یک قضیه را بیان می‌کنیم که منجر به اصل آرگومان می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

قضیه ۱: با توجه به فرضیات بالا، داریم:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) }{ f ( z ) } d z = 2 \pi i \left ( \sum \operatorname {mult} \left ( z _ { k } \right ) - \sum \operatorname {mult} \left ( p _ { k } \right ) \right )$$

اثبات: برای اثبات این قضیه لازم است قطب‌ها و باقیمانده‌های $$f' ( z )/ f ( z )$$ را بدانیم. با در نظر گرفتن این موضوع، فرض کنید $$f ( z )$$ یک صفر مرتبه $$m$$ در $$z _ 0$$ داشته باشد. سری تیلور $$f ( z )$$ حول $$z _ 0$$ به صورت زیر است:

$$\large f ( z ) = ( z - z _ 0 ) ^ m g ( z )$$

که در آن، $$g ( z )$$ یک تابع تحلیلی است و در همسایگی کوچک $$z _ 0$$ هیچگاه صفر نمی‌شود. در نتیجه، داریم:

$$\large \begin {aligned} \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } & = \frac { m \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { m - 1 } g ( z ) + \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { m } g ^ { \prime } ( z ) } { \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { m } g ( z ) } \\ & = \frac { m } { z - z _ { 0 } } + \frac { g ^ { \prime }( z ) } { g ( z ) } \end {aligned}$$

از آنجا که $$g ( z )$$ هیچگاه صفر نمی‌شود، $$g' ( z ) / g ( z )$$ در همسایگی $$z _ 0$$ تحلیلی است. این یعنی $$z _ 0$$ یک قطب ساده برای $$f' (z ) / f ( z )$$ است و داریم:

$$\large \operatorname {Res} \left ( \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } , z _ { 0 } \right ) = m = \operatorname {mult} \left ( z _ { 0 } \right ) .$$

به طور مشابه، اگر $$z _ 0$$ قطبی از مرتبه $$m$$ باشد، آنگاه سری لوران $$f ( z )$$ حول $$z _ 0$$ به شکل زیر است:‌

$$\large f ( z ) = ( z - z _ 0 ) ^ { - m } g ( z )$$

که در آن، $$g ( z )$$ تحلیلی است و در همسایگی کوچک $$z _ 0$$ هیچگاه صفر نمی‌شود. بنابراین:

$$\large \begin {aligned} \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } & = - \frac { m \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { - m - 1 } g ( z ) + \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { - m } g ^ { \prime } ( z ) } { \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { - m } g ( z ) } \\ & = - \frac { m } { z - z _ { 0 } } + \frac { g ^ { \prime }( z ) } { g ( z ) } \end {aligned}$$

مجدداً $$z _ 0$$ یک قطب ساده برای $$f' ( z ) / f ( z )$$ است و داریم:

$$\large \operatorname {Res} \left ( \frac { f ^ { \prime } ( z ) }{ f ( z ) } , z _ { 0 } \right ) = - m = - \operatorname {mult} \left ( z _ { 0 } \right )$$

بنابراین، طبق قضیه مانده‌ها، خواهیم داشت:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = 2 \pi i \left ( \sum \operatorname {mult} \left ( z _ { k } \right ) - \sum \operatorname {mult} \left ( p _ { k } \right ) \right )$$

تعریف: $$Z _ { f , \gamma}$$ را به عنوان مجموع تعداد صفرهای $$f$$ درون $$\gamma$$ تعریف می‌کنیم. به طور مشابه $$P _ { f , \gamma}$$ را مجموع تعداد قطب‌های $$f$$ درون $$\gamma$$ می‌نامیم. بنابراین، طبق قضیه ۱، داریم:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f } d z = 2 \pi i \left ( Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right ) \quad \quad \quad ( 1 )$$

تعریف: تعداد دور را با فرمول کوشی بیان می‌کنیم. اگر $$\gamma$$ یک منحنی بسته باشد، آنگاه تعداد (یا شاخص) دور حول $$z _ 0$$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large \operatorname {nd} \left ( \gamma , z _ { 0 } \right ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } d z$$

