آزمون مقایسه سری – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره سری‌ها، مباحثی مانند سری توانی، را معرفی کردیم. همچنین با همگرایی سری‌ها و کاربردهای آن‌ها در حل معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. همگرایی یا واگرایی سری، با استفاده از شرایط کافی اثبات می‌شود. آزمون مقایسه سری و آزمون مقایسه حدی آن که در این آموزش آن‌ها را بیان می‌کنیم، شرایط کافی همگرایی یا واگرایی سری‌ها هستند.

آزمون مقایسه سری

سری‌های $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ و $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها رابطه $$0 \lt {a_n} \le {b_n}$$ برای همه $$n$$ها برقرار است.

آزمون‌های مقایسه به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

• اگر سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$ همگرا باشد، آن‌گاه $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ نیز همگرا خواهد بود.
• اگر سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ واگرا باشد، آن‌گاه $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$ نیز واگرا خواهد بود.

آزمون مقایسه حدی

سری‌های $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ و $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها $$a_n$$ و $$b_n$$ برای همه $$n$$ها مثبت هستند. آزمون‌های مقایسه حدی به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

• اگر $$0 \lt \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} \lt \infty$$، آن‌گاه $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ و $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$ هر دو همگرا یا واگرا هستند.
• اگر $$\lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} = 0$$، آن‌گاه همگرایی $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$ همگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ را نتیجه می‌دهد.
• اگر $$\lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} = \infty$$، آن‌گاه واگرایی $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$$، واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$$ را نتیجه می‌دهد.

سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}\normalsize}$$ که سری $$p$$ نام دارد، برای $$p \gt 1$$ همگرا و برای $$0 \lt p \le 1$$ واگرا می‌شود.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال از کاربرد آزمون‌های مقایسه را در تعیین همگرایی سری‌ها بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

همگرایی یا واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{{n^2}}}\normalsize}$$ را تعیین کنید.

حل: همان‌طور که می‌دانیم، $${e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} \le e$$ است. با استفاده از آزمون مقایسه داریم:

$$\large {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}}}{{{n^2}}}} } \le {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{e}{{{n^2}}}} } = {e\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} .}$$

از آن‌جایی که سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}$$ مانند یک سری $$p$$ با توان $$p=2$$ همگرا است، سری اصلی نیز همگرا است.

مثال ۲

همگرایی یا واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^4}}}\normalsize}$$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، رابطه $${\large\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^4}}}\normalsize}<{\large\frac{{{n^2}}}{{{n^4}}}\normalsize}= {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}$$ برای همه $$n$$های صحیح مثبت برقرار است. از آن‌جایی که $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}$$ یک سری $$p$$ با $$p = 2 \gt 1$$ است، همگرا می‌شود. در نتیجه، سری داده‌شده همگرا است.

مثال ۳

همگرایی یا واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2}}}{{{n^3} – 3}}\normalsize}$$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، رابطه $${n^3} – 3 \lt {n^3}$$ برای همه $$n$$های صحیح برقرار است.بنابراین، داریم:

$$\large {\frac{1}{{{n^3} – 3}} \gt \frac{1}{{{n^3}}},\;\;}\Rightarrow {{\frac{{{n^2}}}{{{n^3} – 3}} }\gt{ \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} }={ \frac{1}{n}.}}$$

از آنجایی که $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize}$$ یک سری هارمونیک است، واگرا می‌شود. بنابراین، سری داده‌شده نیز با استفاده از آزمون مقایسه واگرا خواهد بود.

مثال ۴

همگرایی یا واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{3n – 1}}{{2{n^3} – 4n + 5}}\normalsize}$$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همگرایی سری فوق را با همگرایی سری $$p$$ دیگر $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}$$ مقایسه می‌کنیم. در نتیجه، داریم:

$$\large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3n – 1}}{{2{n^3} – 4n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {3n – 1} \right){n^2}}}{{2{n^3} – 4n + 5}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3{n^3} – {n^2}}}{{2{n^3} – 4n + 5}}.}$$

حاصل تقسیم صورت و مخرج بر $$n^3$$ برابر است با:

$$ \large \require{cancel}<br /> {L }={ \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} – \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} – \frac{{4n}}{{{n^3}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} }<br /> = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3 – \frac{1}{n}}}{{2 – \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} }={ \frac{3}{2}.} $$

بنابراین، با توجه به آزمون مقایسه حدی، سری همگرا خواهد بود.

مثال ۵

همگرایی یا واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}\normalsize}$$ را تعیین کنید.

حل: این سری را با سری همگرای $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize}$$ مقایسه می‌کنیم. در نتیجه، خواهیم داشت:

 $$\large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \cdot {n^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{2{n^2} + n + 5}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + n + 5}} } \\ \large = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} + \frac{n}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}} }={ \frac{1}{2}.}$$

بنابراین، با استفاده از آزمون مقایسه حدی می‌توان گفت سری ‌داده‌شده همگرا است.

مثال ۶

همگرایی یا واگرایی سری $$\sum\limits_{n = 4}^\infty {\large\frac{n}{{{n^2} – 2n – 3}}\normalsize}$$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه حدی کمک می‌گیریم و سری را با سری هارمونیک واگرای $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize}$$ مقایسه می‌کنیم. برای محاسبه حد، صورت و مخرج را بر $$n ^2$$ تقسیم می‌کنیم. در نتیجه داریم:

$$\large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{n}{{{n^2} – 2n – 3}}}}{{\frac{1}{n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} – 2n – 3}} } \\ \large = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} – \frac{{2n}}{{{n^2}}} – \frac{3}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 – \frac{2}{n} – \frac{3}{{{n^2}}}}} }={ 1.}$$

بنابراین، با توجه به آزمون مقایسه حدی، سری واگرا است.

مثال ۷

همگرایی یا واگرایی سری زیر را تعیین کنید.

$$\large {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} }+{ \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + \ldots }+{ \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} + \ldots }$$

حل: از آزمون مقایسه حدی کمک می‌گیریم و سری را با سری $$p$$ تعیین‌شده $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize}$$ مقایسه می‌کنیم. حد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\cancel{n}\sqrt n }}{{\cancel{n}\sqrt {n + 1} }} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} } \\ \large = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}}}}{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}} + \frac{1}{n}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}}} }={ 1.}$$

بنابراین، از آزمون مقایسه حدی نتیجه می‌گیریم که سری اصلی همگرا است.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• سری توانی — به زبان ساده
• حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش‌ سری توانی

^^