تصویر منحنی‌ها ($$\Large f \circ \gamma$$)

یکی از نمادگذاری‌های اساسی در این آموزش، تصویر یک منحنی به منحنی دیگر است. یعنی، اگر $$z = \gamma ( t)$$ یک منحنی و $$w = f ( z )$$ یک تابع باشد، آنگاه $$w = f \circ \gamma ( t) = f (\gamma ( t))$$ یک منحنی دیگر است. در این حالت، می‌گوییم $$f$$ منحنی $$\gamma$$ را به $$f \circ \gamma$$ تصویر می‌کند. این موضوع در اصل آرگومان بسیار مهم است. به همین دلیل، برای یادگیری بهتر آن، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱: $$\gamma ( t) = e ^ { i t }$$ را با $$0 \le t \le 2 \pi$$ (دایره واحد) در نظر بگیرید. همچنین $$f ( z ) = z ^ 2$$ است. منحنی $$f \circ \gamma$$ را توصیف کنید.

حل: واضح است که وقتی $$t$$ از $$0$$ تا $$2 \pi$$ تغییر می‌کند، $$f \circ \gamma ( t) = e ^ { 2 i t }$$ دو بار دایره واحد را می‌پیماید.

مثال ۲: $$\gamma ( t) = i t$$ را با $$-\infty < t < \infty$$ (محور $$y$$) در نظر بگیرید. با فرض $$f( z ) = 1 / ( z + 1 )$$، منحنی $$f \circ \gamma$$ را توصیف کنید.

حل: $$f ( z )$$ یک تبدیل خطی کسری است و خط $$\gamma$$ را به دایره گذرنده از مبدأ با مرکز $$1 / 2$$ تصویر می‌کند. با بررسی چند نقطه، داریم:

$$\large f ( - i ) = \frac { 1 } { - i + 1 } = \frac { 1 + i } { 2 } , \quad f ( 0 ) = 1 , \quad f ( i ) = \frac { 1 } { i + 1 } = \frac { 1 - i } { 2 } , \quad f ( \infty ) = 0$$

می‌بینیم که وقتی $$t$$ از $$- \infty$$ تا $$\infty$$ می‌رود، دایره در جهت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شود.

$$z = \gamma ( t) = i t$$ به $$w = f \circ \gamma ( t) = 1 / ( i t + 1 )$$ تصویر شده است." width="810" height="233">

اصل آرگومان

با در نظر گرفتن مطالبی که تا اینجا ارائه کردیم، اکنون اصل آرگومان را در قالب یک قضیه بیان می‌کنیم.

قضیه ۲ (اصل آرگومان): طبق فرضیات و نمادگذاری‌های بالا، برای $$f$$ و $$\gamma$$ داریم:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 ) = 2 \pi i \left ( Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right ) \quad \quad ( 2 )$$

اثبات: طبق قضیه ۱، داریم:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = 2 \pi i \left ( Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right )$$

بنابراین، لازم است نشان دهیم انتگرال نیز برابر تعداد دور داده شده است. این کار به سادگی با تغییر متغیر $$w = f ( z )$$ قابل انجام است. با این تغییر متغیر، کانتور $$z = \gamma ( T)$$ به $$w = f \circ \gamma ( t)$$ تبدیل شده و $$d w = f' ( z ) d z$$ است. بنابراین:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = \int _ { f \circ \gamma } \frac { d w } { w } = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 )$$

تساوی آخر معادله بالا از تعریف تعداد دور به دست آمده است.

توجه کنید که طبق فرض، $$\gamma$$ از صفرهای $$f$$ عبور نمی‌کند، بنابراین، $$w = f (\gamma ( t ))$$ هیچگاه صفر نخواهد شد و $$1 / w$$ در انتگرال مشکلی ایجاد نخواهد کرد.

اکنون یک نتیجه ساده برای اصل آرگومان بیان می‌کنیم که در ادامه مفید خواهد بود.

نتیجه: با فرض اینکه $$f \circ \gamma$$ از $$- 1$$ عبور نکند، یعنی هیچ صفری از $$1 + f ( z )$$ روی $$\gamma$$ نباشد، داریم:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f + 1 } = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , - 1 ) = 2 \pi i \left ( Z _ { 1 + f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right ) \quad ( 3 )$$

اثبات: با اعمال اصل آرگومان به معادله (۲) برای تابع $$1 + f ( z )$$، داریم:

$$\large \int _ { \gamma } \frac { ( 1 + f ) ^ { \prime } ( z ) } { 1 + f ( z ) } d z = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( 1 + f \circ \gamma , 0 ) = 2 \pi i \left ( Z _ { 1 + f , \gamma } - P _ { 1 + f , \gamma } \right )$$

اکنون می‌توانیم هر یک از جملات این معادله را با جملا متناظر در معادله (۳) مقایسه کنیم:

• $$\int _ { \gamma} \frac { ( 1 + f ) ^ { \prime } ( z ) } { 1 + f ( z ) } d z = \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) }{ 1 + f ( z ) } d z$$ زیرا $$( 1 + f )' = f'$$
• $$\operatorname {Ind} ( 1 + f \circ \gamma , 0 ) = \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , - 1 )$$ ($$1 + f$$ حول $$0$$ می‌چرخد، یعنی $$f$$ حول $$- 1$$ می‌چرخد).
• $$Z _ { 1 + f , \gamma } = Z _ { 1 + f , \gamma }$$ (مشابه در هر دو معادله)‌
• $$P _ { 1 + f , \gamma } = P _ { f , \gamma }$$ (قطب‌های $$f$$، قطب‌های $$1 + f$$ هستند).

مثال ۳: با در نظر گرفتن $$f ( z ) = z ^ 2 + z$$، تعداد دورهای $$f \circ \gamma$$ را حول $$0$$ برای هر یک از منحنی‌های زیر به دست آورید.

• (الف) $$\gamma _ 1$$ = دایره‌ای به شعاع $$2$$.
• (ب) $$\gamma _ 2$$ = دایره‌ای به شعاع $$1/2$$.
• (پ) $$\gamma _ 3$$ = دایره‌ای به شعاع $$1$$.

حل: $$f ( z )$$ دو صفر در $$0$$ و $$- 1$$ دارد و قطب ندارد. بنابراین، $$f$$  در $$\gamma _ 1$$ قطبی ندارد و دارای دو صفر است. اصل آرگومان بیان می‌کند که $$\mathrm{Ind}(f \circ \gamma _ 1 , 0 ) = Z _ { f , \gamma _ 1 } - P _ { f , \gamma _ 1 } = 2$$. به طور مشابه، $$f$$ در $$\gamma _ 2$$ قطبی ندارد و تنها دارای یک صفر است. بنابراین، $$\mathrm{Ind}(f \circ \gamma _ 2, 0 ) = Z _ { f , \gamma _ 2 } - P _ { f , \gamma _ 2 } = 1-0=1$$. برای $$\gamma _ 3$$، یک صفر $$f$$ روی منحنی قرار دارد، یعنی $$f ( - 1 ) = 0$$، بنابراین، نمی‌توان از اصل آرگومان استفاده کرد. تصویر $$\gamma _ 3$$ در شکل زیر نشان داده شده است که از صفر می‌گذرد.

$$f ( z ) = z ^ 2 + z$$." width="763" height="333">

قضیه روشه

در این بخش،‌ قضیه روشه (Rouché's Theorem) را بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

قضیه (قضیه روشه): فرضیات زیر را در نظر بگیرید:

• $$\gamma$$ یک منحنی بسته ساده است.
• $$f$$ و $$h$$ توابعی تحلیلی روی $$\gamma$$ و درون آن هستند، جز در تعداد محدودی قطب.
• قطبی از $$f$$ و $$h$$ روی $$\gamma$$ نیست.
• نامساوی $$| h | < | f |$$ روی $$\gamma$$ برقرار است.

آنگاه:

$$\large \begin {array} { c } \text { Ind } ( f \circ \gamma , 0 ) = \operatorname {Ind} ( ( f + h ) \circ \gamma , 0 ) \\ \end {array}$$

یعنی:

$$\large Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } = Z _ { f + h , \gamma } - P _ { f + h , \gamma } \quad \quad ( 4 )$$

اثبات: برای استفاده از اصل آرگومان باید تابعی داشته باشیم که صفر و قطبی روی $$\gamma$$ نداشته باشد. بنابراین، ابتدا نشان می‌دهیم که این موضوع برای $$f$$، $$f + h$$ و $$( f + h ) / f$$ صحیح است. آرگومان به صورت زیر تغییر می‌کند:

• صفرها: با توجه به $$0 \le |h|< | f |$$ روی $$\gamma$$، بنابراین، $$f$$ صفری روی $$\gamma$$ ندارد. همچنین، $$f + h$$ صفری روی $$\gamma$$ ندارد، زیرا مقدار $$h$$ هیچگاه به اندازه کافی بزرگ نخواهد بود که $$f$$ را حذف کند. از آنجا که $$f$$ و $$f + h$$ صفر ندارند، $$( f + h ) / f$$ نیز صفر ندارد.
• قطب‌ها: طبق فرض، $$f$$ و $$h$$ روی $$\gamma$$ قطبی ندارند، بنابراین، $$f + h$$ نیز روی $$\gamma$$ قطبی نخواهد داشت. از آنجا که $$f$$ روی $$\gamma$$ صفری ندارد، $$(f+ h ) / f$$ نیز روی آن قطبی نخواهد داشت.

اکنون می‌توانیم اصل آرگومان را به $$f$$ و $$f + h$$ اعمال کنیم:

$$\large \begin {array} { c } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f } d z = \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 ) = Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \quad \quad ( 5 ) \\ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } \frac { ( f + h ) ^ { \prime } } { f + h } d z = \operatorname {Ind} ( ( f + h ) \circ \gamma , 0 ) = Z _ { f + h , \gamma } - P _ { f + h , \gamma} \quad ( 6 ) \end {array}$$

در ادامه، طبق فرض $$\left | \frac { h } { f } \right | < 1$$، می‌توان گفت $$\left ( \frac { h } { f } \right ) \circ \gamma$$ درون دایره واحد است. این بدین معنی است که $$1+ \frac { h } { f } = \frac { f + h } { f }$$، منحنی $$\gamma$$ را به درون یک دیسک واحد با مرکز $$1$$ تصویر می‌کند. در نتیجه:

$$\large \operatorname {Ind} \left ( \left ( \frac { f + h } { f} \right ) \circ \gamma , 0 \right ) = 0$$

تابع $$g = \frac { f + h } { f }$$ را در نظر می‌گیریم. معادله بالا می‌گوید $$\mathrm {Ind} ( g \circ \gamma , 0 ) = 0$$ است. بنابراین، $$\int _ \gamma \frac {g'}{g} d z = 0$$ (در بالا نشان دادیم که $$g$$ صفر یا قطبی روی $$\gamma$$ ندارد).

اکنون، به سادگی داریم: $$\frac {g'} { g } = \frac {(f+h)'}{f + h } - \frac {f'}{f}$$. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \operatorname {Ind} ( g \circ \gamma , 0 ) & = \int _ { \gamma } \frac { g ^ { \prime } } { g } d z = \int _ { \gamma } \frac { ( f + h ) ^ { \prime } } { f + h } d z - \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f } d z = 0 \\ & \Rightarrow \operatorname {Ind} ( ( f + h ) \circ \gamma , 0 ) = \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 ) \end {align*}$$

حال، طبق معادله‌های (۵) و (۶)، $$Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma} = Z _ { f + h , \gamma } - P _ { f + h , \gamma }$$ و این یعنی ثبات قضیه روشه کامل شده است.

نتیجه: طبق فرضیات مشابه، اگر $$h$$ و $$f$$ تحلیلی (بدون قطب) باشند، آنگاه:

$$\large Z _ { f , \gamma } = Z _ { f + h , \gamma }$$

اثبات: از آنجا که توابع تحلیلی هستند، هر دو مقدار $$P _ { f , \gamma }$$ و $$P _ { f + h , \gamma }$$ برابر با صفر خواهند بود. بنابراین، معادله (۴) نشان می‌دهد که $$Z _ f = Z _ { f + h }$$.

$$h$$ را به عنوان یک آشفتگی کوچک برای $$f$$ در نظر می‌گیریم.

مثال ۴: نشان دهید همه پنج صفر $$z ^ 5 + 3 z + 1$$ درون منحنی $$C _ 2 : |z| = 2$$ هستند.

حل: فرض می‌کنیم $$f ( z ) = z ^ 5$$ و $$h ( z ) = 3 z + 1$$. واضح است که هر پنج ریشه $$f$$ (در واقع یک ریشه با ۵ بار تکرار) درون $$C _ 2$$ قرار دارند. همچنین، واضح است که روی $$f$$ نامساوی $$| h | < 7 < 32 = |f|$$ را داریم. نتیجه قضیه روشه بیان می‌کند که هر ۵ ریشه $$f + h = z ^ 5 + 3 z + 1$$ باید درون منحنی باشند.

مثال ۵: نشان دهید $$z + 3 + 2 e ^ z$$ یک ریشه در سمت چپ صفحه مختلط دارد.

حل: فرض کنید $$f ( z ) = z + 3$$ و $$h ( z ) = 2 e ^ z$$. کانتور از $$- i R$$ تا $$i R$$ را در طول محور $$y$$ و سپس نیم‌دایره سمت چپ به شعاع $$R$$ را که از $$- i R$$ بر می‌گردد در نظر بگیرید. کانتور $$C _ 1 + C _ R$$ در شکل زیر نشان داده شده است.

$$C _ 1 + C _ R$$" width="237" height="246">

برای به کار بردن نتیجه قضیه روشه باید (برای $$R$$ بزرگ) نامساوی $$| h | < | f |$$ را روی $$C _ 1 + C _ R$$ بررسی کنیم. روی $$C _ 1$$، داریم:‌ $$z = i y$$. در نتیجه:

$$\large | f ( z ) | = | 3 + i y | \geq 3 , \quad | h ( z ) | = 2 \left | \mathrm { e } ^ { i y } \right | = 2$$

بنابراین، روی $$C _ 1$$، داریم: $$| h | < | f |$$.

روی $$C _ R$$، داریم: $$z = x + i y$$ که $$x < 0$$ و $$| z | = R$$ است. در نتیجه، برای $$R$$ بزرگ، $$| f ( z ) | > R - 3$$ است و از آنجا که $$x < 0$$ است، $$| h ( z ) | = 2 | e ^ { x + i y } | = 2 e ^ x < 2$$. بنابراین، روی $$C _ R$$، داریم: $$| h | < | f |$$.

تنها صفر $$f$$ در $$z = - 3$$ است که درون کانتور قرار دارد. بنابراین، طبق نتیجه‌گیری قضیه روشه، $$f + h$$ تعداد مشابهی ریشه با $$f$$ درون کانتور دارد که این تعداد ۱ است. اگر $$R$$ به بینهاست میل کند، می‌بینیم که $$f + g$$ تنها یک ریشه در کل نیم‌صفحه دارد.

اثبات قضیه اساسی جبر

قضیه روشه را می‌توان برای اثبات قضیه اساسی جبر نیز به کار برد. بدین منظور، فرض کنید عبارتِ

$$\large P ( z ) = z ^ n + a _ { n - 1 } z ^ { n - 1 } + \ldots + a _ 0$$

یک چندجمله‌ای مرتبه $$n$$ باشد. همچنین فرض کنید $$f ( z ) = z ^ n$$ و $$h = P - f$$. عدد $$R$$ را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که $$R > \max ( 1 , n | a _ { n - 1 } | , \ldots , n | a _ 0 | )$$. در نتیجه، روی $$| z | = R$$، داریم:

$$\large | h | \leq \left | a _ { n - 1 } \right | R ^ { n - 1 } + \left | a _ { n - 2 } \right | R ^ { n - 2 } + \ldots + \left | a _ { 0 } \right | \leq \frac { R } { n } R ^ { n - 1 } + \frac { R }{ n } R ^ { n - 2 } + \ldots + \frac { R } { n } < R ^ { n }$$